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广东省肇庆市2014届高三毕业班第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案



肇庆市中小学教学质量评估 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数 学(理科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 集合 M={大于 ?1 且小于 4 的整数}, 则 CU M ? A.? B.{-2,-1,5,6} C.{0,1,2,3,4} D.{-2,-1,4,5,6}

2.定义域为 R 的四个函数 y ? x 2 ? 1 , y ? 3x , y ?| x ? 1| , y ? 2cos x 中,偶函数的个数 是 A.4 B.3 C.2 D.1 3.设 i 是虚数单位, z ? 1 ? i , z 为复数 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ? 1 ? A. 2 ? 1 4.二项式 ? x ? B. 2 ? 3 C. 2 2 ? 1 D. 2 2 ? 1

? ?

1? 3 ? 的展开式中 x 的系数是 x?
D.-126

9

A.84 B.-84 C.126 5.某四棱锥的三视图如图 1 所示(单位:cm) , 则该四棱锥的体积是

1

A. 27 cm B. 9 cm
3

3

C. 3 2 cm D. 3 cm
3

3

6.若如图 2 所示的程序框图输出的 S 是 30, 则在判断框中 M 表示的“条件”应该是 A. n ? 3 C. n ? 5 B. n ? 4 D. n ? 6

7.下列命题中,真命题是 A. ?x 0 ? R , e
x0

?0;
2

B. ?x ? R , 2 ? x ;
x

C. “ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充分不必要条件; D.设 a , b 为向量,则“ | a ? b |?| a || b | ”是“ a // b ”的必要不充分条件 8 . 设 向 量

a ? (a1 , a 2 )



b ? (b1 , b2 ) , 定 义 一 种 向 量 积 :

1 ? a ? b ? (a1 , a 2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a 2 b2 ) .已知向量 m ? ( ,4) , n ? ( ,0) ,点 P 在 2 6
点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动, 且满足 OQ ? m ? OP ? n(其 y ? cos x 的图象上运动,

2

中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 在区间 [ A.4 B.2

? ?

, ] 上的最大值是 6 3
D. 2 3

C. 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 y ?

x 2 ? 3 x ? 2 的定义域为 ▲ .

ex 10.曲线 f ( x) ? 在 x ? 0 处的切线方程为 ▲ . x ?1
11.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a5 ? ▲ .

?y ? 3 ? 0 ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,P 为不等式组 ?3 x ? y ? 6 ? 0 所表示的平面区域内一动点, ?x ? y ? 2 ? 0 ?
则线段|OP|的最小值等于 ▲ . 13.已知集合 A={4},B={1,2},C={1,3,5},从这三个集合中各取一个元素构成空间直 角坐标系中的点的坐标,则确定的不同点的个数为 ▲ .

( ) ▲ 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) , 曲线 C 在点(2,

? )处的切线为 l,以极点为坐标原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直 4
.

角坐标系,则 l 的直角坐标方程为 ▲

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,△ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D,若 DB ? 3 ,则 DC= ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos(x ?

?
6

),0) , n ? (2,0) , x ? R ,函数 f ( x) ? m ? n .
3

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求 f (? ) 的值; (3)若 f (? ?

2? 6 ? ) ? , ? ? (? ,0) ,求 f (2? ) 的值. 3 5 2

17. (本小题满分 13 分) 随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本,其分组区间和频数是:

?50,60? ,2; ?60,70? ,7; ?70,80? ,10; ?80,90? ,x;[90,100],2.
到破坏,可见部分如下图 4 所示,据此解答如下问 题. (1)求样本的人数及 x 的值; (2)估计样本的众数,并计算频率分布直 方图中 [80,90) 的矩形的高; (3)从成绩不低于 80 分的样本中随机选 取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分) 的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 18. (本小题满分 13 分) 如图 5,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D、E 分别 是 BC 和 CC1 的中点,已知 AB=AC=AA1=4,?BAC=90?. (1)求证: B1 D ⊥平面 AED ; (2)求二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值; (3)求三棱锥 A ? B1DE 的体积. 19. (本小题满分 14 分)

其频率分布直方图受

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 2 , nan ?1 ? S n ? n(n ? 1) . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ;

4

(2)设 Tn 为数列{

an }的前 n 项和,求 Tn ; 2n
,证明: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

(3)设 bn ?

1 a n a n ?1 a n ? 2

1 . 32

20. (本小题满分 14 分) 设双曲线 C:

x2 y2 ,离心率 e ? 3 , ? ? 1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为( 3 ,0) a2 b2

A、B 是双曲线上的两点,AB 的中点 M(1,2). (1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 AB 方程; (3)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么?

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) . 3 2

(1)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f ( x) 在区间[t,t+3]上的最大值.

5

肇庆市 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A

二、填空题 9. ?? ?,1? ? ?2,??? 13.33 10. 2 x ? y ? 1 ? 0 14. x ? y ? 2 2 ? 0 11.16 15. 3 12.

3 10 5

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ m ? (cos(x ?

?
6

),0) , n ? (2,0) , x ? R ,

∴ f ( x) ? m ? n ? 2 cos(x ? (2) f (? ) ? 2 cos ? ? ? (3)∵ f (? ?

?
6

) ,即函数 f ( x) ? 2 cos(x ?

?
6

).

(3 分)

? ?

??

? ? ?2 cos ? ? 3 6? 6

?

(6 分)

2? 2? ? ? ) ? 2 cos( ?? ? ) ? 2 cos( ? ? ) ? ?2 sin ? , 3 3 6 2 2? 6 6 3 又 f (? ? (7 分) ) ? ,∴ ? 2 sin ? ? ,即 sin ? ? ? . 3 5 5 5
6

∵ ? ? (?

?

4 ? 3? ,0) ,∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? . 5 2 ? 5?

2

(8 分)

∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? ? ?
2

24 ? 3? 4 ?? , 25 ? 5? 5

(9 分)

7 ?4? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? . 25 ?5?
2

(10 分)

∴ f (2? ) ? 2 cos ? 2? ?

? ?

??

? ? 2 cos 2? cos ? 2sin 2? sin 6? 6 6

?

?

(11 分)

? 2?

7 3 ? 24 ? 1 7 3 ? 24 ? ? 2?? ? ?? ? . 25 2 25 ? 25 ? 2

(12 分)

17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意得,分数在 [50,60) 之间的频数为 2, 频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , (1 分) 所以样本人数为 n ?

2 ? 25 (人) 0.08

(2 分) (4 分) (6 分) (7 分) (8 分)

x 的值为 x ? 25 ? (2 ? 7 ? 10 ? 2) ? 4 (人).
(2)从分组区间和频数可知,样本众数的估计值为 75 . 由(1)知分数在 [80,90) 之间的频数为 4,频率为 所以频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高为

4 ? 0.16 25

0.16 ? 0.016 10

(3)成绩不低于 80 分的样本人数为 4+2=6(人) ,成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 2 人, 所以 ? 的取值为 0,1,2. (9 分)

2 C4 C1C1 8 C2 1 6 ? , (10 分) ? P (? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? 4 2 2 ? , P(? ? 2) ? 2 2 C6 15 C6 15 C 6 15

所以 ? 的分布列为:

?

0

1
7

2

P(? )

6 15

8 15

1 15
(11 分)

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

6 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 15 15 15 3

(13 分)

18. (本小题满分 13 分) 方法一: 依题意,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 因为 AB ? AC ? AA1 =4,所以 A(0,0,0) , B(4,0,0) ,E(0,4,2) ,D(2,2,0) , B1(4,0,4). (1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (6 分)

(1) B1 D ? (?2,2,?4) , AD ? (2,2,0) , AE ? (0,4,2) . 因为 B1 D ? AD ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 ,所以 B1 D ? AD ,即 B1 D ? AD . 因为 B1 D ? AE ? 0 ? 8 ? 8 ? 0 ,所以 B1 D ? AE ,即 B1 D ? AE . 又 AD、AE?平面 AED,且 AD∩AE=A,故 B1 D ⊥平面 AED . (2)由(1)知 B1 D ? (?2,2,?4) 为平面 AED 的一个法向量.

???? ?

????

设平面 B1AE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,因为 AE ? (0,4,2) , AB1 ? ( 4,0,4) , 所以由 ?

? ?n ? AE ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0

,得 ?

?4 y ? 2 z ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2.即 n ? (2,1,?2) .(7 分) ?4 x ? 4 z ? 0
? 6 9 ? 24 ? 6 , 6
(8 分)

∴ cos ? n, B1 D ??

n ? B1 D | n | ? | B1 D |

∴二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值为

6 . 6

(9 分)

(3)由 AD ? (2,2,0) , DE ? (?2,2,2) ,得 AD ? DE ? 0 ,所以 AD⊥DE. (10 分)

8

由 | AD |? 2 2 , | DE |? 2 3 ,得 S ?ADE ?

1 ?2 2?2 3 ? 2 6 . 2

(11 分) (12 分) (13 分)

由(1)得 B1D 为三棱锥 B1-ADE 的高,且 | B1 D |? 2 6 , 所以 V A? B1DE ? VB1 ? ADE ?

1 ?2 6?2 6 ? 8. 3

方法二:

B1C1 ? BC ? AA1 ? 平面 ABC, 依题意得,

AB 2 ? AC 2 ? 4 2 , AD ? BD ? CD ? 2 2 ,

BB1 ? CC1 ? 4 , EC ? EC1 ? 2 .
(1)∵ AB ? AC ,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵B1B⊥平面 ABC,AD?平面 ABC,∴AD⊥B1B. BC、B1B?平面 B1BCC1,且 BC∩B1B=B,所以 AD⊥平面 B1BCC1. 又 B1D?平面 B1BCC1,故 B1D⊥AD .
2 2 2 2 2 2

(2 分)
2 2 2

由 B1 E ? B1C1 ? EC1 ? 36 , B1 D ? B1 B ? BD ? 24 , DE ? DC ? EC ? 12 , 得 B1 E ? B1 D ? DE ,所以 B1 D ? DE .
2 2 2

(4 分) (5 分)

又 AD、DE?平面 AED,且 AD∩DE=E,故 B1 D ⊥平面 AED . (2)过 D 做 DM⊥AE 于点 M,连接 B1M. 由 B1D⊥平面 AED,AE?平面 AED,得 AE ⊥B1D. 又 B1D、DM?平面 B1DM,且 B1D∩DM=D,故 AE⊥平面 B1DM. 因为 B1M?平面 B1DM,所以 B1M⊥AE. 故∠B1MD 为二面角 B1—AE—D 的平面角. 由(1)得,AD⊥平面 B1BCC1,又 DE?平面 B1BCC1,所以 AD⊥DE. 在 Rt△AED 中, DM ?

(7 分)

AD ? DE 2 30 ? , AE 5
B1 D 2 ? DM 2 ? 12 5 , 5

(8 分)

在 Rt△B1DM 中, B1 M ? 所以 cos ?B1 MD ?

DM 6 6 ? ,即二面角 B1—AE—D 的余弦值为 . (9 分) B1 M 6 6

(3)由(1)得,AD⊥平面 B1BCC1,
9

所以 AD 为三棱锥 A-B1DE 的高,且 AD ? 2 2 . 由(1)得 S ?B1DE ? 故 V A? B1DE

(10 分) (11 分) (13 分)

1 1 B1 D ? DE ? ? 2 6 ? 2 3 ? 6 2 . 2 2 1 1 ? S ?B1DE ? AD ? ? 6 2 ? 2 2 ? 8 . 3 3

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,当 n ? 2 时,有 ?

?nan ?1 ? S n ? n(n ? 1) , ?(n ? 1)a n ? S n ?1 ? (n ? 1) n

(1 分)

两式相减得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? an ? 2n, 即 an ?1 ? an ? 2 .

(2 分)

?a1 ? 2 ? 由 ?a 2 ? S1 ? 2 ,得 a 2 ? a1 ? 2 . ?S ? a 1 ? 1
所以对一切正整数 n,有 an ?1 ? an ? 2 , 故 a n ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n ,即 a n ? 2n(n ? N ) .
*

(3 分) (4 分)

(2)由(1) ,得 所以 Tn ? 1 ?

a n 2n n ? n ? n?1 , n 2 2 2
(5 分) ② (6 分) (7 分)

2 3 n ? 2 ? ? ? n?1 ① 2 2 2 1 1 1 2 n ?1 n ①两边同乘以 ,得 Tn ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②,得 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 1 1? n 1 2 ? n , 所以 Tn ? 1 2n 2 1? 2 n?2 故 Tn ? 4 ? n ?1 . 2
(3)由(1) ,得 bn ?

(8 分)

(9 分)

1 1 1 1 ? [ ? ] (12 分) 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
10

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) 1 1 1 ( ? ) 16 2 (n ? 1)( n ? 2) 1 1 1 . ? ? 32 16(n ? 1)( n ? 2) 32
(13 分)

?

?

(14 分)

20. (本小题满分 14 分)

?c ? 3 ? 解: (1)依题意得 ? ,解得 a=1. c ?e ? ? 3 a ?
所以 b ? c ? a ? 3 ? 1 ? 2 ,
2 2 2

(1 分)

(2 分) (3 分)

故双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2
y12 ?1 2 . 2 y2 ?1 2

? 2 x ? ? ? 1 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 ? ? x2 ? 2 ? ?
两式相减得: ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , 2

(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

由题意得 x1 ? x2 , x1 ? x 2 ? 2 , y1 ? y 2 ? 4 , 所以

y1 ? y 2 2( x1 ? x 2 ) ? ? 1 ,即 k AB ? 1 . x1 ? x 2 y1 ? y 2

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .

(3)假设 A、B、C、D 四点共圆,且圆心为 P. 因为 AB 为圆 P 的弦,所以圆心 P 在 AB 垂直 平分线 CD 上;又 CD 为圆 P 的弦且垂直平分 AB,故圆心 P 为 CD 中点 M. (8 分) 下面只需证 CD 的中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

? y ? x ?1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4). x ? ? 1 ? ? 2
11

(9 分)

由(1)得直线 CD 方程: y ? ? x ? 3 ,

(10 分)

? y ? ?x ? 3 ? 由 ? 2 y2 得:C(-3+ 2 5 ,6- 2 5 ) ,D(-3- 2 5 ,6+ 2 5 ) , x ? ? 1 ? ? 2
所以 CD 的中点 M(-3,6). 因为 | MA |?

(11 分)

(12 分)

4 ? 36 ? 2 10 , | MB |? 36 ? 4 ? 2 10 ,
(13 分)

| MC |? 20 ? 20 ? 2 10 , | MD |? 20 ? 20 ? 2 10 ,
所以 | MA |?| MB |?| MC |?| MD | , 即 A、B、C、D 四点在以点 M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上.

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ f ( x) ?
2

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) 3 2
(1 分) (2 分)

∴ f ?( x) ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1

(?1, a)

a

(a, ??)

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1) , (a,+∞) ;单调递减区间为(-1,a) ; (4 分) 因此 f ( x) 在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数 f ( x) 在区

? f ( ?2) ? 0 ? 间 (?2, 0) 内恰有两个零点,当且仅当 ? f ( ?1) ? 0 , ? f ( 0) ? 0 ?
12

(5 分)

1 1 , 所以 a 的取值范围是(0, ). (6 分) 3 3 1 (2)当 a=1 时, f ( x) ? x 3 ? x ? 1 . 由(1)可知,函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1) , 3 1 (1,+∞) ;单调递减区间为(-1,1) ; f ( x) 极大值 ? f (?1) ? ? . (7 分) 3
解得 0 ? a ? ①当 t+3<-1,即 t<-4 时, 因 为 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 的 最 大 值 为

1 1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? (t ? 3) 3 ? (t ? 3) ? 1 ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ; 3 3
②当 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1时,

(9 分)

因为 f ( x) 在区间 ?? ?,?1?上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增, 且 f (2) ? f (?1) ? ?

1 1 ,所以 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f (2) ? f (?1) ? ? . 3 3
(10 分)

由 ?1 ? t ? 3 ? 2 , 即 ? 4 ? t ? ?1时, 有[t, t+3]? ?? ?,2? , -1?[t, t+3], 所以 f ( x) 在 [t , t ? 3] 上的最大值为 f ( x) max ? f (?1) ? ? ③当 t+3>2,即 t>-1 时, 由②得 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f (2) ? f (?1) ? ?

1 ; 3

(11 分)

1 . 因为 f ( x) 在区间(1,+∞) 3

上 单 调 递 增 , 所 以 f (t ? 3) ? f (2) , 故 f ( x) 在 ? t , t ? 3? 上 的 最 大 值 为

1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 . 3
综上所述,当 a=1 时,

(13 分)

f ( x) 在[t,t+3]上的最大值 f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 ?? . (14 分) ?? 1 (?4 ? t ? ?1) ? ? 3

13



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