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2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.4空间向量的坐标表示课时作业



3.1.4

空间向量的坐标表示

课时目标 1.掌握空间直角坐标系的概念,及正确表示点、向量的坐标.2.正确进行两 向量的加、减法运算.3.能正确判断两向量平行及解决有关综合问题.

1.空间向量的坐标表示 空间直角坐标系 O—xyz 中,i,j,k 分别为 x,y,z 轴方向上的______________,对 于空

间任一个向量 a,若有 a=xi+yj+zk,则有序数组__________叫向量 a 在空间直 角坐标系中的坐标. → 特别地,若 A(x,y,z),则向量OA的坐标为__________. 2.坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a+b=________________; a-b=________________, λ a=________________ (λ ∈R). a∥b(a≠0)?__________,__________,__________ (λ ∈R).

一、填空题 1.点 M(-1,3,-4)在坐标平面 xOy、xOz、yOz 内的射影的坐标分别为 ________、 ________、________. 2.已知空间两个动点 A (m,1+m,2+m) , B (1-m,3-2m,3m) 则 AB 的最小值为__________. → → 3. 已知在△ ABC 中, A(2, -5,3) ,AB = (4,1,2),BC = (3 ,- 2, 5),则 C 点坐标为 __________. 4.如图所示,空间直角坐标系中,正方体 ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,B1E1=

??? ?

???? 1 A1B1,则 BE1 4

=______________. 5.已知向量 a=λ i+3j-k 与向量 b=4i+j+μ k 平行,则 λ =________,μ = ________. 6.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线 AB 与 CD 的位置关系是________. → → 7.已知 A(1,-1,2),B(5,-6,2) ,C(1,3,-1) ,AB在AC上的投影为______. 8. 已知 A(4,1,3), B(2,3,1), C(3,7, -5), 点 P(x, -1,3)在平面 ABC 内, 则 x=______. 二、解答题 9.

已知 ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 2 的立方体,E、F 分别为 BB1 和 DC 的中点,建立如图所示 空间直角坐标系,试写出图中各点坐标.

1

10.已知点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),若 DB∥AC,DC∥AB,求点 D 的坐标.

能力提升 11.设 a=(2,3,0),b=(-3,-2,1),计算 2a+3b,5a-6b,并确定 λ ,μ 的值,使 λ a+μ b 与向量 b 平行.

2

12.已知空间四点 A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和 D(8,4,9). 求证:四边形 ABCD 是梯形.

3

1.用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系,要充分分析 空间几何体的结构特点,选择合适的点作为原点,合适的方向和直线作为坐标轴,以有 利于问题的求解.为便于坐标系的求解及运算,在建立空间直角坐标系时,应使可能多 的点在坐标轴或坐标平面上. 2.利用坐标解决两个向量平行的问题. 3.1.4 空间向量的坐标表示 知识梳理 1.单位向量 (x,y,z) (x,y,z) 2.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λ a1,λ a2,λ a3) b1=λ a1 b2=λ a2 b3=λ a3 作业设计 1.(-1,3,0) (-1,0,-4) (0,3,-4) 2. 3 17 17

→ 解析 ∵|AB| = ?1-2m? +?2-3m? +?2m-2? ? 12?2 9 = 17?m- ? + , ? 17? 17 → ∴|AB|min= 9 3 17 = . 17 17
2 2 2

1 ? ? 3.(9,-6,10) 4.?0,- ,1? 4 ? ? 1 5.12 - 6.平行 3 7.-4 → 解析 ∵AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0). → AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),

4

→ → ∴cos〈AB,AC〉= 20 =- , 5 41

0-20+0 4 +?-5?
2 2

4 +?-3?

2

2

→ → → → → AB在AC上的投影为|AB|cos〈AB,AC〉 = 4 +?-5? ×?-
2 2

? 20 ? ?=-4. ? 5 41?

8.11 解析 ∵点 P 在平面 ABC 内,∴存在实数 k1,k2, → → → 使AP=k1AB+k2AC, 即(x-4,-2,0)=k1(-2,2,-2)+k2(-1,6,-8),
?2k1+6k2=-2; ? ∴? ?k1+4k2=0. ? ?k1=-4; ? 解得? ?k2=1. ?

∴x-4=-2k1-k2=8-1=7,即 x=11. 9.解 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2), E(2,2,1),F(0,1,0). 10.解 设点 D 的坐标为(x,y,z), → → 所以DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2), → → DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0). 因为 DB∥AC,DC∥AB, → → → → 所以DB∥AC且DC∥AB.

? ?1-y=0, 所以? -x y =- , -1 1 ? ?2-z=0.

-x z =- , -1 2

x=-1, ? ? 解得?y=1, ? ?z=2.

所以点 D 的坐标为(-1,1,2). 11.解 ∵a=(2,3,0),b=(-3,-2,1), ∴2a+3b=2(2,3,0)+3(-3,-2,1) =(4,6,0)+(-9,-6,3)=(-5,0,3), 5a-6b=5(2,3,0)-6(-3,-2,1) =(10,15,0)-(-18,-12,6)=(28,27,-6). ∵λ a+μ b=λ (2,3,0)+μ (-3,-2,1) =(2λ -3μ ,3λ -2μ ,μ ),且(λ a+μ b)∥b,
5



2λ -3μ 3λ -2μ μ = = ,∴λ =0,μ ∈R, -3 -2 1

即 λ =0,μ ∈R 时,λ a+μ b 与 b 平行. → → 12.证明 依题意:OA=(-2,3,1),OB=(2,-5,3), → → → 所以AB=OB-OA=(2,-5,3)-(-2,3,1) =(4,-8,2). → → 同理DC=(2,-4,1),AD=(10,1,8), →

BC=(8,5,7).
→ → → → → → 由AB=2DC可知,AB∥DC,|AB|≠|DC|. → → 又AD与BC无公共点, 所以四边形 ABCD 为梯形.

6



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