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湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理



宜昌市一中 2015 年秋高二期中考试数学(理科)试题
时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 2 1. “若 x =1,则 x=1”的否命题为 2 2 A.若 x ≠1,则 x=1 B.若 x =1,则 x≠1 2 2 C.若 x

≠1,则 x≠1 D.若 x≠1,则 x ≠1 2. 两条直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 , l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则 a 的值是 A. 1 或 ? 3 B. 1 C. ?5 3. 下列四种说法中,正确的个数有
2

D. 0 或 ? 3
2

①命题 " ?x ? R, 均有 x ? 3x ? 2 ? 0" 的否定是: " ?x ? R, 使得 x ? 3x ? 2 ? 0" ; ②“命题 P ? Q 为真”是“命题 P ? Q 为真”的必要不充分条件; ③ ?m ? R 错误!未找到引用源。,使 f ( x) ? mxm 在错误!未找到引用源。 (0,??) 上是单调递增; ④不过原点(0,0)的直线方程都可以表示成 A.3 个 B.2 个
2 2
2

?2m

错误!未找到引用源。是幂函数,且

x y ? ? 1。 a b
D.0 个

C.1 个

4. 若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 k , b 的 值分别为

1 1 b ? ?4 ,b ? 4 B. k ? ? , 2 2 1 1 C. k ? , b ? 4 D. k ? , b ? ?4 2 2 5.设 ? , ? 分别为两个不同的平面,直线 l ? ? ,则“ l ⊥ ? ”是“ ? ⊥ ? ”成立的
A. k ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 若圆 O1 : x 2 ? y 2 ? m(m ? 0) 错误! 未找到引用源。 和圆 O2 : x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 11 ? 0 错误!未找到引用源。有公共点,则实数错误!未找到引用源。的取值范围为 A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误! 未找到引 B.错误! 未找到引用源。 1 ? m ? 121 1 ? m ? 11 用源。 7. 设 F1(-4,0),F2 (4,0)为定点,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 8. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 FP =4 FQ ,则 | QF | = A.

??? ?

??? ?

7 2

9. 直线 形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是 A.错误!未找到引用 7 17 B.4 C. 源。 3

5 C.3 D.2 2 3ax ? by ? 1(a, b ? R) 与圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 2 相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角
B. D.错误!未找到引用 源。 2

4

-1-

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,若错误!未找到引用源。关 a2 b2 于渐近线的对称点恰落在以错误!未找到引用源。为圆心, | OF1 | 错误!未找到引用源。为
10. 已知 F1 、 F2 分别是双曲线 C : 半径的圆上,则双曲线错误!未找到引用源。的离心率为 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 3

2

C.

1 2 y2 2 11. 已知抛物线 y ? x 错误!未找到引用源。与双曲线 2 ? x ? 1(a ? 0) 错误!未找到引 8 a 用源。有共同的焦点错误!未找到引用源。 F ,错误!未找到引用源。为坐标原点,错误!
未找到引用源。 在错误! 未找到引用源。 轴上方且在双曲线上, 则错误! 未找到引用源。 OP ? FP 的最小值为 A.错误!未找到引用 B.错误!未找到引用 3 7 C. ? D. 源。 3 ? 2 3 源。 2 3 ? 3 4 4 12. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 为其左、右焦点, P 为椭圆 C 上任一点, a 2 b2 ??? ???? ? ,椭圆 C 的离心率为 ?F1 PF2 的重心为 G ,内心 I ,且有 IG ? ? F1F2 (其中 ? 为实数)
A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

3 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卡的横线上) 13. 已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 和 l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 错误!未找 . 。 到引用源。,则错误!未找到引用源。 l1 // l 2 的充要条件是错误!未找到引用源。

?x ? 2 y ? 2 ? 14. 设变量 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1 ?
15. 如图所示,有一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水 面 2m 错误! 未找到引用源。 , 水面宽 12m 错误! 未找到引用源。 , 当水面下降错误!未找到引用源。后,水面宽为______错误! 未找到引用源。 . 16. 若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1(a1 ? b1 ? 0) 和椭圆

C2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1(a2 ? b2 ? 0) 的焦点相同且 a1 ? a 2 。给出如下四个结论:①椭圆 C1 和椭

a1 b1 2 2 2 错误!未 ? 错误!未找到引用源。;③ a1 ? a2 ? b12 ? b2 a 2 b2 找到引用源。;④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 。
圆 C 2 一定没有公共点;② 其中所有正确结论的序号是__ __。 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)设集合 A ? {x | ? x 2 ? x ? 6 ? 0} ,关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2a 2 ? 0 的解 集为 B(其中 a<0). (Ⅰ)求集合 B; (Ⅱ)设 p:x∈A,q:x∈B,且 ? P 错误!未找到引用源。是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围。

-2-

18. (本题满分 12 分)已知命题 P:“ ?x ? {x | ?1 ? x ? 1} ,都有不等式 x ? x ? m ? 0 成
2

立”,命题 Q:“关于 x 的方程 | x ? m | ?mx2 ? x 3 只有一个实数根” (Ⅰ)若命题 P 是真命题,求实数 m 的取值集合 B; (Ⅱ)若命题“P 且 Q”为假,命题“P 或 Q”为真,求实数 m 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 已知直线 l 过点 P(1,1) ,并与直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 和 l 2 : 2 x ? y ? 6 ? 0 分别交于点 A、B,若线段 AB 被点 P 平分.求: (Ⅰ)直线 l 的方程; (Ⅱ)以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为

8 5 错误!未找到引用源。的圆的方程。 5

20. (本题满分 12 分)如下图所示:在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点。

-3-

(Ⅰ)求证:AC⊥BC1; (Ⅱ)求证:AC1∥平面 CDB1;

21. (本题满分 12 分)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G : x 2 ? 2 py( p ? 0) 相交于

B,C 两点.当直线 l 的斜率是

1 时,BC 的中点 M(1,2.5). 2

(Ⅰ)求抛物线 G 的方程; (Ⅱ)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b ,求 b 的取值范围.

22. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2,一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 错误!未找到引用源。的标准方程;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 a2 b2

(Ⅱ)椭圆 的右焦点为 ,过错误!未找到引用源。点的两条互相垂直的直线 l1 , l 2 ,直线 l1 与 椭圆错误!未找到引用源。交于 P, Q 两点,直线 l 2 与直线 x ? 4 交于 点。 (i)求证:线段错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。在直线 OT 上; (ii)求

| TF | 的取值范围. | PQ |

-4-

宜昌市一中 2015 年高二期中考试数学(理科)试题 时间:120 分钟 总分:150 分

命题人:覃明富 审题人:卞自立 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. “若 x =1,则 x=1”的否命题为( A.若 x ≠1,则 x=1 C.若 x ≠1,则 x≠1
2 2 2

C ) B.若 x =1,则 x≠1 D.若 x≠1,则 x ≠1
2 2

2. 两条直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 , l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则 a 的值是( A ) A. 1 或 ? 3 B. 1 C. ?5 D. 0 或 ? 3

3. 下列四种说法中,正确的个数有 ①命题 " ?x ? R, 均有 x ? 3x ? 2 ? 0" 的否定是: " ?x ? R, 使得 x ? 3x ? 2 ? 0" ;
2 2

②“命题 P ? Q 为真”是“命题 P ? Q 为真”的必要不充分条件; ③ ?m ? R 错误!未找到引用源。,使 f ( x) ? mxm 在错误!未找到引用源。 (0,??) 上是单调递增; ④不过原点(0,0)的直线方程都可以表示成 A.3 个 【答案】B 【解析】本题主要考查命题及其关系. ①因为命题“错误!未找到引用源。,均有 ”的否定是:错误!未找到引用 ” B.2 个
2

?2m

错误!未找到引用源。是幂函数,且

x y ? ? 1。 a b
D.0 个

C.1 个

源。,使得错误!未找到引用源。, 所以命题“错误!未找到引用源。,均有 的否定是:“错误!未找到引用源。,使得错误!未找到引用源。是错误的;

②“命题 p 错误!未找到引用源。q 为真”是“命题 p 错误!未找到引用源。q 为真”的必要 不充分条件,是正确的; ③使函数是幂函数,则错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。且在错误!未找 到引用源。上是单调递增,所以③正确; ④错误. 故答案选 B.
2 2 4. 若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 k , b 的

值分别为

( D )
-5-

1 1 b ? ?4 ,b ? 4 B. k ? ? , 2 2 1 1 C. k ? , b ? 4 D. k ? , b ? ?4 2 2 5.设 ? , ? 分别为两个不同的平面,直线 l ? ? ,则“ l ⊥ ? ”是“ ? ⊥ ? ”成立的(
A. k ? ?

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.依题意,由 l⊥β ,l? α 可以推出 α ⊥β ;反过来,由 α ⊥β ,l? α 不能 推出 l⊥β .因此“l⊥β ”是“α ⊥β ”成立的充分不必要条件. 6. 若圆 O1 : x 2 ? y 2 ? m(m ? 0) 错误!未找到引用源。和圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 错误!未找到引用源。有公共点,则实数错误!未找到引用源。的取值范围为 ( B ) A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误! 未找到引 B.错误! 未找到引用源。 1 ? m ? 11 用源。

1 ? m ? 121
【答案】B

7. 设 F1(-4,0),F2 (4,0)为定点,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是 A.椭圆 【答案】D 8. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 FP =4 FQ ,则 | QF | =( A. B.直线 C.圆 D.线段

??? ?
7 2

??? ?

) B.

5 2

C.3

D.2

解析: 过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′, 因为 FP =4 FQ , 所以|PQ|∶ |PF|=3∶4,又焦点 F 到准线 l 的距离为 4,所以|QF|=|QQ′|=3. 故选 C. 9. 直线

??? ?

??? ?

3ax ? by ? 1(a, b ? R) 与圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 2 相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角

形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值是 A.错误!未找到引用

17 源。 4
【答案】D

B.4

C.

7 3

D.错误!未找到引用 源。 2

【解析】本题考查直线与圆的位置关系及求两点间距离的最大值.依题意△AOB 是直角三 角形,得∠AOB=90°,|OA|=|OB|=错误!未找到引用源。,所以|AB|=2,则圆心 O(0,0)到直 2 2 2 线错误! 未找到引用源。 ax+by=1 的距离为错误! 未找到引用源。 =1,即 3a +b =1,从而 b ≤1. 于是点 P(a,b)与点(0,1)之间的距离 d=错误!未找到引用源。,因为 b∈[-1,1],所以当
-6-

b=-1 时,距离最大,即 dmax=2,故选 D.
10. 已知 F1 、 F2 分别是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,若错误!未找到引用源。关 a2 b2

于渐近线的对称点恰落在以错误!未找到引用源。为圆心, | OF1 | 错误!未找到引用源。为 半径的圆上,则双曲线错误!未找到引用源。的离心率为 A.错误!未找到引用源。 源。 2 未找到引用源。 3 【答案】B 【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.由题意得错误!未找到引用源。, 双曲线的 渐近线方程为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。到渐近线的距离错误!未找到 引用源。;错误!未找到引用源。关于渐近线的对称点为错误!未找到引用源。,与错误! 未找到引用源。与渐近线交于点错误!未找到引用源。,可得错误!未找到引用源。;而错 误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点,错误!未找到引用源。为错误!未找 到引用源。的中点,所以错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。;在三角形错 误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,而错误!未找 到引用源。,可得错误!未找到引用源。,所以离心率错误!未找到引用源。.选 B. B.错误!未找到引用 C.错误!未找到引用源。 D.错误!

【备注】点到线的距离错误!未找到引用源。;双曲线错误!未找到引用源。,离心率错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 11. 已知抛物线 y ?

1 2 y2 x 错误!未找到引用源。与双曲线 2 ? x 2 ? 1(a ? 0) 错误!未找到引 8 a

用源。有共同的焦点错误!未找到引用源。 F ,错误!未找到引用源。为坐标原点,错误! 未找到引用源。 在错误! 未找到引用源。 轴上方且在双曲线上, 则错误! 未找到引用源。 OP ? FP 的最小值为 A.错误!未找到引用 B.错误!未找到引用 源。 3 ? 2 3 【答案】A
-7-

源。 2 3 ? 3

C. ?

7 4

D.

3 4

【解析】本题考查抛物线、双曲线的几何性质以及平面向量的数量积运算;将错误!未找到 引用源。化为错误!未找到引用源。 ,则抛物线与双曲线的公共焦点为错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 ,即双曲线的标准方程为错误!未找到引用源。 ,设错误!未找到引 用源。 ,则错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。单调递增,则当错误!未找到引用 源。时, 有最小值错误!未找到引用源。 ;故选 A.

12. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 为其左、右焦点, P 为椭圆 C 上任一点, a 2 b2 ??? ???? ? ,椭圆 C 的离心率 ?F1 PF2 的重心为 G ,内心 I ,且有 IG ? ? F1F2 (其中 ? 为实数)
B ) B.

( A.

2 3

1 2

C.

1 3

D.

3 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卡的横线上) 13. 已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 和 l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 错误!未找 -1 .

到引用源。,则错误!未找到引用源。l1 // l 2 的充要条件是错误!未找到引用源。

?x ? 2 y ? 2 ? 14. 设变量 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1 ?
6] .

3 [- , 2

15. 如图所示,有一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面错误!未找到引用源。 ,水面 宽错误!未找到引用源。 ,当水面下降错误!未找到引用源。后,水面 宽为___ ___错误!未找到引用源。 .

16. 若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1(a1 ? b1 ? 0) 和椭圆

C2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1(a2 ? b2 ? 0) 的焦点相同且 a1 ? a 2 。给出如下四个结论:
a1 b1 ? 错误!未找到引用源。;③ a 2 b2

①椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点;②
2 2

2 错误!未找到引用源。; a1 ? a2 ? b12 ? b2

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 。其中,所有正确结论的序号是__ 【答案】①③④

__。

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

-8-

17.(本题满分 10 分)设集合 A ? {x | ? x 2 ? x ? 6 ? 0} ,关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2a 2 ? 0 的解 集为 B(其中 a<0). (Ⅰ)求集合 B; (Ⅱ)设 p:x∈A,q:x∈B,且 ? P 错误!未找到引用源。是 ? q 的必要不充分条件,求实数

a 的取值范围。
【答案】(Ⅰ)错误!未找到引用源。, 解得 x>-a 或 x<2a. 故集合 B={x|x>-a 或 x<2a}?????????????????????4 分 (Ⅱ)若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的必要不充分条件, 则 ,

由此可得错误!未找到引用源。, 而 A={x|x -x-6≥0}={x|(x-3)(x+2)≥0}={x|x≥3 或 x≤-2}????????6 分 由错误!未找到引用源。, 可得错误!未找到引用 源。,??????????????????????????????8 分 ∴错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。
2

? ?1 ? a ? 0 ???????????????????????..10 分
法二 A={x|x≥3 或 x≤-2},CUA={x|-2<x<3}, 而 CUB={x|2a≤x≤-a}, 由错误!未找到引用源。是 的必要不充分条件,可得错误!未找到引用源。,

也即错误!未找到引用源。 CU B ? CU A , ∴错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 【解析】明确错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的必要不充分条件对应的推出 关系是“错误!未找到引用源。”也可以利用与“错误!未找到引用源。”等价的推出关系 “错误!未找到引用源。”求 a 的范围. 18. (本题满分 12 分)已知命题 P:“ ?x ? {x | ?1 ? x ? 1} ,都有不等式 x ? x ? m ? 0 成
2

立”,命题 Q:“关于 x 的方程 | x ? m | ?mx ? x 只有一个实数根”
2 3

(Ⅰ)若命题 P 是真命题,求实数 m 的取值集合 B; (Ⅱ)若命题“P 且 Q”为假,命题“P 或 Q”为真,求实数 m 的取值范围.

-9-

【答案】(Ⅰ)命题:“错误!未找到引用源。,都有不等式 x -x-m<0 成立”是真命题,得

2

x2-x-m<0 在-1≤x≤1 时恒成立,
∴m>(x2-x)max,得 m>2, 即 B={m|m> 2}.............................................................................. .................................5 分 (Ⅱ) | x ? m | ?mx2 ? x 3 ? x ? m ,则??????????????????6 分

( x ? 1)(x ? 1)(x ? m) ? 0 且 x ? m ????????????????????.7 分
若命题 Q 为真得 m ? 1 ?????????????????????????.9 分 ①当命题 P 为真,命题 Q 为假时, ?

?m ? 2 ? m ? ? ????????????...10 分 ?m ? 1

②当命题 P 为假,命题 Q 为真时, ?

?m ? 2 ? 1 ? m ? 2 ???????????..11 分 ?m ? 1

综上所述,实数 m 的取值范围为 [1,2] ????????????????????12 分 19. (本题满分 12 分) 已知直线 l 过点 P(1,1) ,并与直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 和 l 2 : 2 x ? y ? 6 ? 0 分别交于点 A、B,若线段 AB 被点 P 平分.求: (Ⅰ)直线 l 的方程; (Ⅱ)以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为

8 5 错误!未找到引用源。的圆的方程。 5

【答案】(Ⅰ)依题意可设 A 错误!未找到引用源。、B 错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。, 解得错误!未找到引用源。. 即 ,又 l 过点 P 错误!未找到引用源。,

易得 AB 方程为错误!未找到引用源。????????????????????6 分 (Ⅱ)设圆的半径为 R,则 故所求圆的方程为错误!未找到引用 源。?????????????????????????..12 分 20.(本题满分 12 分) 如下图所示: 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点。
- 10 -

,其中 d 为弦心距,

,可得错误! 未找到引用源。 ,

(Ⅰ)求证:AC⊥BC1; (Ⅱ)求证:AC1∥平面 CDB1;

解析:

(Ⅰ)直三棱角柱 ABC—A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5 ∴AC⊥BC 且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC ∴AC⊥BC1?????????????????? ???????..6 分 (Ⅱ)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点 ∴DE∥AC1 DE 平面 CDB1,AC1 平面 CDB1,

∴AC1 平面 CDB1?????????????????????.12 分 21. (本题满分 12 分)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G : x 2 ? 2 py( p ? 0) 相交于

B,C 两点.当直线 l 的斜率是

1 时,BC 的中点 M(1,2.5). 2

(Ⅰ)求抛物线 G 的方程; (Ⅱ)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b ,求 b 的取值范围. 解:(Ⅰ)设 B(x1,y1),C(x2,y2), 1 1 当直线 l 的斜率为 时,l 的方程为 y= (x+4),即 x=2y-4??????????.1 2 2 分
? ?x =2py, 由? ?x=2y-4, ?
2

得 2y -(8+p)y+8=0, ① ② ?????????.4 分

2

y1y2=4, ? ? ∴? 8+p y1+y2= , ? 2 ?


y1 ? y 2 ? 5 ?

p



2 , ............................................................................5 分 则抛物线 G 的方程为 x =4y??????????????????6 分
- 11 2

(Ⅱ)设 l:y=k(x+4),

BC 的中点坐标为(x0,y0),
由?
?x =4y, ? ? ?y=k?x+4?,
2

得 x -4kx-16k=0,④????????????7 分

2

∴x0=

x1+x2
2

=2k,

y0=k(x0+4)=2k2+4k?????????????????????.8 分
∴线段 BC 的中垂线方程为

y-2k2-4k=- (x-2k),???????????????????.9 分 k
∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:

1

b=2k2+4k+2=2(k+1)2,???????????????????.10 分
对于方程④,由 Δ =16k +64k>0 得 k>0 或 k<-4.∴b∈(2,+∞).????.11 分 故 b 的取值范围为(2,+∞).?????????????????????12 分
2

22. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2,一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 错误!未找到引用源。的标准方程;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 a2 b2

(Ⅱ)椭圆 的右焦点为 ,过错误!未找到引用源。点的两条互相垂直的直线 l1 , l 2 ,直线 l1 与 椭圆错误!未找到引用源。交于 P, Q 两点,直线 l 2 与直线 x ? 4 交于 点。 (i)求证:线段错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。在直线 OT 上; (ii)求

| TF | 的取值范围. | PQ |

【答案】解:(Ⅰ)由题意错误!未找到引用源。, 解得错误!未找到引用源。, 所求椭圆 的标准方程为错误! 未找到引用源。 ; ???????????????????? 4分 (Ⅱ)解法一: (i) 设错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,消去 x,化简得错误!未找到引用源。

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错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ????????? 5分 设错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。, ,





错误!未找到引用 源。,.......................................................................... ...................6 分 设错误!未找到引用源。,得 T 点坐标(错误!未找到引用 源。),????????????????.7 分 错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,线段错误!未找到引用源。的中点在 直线错误!未找到引用源。上????????????8 分 (ii) ①当直线 l 2 为 x 轴时, 当 时,错误!未找到引用源。的中点为 ,错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。?????????????????????..9 分 当 时,

错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。?????????????????10 分 令 .则错误!未找到引用源。.令错误!未找到引用源。

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则函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上为增函数, 所以错误! 未找到引用源。 ???????????????????????????..11 分 所以 的取值范围是错误!未找到引用

源。????????????????????????.12 分 解法二: (i)设错误!未找到引用源。点的坐标为错误!未找到引用源。, 当 时, 的中点为错误!未找到引用源。,符合题意.

当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。,消去 x 化简得,错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。, 设错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,又错误!未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。,线段错误!未找到引用源。的中点在直线 上. ,

(ii) 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。 当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。,

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令错误!未找到引用源。.则错误!未找到引用源。.令错误!未找到引用源。 则函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上为增函数, 所以错误!未找到引用源。. 所以当错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。. 解法三: (i)当直线错误!未找到引用源。斜率不存在时,错误!未找到引用源。的中点为错误!未找 到引用源。,错误!未找到引用源。,符合题意. 当直线错误!未找到引用源。斜率存在时,若斜率为 0,则错误!未找到引用源。垂直于 x 轴,与 x=4 不能相交,故斜率不为 0. 设错误!未找到引用源。,(错误!未找到引用源。) 错误!未找到引用源。,消去 y,化简得. 错误!未找到引用源。,

设错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。, ,

错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 设错误!未找到引用源。,得 T 点坐标(错误!未找到引用源。),错误!未找到引用源。, 所以 ,

线段错误!未找到引用源。的中点在直线错误!未找到引用源。上. (ii) 当直线错误!未找到引用源。斜率不存在时,错误!未找到引用源。的中点为错误!未 找到引用源。,错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。. 当直线 斜率存在时,

错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。.
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令错误!未找到引用源。.则错误!未找到引用源。.令错误!未找到引用源。, 则函数 在错误!未找到引用源。上为增函数,

所以错误!未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。. 【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆的标准方程.

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