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(精华讲义)数学人教版高二-选修2-1导数及其应用



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导数及其应用复习讲义
一、知识复习: 1. 导数的定义: 设 x 0 是函数 y ? f ( x ) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则函数值 y 也引起相应的增量
?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f (

x 0 ) ;比值

?y f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 称为函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化率; ? ?x ?x

如果极限 lim

?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在, 则称函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 y ? f ( x ) ? lim ? x ? 0 ?x ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

在 x 0 处的导数。

f ? x ? 在点 x 0 处的导数记作 y ? x ? x

0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

2 导数的几何意义: (求函数在某点处的切线方程) 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率,也就是说, 曲线 y ? f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x 0 ) ,切线方程为 y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ). 3.基本常见函数的导数: ① C ? ? 0; (C 为常数) ③ (sin x)? ? cos x ; ⑤ (e )? ? e ;
x x

② x

? ?? ? nx
n

n ?1

;

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑥ (a )? ? a ln a ;
x x

⑦ ? ln x ?? ?

1 ; x

⑧ ? l o g a x ?? ?

1 log a e . x

二、导数的运算 1.导数的四则运算: 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? ? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cf ( x)) ? Cf ( x). ( C 为常数)
' '

法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? 方: ? ? g ? x ? ? 0? 。 ? ? 2 g x ? ? ? ? ? g ? x? ? ? ?
2.复合函数的导数

? ?( x) . 形如 y ? f [? ( x)] 的函数称为复合函数。法则: f ?[? ( x)] ? f ?( ? )?

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三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 (1)设函数 y ? f ( x) 在某个区间 ( a, b) 可导,
' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数。 ' (2)如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常函数。

2.函数的极点与极值:当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 3.函数的最值: 一 般 地 , 在 区 间 [ a, b] 上 连 续 的 函 数 f ( x ) 在 [ a, b] 上 必 有 最 大 值 与 最 小 值 。 函 数

f ( x) 在区间 [a, b]上的最值 只可能在区间端点及极 值点处取得。
' 求函数 f ( x) 在区间 [a, b]上最值 的一般步骤: ①求函数 f ( x) 的导数, 令导数 f ( x) ? 0 解出方程的跟 ' ②在区间 [ a, b] 列出 x, f ( x), f ( x) 的表格,求出极值及 f (a)、f (b) 的值;③比较端点及极值点处的函数值的

大小,从而得出函数的最值 4.相关结论总结: ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 5.定积分 (1)概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b]等分成 n 个小区间,在 每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,…n)作和式 In=

? f (ξ
i=1

n

i

)△x(其中△x 为小区间长度) ,

把 n→∞即△x→0 时, 和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记作: = lim
n ??

?

b

a

f ( x)dx , 即 ? f ( x)dx
a

b

? f (ξ
i ?1

n

i

)△x。

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积 分变量,f(x)dx 叫做被积式
m 基本的积分公式: 0 dx =C; x dx =

?

?

1 1 x x x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ;? dx=ln x +C;? e dx = e + x m ?1

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ax C; ? a dx = +C; ? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) ln a
x

(2)定积分的性质 ① ② ③

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

; f ( x)dx (k 为常数)
b b

? ?

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积

S ? ? f ( x)dx 。
a

b

如果图形由曲线 y1=f1(x), y2=f2(x) (不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) , 及直线 x=a, x=b (a<b) 围成,那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC= 四. 【典例解析】 题型 1:导数的概念 例 1.已知 s= 秒是瞬时速度 解析: (1) ?3,3.1?, ?t ? 3.1 ? 3 ? 0.1, ?t 指时间改变量;

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

1 2 gt , (1)计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001 秒….各段内平均速度; (2)求 t=3 2

?s ? s(3.1) ? s(3) ? v?

1 1 g 3.12 ? g 3 2 ? 0.3059 . ?s 指时间改变量 2 2

?s 0.3059 ? ? 3.059 。 ?t 1

其余各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上,待学生回答完第一时间内的平均速度后,即用多媒体出示, 让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 (2)从(1)可见某段时间内的平均速度 义可知,这个值就是 ?t ? 0 时,

? s ?t ?s 随 变化而变化, ?t 越小, 越接近于一个定值,由极限定 ?t ?t

?s 的极限, ?t

V= lim

?x ?0

?s lim ?t = ? x ?0

1 1 (3 ? ?t ) 2 ? g 3 2 2g 2 s (3 ? ?t ) ? s (3) ? lim ?x ?0 ?t ?t

1 g lim (6+ ?t ) =3g=29.4(米/秒)。 2 ?x ?0 4 例 2.求函数 y= 2 的导数。 x
=

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解析: ?y ?

4 4 4?x(2 x ? ?x) , ? 2 ?? 2 2 ( x ? ?x) x x ( x ? ?x) 2

? ?y ?y 2 x ? ?x 2 x ? ?x ? 8 ? lim ?? 4 ? 2 ,? lim ? ?4 ? 2 ?= 3 。 2 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x x ( x ? ?x) x ( x ? ?x) 2 ? x ?
点评:掌握切的斜率、 瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础。 题型 2:导数的基本运算 例 3. (1)求 y ? x ( x ?
2

1 1 ? ) 的导数; x x3

(2)求 y ? ( x ? 1)( (3)求 y ? x ? sin

1 x

? 1) 的导数;

x x cos 的导数; 2 2

(4)求 y=

x2 的导数; sin x

(5)求 y=

3x 2 ? x x ? 5 x ? 9 x
3

的导数

解析: (1)? y ? x ? 1 ? (2)先化简, y ?
1

1 2 ' 2 ,? y ? 3 x ? 3 . 2 x x

x?
3

1 x

? x?

1 x

1

?1 ? ?x 2 ? x

?

1 2

1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ?y ?? x 2 ? x 2 ? ?1 ? ?. 2 2 2 x ? x?
'

(3)先使用三角公式进行化简.

x x 1 y ? x ? sin cos ? x ? sin x 2 2 2

1 1 1 ? ? ? y ' ? ? x ? sin x ? ? x ' ? (sin x) ' ? 1 ? cos x. 2 2 2 ? ?
(4)y’=

'

( x 2 )'sin x ? x 2 * (sin x)' 2 x sin x ? x 2 cos x = ; sin 2 x sin 2 x
3 ? 1 2

(5)? y= 3 x 2 -x+5- 9 x
3 2

? 3 1 9 1 x (1 ? 2 ) ? 1 。 '-x'+5'-9 ( x ) '=3* x 2 -1+0-9*(- ) x 2 = ? y’=3*(x ) 2 2 2 x

1 2

1

3

点评: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量, 提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等 变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量
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例 4.写出由下列函数复合而成的函数: (1)y=cosu,u=1+ X
2 2

(2)y=lnu, u=lnx

解析: (1)y=cos(1+ X ); (2)y=ln(lnx)。
' ' ' 点评:通过对 y=(3x 2 ) 2 展开求导及按复合关系求导,直观的得到 y x = yu . ux .给出复合函数的求导法则,

题型 3:导数的几何意义 例 5. (1)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) 答案 D 解析 . (2)已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线 B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) ( )

f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
A. y ? 2 x ? 1 答案 解析 A B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

(

)

由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 得几何 f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x) ? 8(2 ? x) ? 8 ,
2 2 2 2
/

即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x ∴ f ( x) ? 2 x ,∴切线方程 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即

2x ? y ?1 ? 0 选 A
点评:导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例 6.若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

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A .

B.

C.

D.

解析 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [a, b] 上是增函数,即在区间 [a, b] 上各点处的斜率 k 是 递增的,由图易知选 A. (2)曲线 y ? 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

1 和 y ? x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 。 x 1 解析: (2)曲线 y ? 和 y ? x 2 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=-x+2 和 y=2x-1,它 x 3 们与 x 轴所围成的三角形的面积是 。 4
点评:导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。 题型 4:借助导数处理单调性、极值和最值 例 7. (1)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( ) A.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) (2)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间

( a, b) 内有极小值点(
A.1 个 B.2 个

) C.3 个 D. 4 个

(3)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解:
2 (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f ( x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) ( ∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.
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当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) ( ∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a , b 满足 b ? a 时, f ( x) 取得极值.
2

(2)要使 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a

当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1] 上单调递增, 2 2x a

当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

【命题立意】 :本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、 单调性和函数的最值,函数在区间上为单调 函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想, 化归思想和分类讨论的思想解答问题.

例 8. (1)若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

.

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解析

解析

由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f
?

?

?x ? ? 2ax

?

1 。因为存在垂直于 y 轴的切线,故此时斜 x

1 存在零点 x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题意,当 a ? 0 时,如 x
率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f

? x ? ? 2ax ?

图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个交点,故有 a ? 0 应填 ? ??,0 ? 或是 ?a | a ? 0? 。

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2ax ?

1 1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有解,显然可得 a ? ? 2 ? ? ??, 0 ? x 2x

? x ? 1, (?1 ? x ? 0) ? f ( x ) ? (2)函数 ? ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 cos x, (0 ? x ? ) ? ? 2
A.

3 2

B. 1

C. 2

D.

1 2
y y=x+1 1 ? 2

根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积:

1 1 S ? ?1?1 ? ? 2 cos xdx ? ? sin x 2 0 2 2 0
? 1 ? 3 ? sin ? sin 0 ? ,故选 A. 2 2 2

?

?

-1

O

x

y=cosx

点评:本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的 能力 题型 5:导数综合题

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例 9.1、已知二次函数 f ( x) ? x ? x ,若不等式 f (? x) ? f ( x) ? 2 x 的解集为 C.
2

(1)求集合 C; (2)若方程 f (a x ) ? a x ?1 ? 5 (a ? 0, a ? 1) 在 C 上有解,求实数 a 的取值范围; (3)记 f ( x) 在 C 上的值域为 A,若 g ( x) ? x 3 ? 3tx ? , x ?[0,1] 的值域为 B,且 A ? B ,求实数 t 的取值范围. [解](1) f ( x) ? f (? x) ? 2 x 2
2 当 x ? 0 时, 2 x ? 2 x ? 0 ? x ? 1 2 当 x ? 0 时, 2 x ? ?2 x ? ? 1 ? x ? 0

t 2

所以集合 C ? [?1,1] (2) f (a x ) ? a x?1 ? 5 ? 0 ? (a x ) 2 ? (a ? 1)a x ? 5 ? 0 ,令 a x ? u 则方程为 h(u) ? u 2 ? (a ? 1)u ? 5 ? 0

h(0) ? ?5

当 a ? 1 时, u ?[ , a] , h(u ) ? 0 在 [ , a ] 上有解,

1 a

1 a

1 1 ? 1 ? h( ) ? 2 ? 1 ? ? 5 ? 0 则? a ?a?5 a a 2 ? h ( a ) ? a ? ( a ? 1 ) a ? 5 ? 0 ? 1 1 当 0 ? a ? 1 时, u ?[a, ] , g (u ) ? 0 在 [a, ] 上有解, a a ? h( a ) ? 0 1 ? 则? 1 ? 0?a? h ( ) ? 0 2 ? ? a 1 所以,当 0 ? a ? 或 a ? 5 时,方程在 C 上有解,且有唯一解。 2 1 (3) A ? [? ,2] 4 t ①当 t ? 0 时,函数 g ( x) ? x 3 ? 3tx ? 在 x ? [0,1] 单调递增,所以函数 g ( x) 的值域 2 1 1 ? ? t ?t ? ? 2 ? 2??4 2 t 5 ,解得 ? ,即 t ? ? B ? [ ,1 ? t ] , ∵ A ? B , ∴ ? 2 5 5 2 2 ?2 ? 1 ? t ?t ? ? 5 2 ? ? ②当 t ? 0 时,任取 x1 , x2 ?[0,1] , x1 ? x 2
2 g ( x1) ? g ( x2 ) ? x1 ? 3tx1 ? x2 ? 3tx2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x1x2 ? x2 ? 3t )
0

3

3

2

1

2 2 若 t ? 1 ,∵ 0 ? x1 ? 1 , 0 ? x 2 ? 1 , x1 ? x 2 ,∴ x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3 ? 3t

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,函数 g ( x) 在区间 [0,1] 单调递减, B ? [1 ?

5 t t, ] 2 2

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? ?1 ? ∴? ? ?
2
0

5 1 t?? 2 4 :又 t ? 1 ,所以 t ? 4 。 t ?2 2

若 0 ? t ? 1,

若 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0, 则须 x12 ? x1 x2 ? x2 2 ? 3t ,∵ x1 ? x 2 ,∴ 3x12 ? 3t , x1 ? t . 于是当 x1 , x2 ?[ t ,1] 时, x12 ? x1 x2 ? x2 2 ? 3t , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ; 当 x1 , x2 ?[0, t ] 时, x12 ? x1 x2 ? x2 2 ? 3t , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0. 因此函数 g ( x) 在 [ t ,1] 单调递增;在 [0, t ] 单调递减. g ( x) 在 x ? t 达到最小值

2 ? ? g (0) ? 2或g (1) ? 2 t ? 4或t ? ? ? ? 要使 A ? B ,则 ? , 1 ?? 5 g( t ) ? ? 3 2 ? ? 4 ? ?8( t ) ? 2( t ) ? 1 ? 0 因为 0 ? t ? 1 ,所以使得 A ? B 的 t 无解。
综上所述: t 的取值范围是: (??,? ] ? [4,??)

2 5

点评:该题是导数与平面向量结合的综合题。 例 10.3、已知函数 f ( x) ? (1)求 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x)与g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 解: (1)由题意 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x
2

1 3 (k ? 1) 2 1 x ? x , g ( x) ? ? kx 且f ( x)在区间 (2,?? ) 上为增函数. 3 2 3

因为 f ( x)在区间 (2,??) 上为增函数
2 所以 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ? 0在(2,??) 上恒成立,

即 k ? 1 ? x恒成立, 又x ? 2 所以 k ? 1 ? 2, 故k ? 1 当 k=1 时, f ?( x) ? x ? 2x ? ( x ? 1) ? 1在x ? (2,??) 恒大于 0,
2 2

故 f ( x)在(2,??) 上单增,符合题意. 所以 k 的取值范围为 k≤1. (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? 3 2 3

h?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1)
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令 h?( x) ? 0得x ? k或x ? 1 由(1)知 k≤1, ①当 k=1 时, h?( x) ? ( x ? 1) 2 ? 0, h( x) 在 R 上递增,显然不合题意

②当 k<1 时, h( x), h?( x)随x 的变化情况如下表: x

(??, k )
+

k 0 极大

(k,1) -

1 0 极小

(1,+ ? ) +

h ?( x )

h( x )
……………………11 分 由于



?

k k 1 ? ? 6 2 3

3

2



k ?1 2



k ?1 ? 0, 欲使 f ( x)与g ( x) 图象有三个不同的交点, 2

即方程 f ( x) ? g ( x) 也即 h( x) ? 0 有三个不同的实根

k3 k2 1 ? ? ? 0 即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0, 故需 ? 6 2 3
所以 ?

?k ? 1

, 解得 k ? 1 ? 3 2 ?k ? 2k ? 2 ? 0

综上,所求 k 的范围为 k ? 1 ? 3 . 点评:该题是数列知识和导数结合到一块。 题型 6:导数实际应用题 例 11.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如 右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。
2 2 2 解析:设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 3 ? ( x ? 1) ? 8 ? 2 x ? x (单位:m) 。

于是底面正六边形的面积为(单位:m ) :

2

32 ? ( x ? 1)2 ? 6?

3 3 3 ? ( 8 ? 2 x ? x2 )2 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) 。 4 2

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帐篷的体积为(单位:m ) :

3

V ( x) ?

3 3 3 ?1 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? 1? ? (16 ? 12 x ? x3 ) 2 ?3 ? 2
3 (12 ? 3x 2 ) ; 2

求导数,得 V ?( x) ?

令 V ?( x) ? 0 解得 x= 2(不合题意,舍去),x=2。 当 1<x<2 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 2<x<4 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数 所以当 x=2 时,V(x)最大。 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大 点评:结合空间几何体的体积求最值,理解导数的工具作用。 例 12 .已知某质点的运动方程为 s(t ) ? t 3 ? bt 2 ? ct ? d , 下图是其运动轨迹的一部分,若 t ? ? , 4? 时, 2

?1 ?

? ?

s(t ) ? 3d2 恒成立,求 d 的取值范围.
解: s?(t ) ? 3t 2 ? 2bt ? c 由图象可知, s(t )在t=1和t=3 处取得极值 则 s?(1) ? 0, s?(3) ? 0

即?

?3 ? 2b ? c ? 0 ?b ? ?6 ?? ?27 ? 6b ? c ? 0 ?c ? 9

? s?(t ) ? 3t 2 ? 12t ? 9 ? 3(t ? 1)(t ? 3) ?1 ? 当t ? ? ,1? 时,s?(t)>0 ?2 ? 当t ?(1,3)时,s?(t)<0 当t ?(3,4)时,s?(t)>0 则当t=1时,s(t)取得极大值4+d 又s(4)=4+d ?1 ? 故t ? ? , 4 ? 时, s(t )的最大值为4+d. ?2 ?
?1 ? 已知s (t ) ? 3d 2在 ? , 4 ? 上恒成立 ?2 ? 2 ? s(t)max <3d 即4 ? d ? 3d 2 4 解得d ? 或d ? ?1 3
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点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力

题型 7:定积分 例 13.计算下列定积分的值 ( 1)

?

3

?1

(4 x ? x 2 )dx ;(2) ? ( x ? 1) 5 dx ;(3) ? 2 ( x ? sin x)dx ;(4) ? 2? cos2 xdx ; 0
1

2

?

?

?

2

解析:(1)

6 5 (2)因为 [ ( x ? 1) ]? ? ( x ? 1) ,所以

1 6

?

2

1

( x ? 1) 5 dx ?

1 1 2 ( x ? 1) 6 |1 ? ; 6 6

( 3)

( 4)

例 14. (1) 一物体按规律 x=bt 作直线运动, 式中 x 为时间 t 内通过的距离, 媒质的阻力正比于速度的平方. 试 求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功。 2 (2)抛物线 y=ax +bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax.

3

dx ? (bt 3 )? ? 3bt 2 。 dt 2 2 2 2 4 媒质阻力 Fzu ? kv ? k (3bt ) ? 9kb t ,其中 k 为比例常数,k>0。
解析: (1)物体的速度 V ?

a 当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 , b
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又 ds=vdt,故阻力所作的功为:

Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv 2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0

t1

t1

t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b 7 7

( 2 ) 依 题 设 可 知 抛 物 线 为 凸 形 , 它 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 x1=0 , x2= - b/a , 所 以

S ? ? (ax2 ? bx)dx ?
0

?

b a

1 3 b (1) 6a 2
2

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax +bx 相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组 ?
2

?x ? y ? 4
2 ? y ? ax ? bx
2

得 ax +(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1) +16a=0. 于是 a ? ?

1 (b ? 1) 2 , 代入(1)式得: 16

S (b) ?

128b 3 128b 2 (3 ? b) ? , ; , ( b ? 0 ) S ( b ) ? 3(b ? 1) 5 6(b ? 1) 4
9 。 2

令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b)>0;当 b>3 时,S'(b)<0.故在 b=3 时, S(b)取得极大值,也是最大值,即 a=-1,b=3 时,S 取得最大值,且 S max ? 点评:应用好定积分处理平面区域内的面积

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