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2.3等差数列的前n项和


复习引入
1. 等差数列定义:

即an-an-1 =d (n≥2).
2. 等差数列通项公式: (1) an=a1+(n-1)d (n≥1). (2) an=am+(n-m)d . (3) an=pn+q (p、q是常数)

复习引入
3. 几种计算公差d的方法:

d ? a n ? a n ?1
an ? a1 d? n?1
an ? am d? n?m

复习引入
4. 等差中项 a?b A? ? a , A, b 成等差数列. 2 5. 等差数列的性质 m+n=p+q ? am+an=ap+aq. (m,n,p,q∈N)

复习引入
6. 数列的前n项和:

a1 ? a2 ? a3 ? ?? an

称为数列{an}的前n

项和,记作Sn,那么Sn-1表示什么? an,Sn,Sn-1三者之间有什么关系?

S ? S ? n n ?1 ? an ? ? ? ? S1

( n ? 2) ( n ? 1)

复习引入 7.数列的通项公式能反映数列的基本特 性,在实际问题中常常需要求数列的前n 项和.对于等差数列,为了方便运算,我 们希望有一个求和公式,这是一个有待 研究的课题.

高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家,他研究的内 容涉及数学的各个领域,被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一,他与阿基米德、牛顿齐 名,是数学史上一颗光芒四射 的巨星,被誉为“数学王子”.

创设情景
有一次,老师与高斯去买铅笔,在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架, V形架的最下面一层放 一支铅笔,往上每一层 都比它下面一层多放一 支,最上面一层放100支. 老师问:高斯,你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗? 问题就是: 计算1+ 2+ 3 +… + 99 + 100

高斯的算法
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101就等于5050了。高斯算法将加法问题转 化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格, 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰 罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮 观,纯白大理石砌建而成的主体 建筑叫人心醉神迷,成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案, 以相同大小的圆宝石镶饰而成, 共有100 层(见左图),奢靡之程 度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝 石吗?

探究发现
问题:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石?

这是求奇数个项和的问题,不 能简单模仿偶数个项求和的办法, 需要把中间项11看成首、尾两项 1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识:高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法?

探究发现
问题:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石?
借助几何图形之 直观性,把这个“全 等三角形”倒置,与 原图补成平行四边形。

探究发现
问题:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石?
2 1 21 20 19

3

获得算法:

(1 ? 21) ? 21 s21 ? 2
21 1

倒序相加法
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求 和,很有创意,用数学式子表示就是:
探究了以上两个实 际问题的求和,我 21+20+19+18+……+1 们对数列求和有了 一定的认识,那么 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的 能否将“倒序相加 式子恰好是倒序) 法”推广到任意一 这实质上是我们数学中一种求和的重要方法 个等差数列呢?

1+ 2+ 3+ 4+……+21

创设情景

平行四 三角形 边形

若V形架的的最下面一层放一支铅笔,往上每 一层都比它下面一层 多放一支,最上面 一层有很多支铅笔, 老师说有n支。问: 这个V形架上共放 着多少支铅笔? 问题就是: 1+ 2+ 3 +… + (n-1) + n 若用首尾配对相加法,需要分类讨论.

倒序相加法
计算: 1 ?
分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.

2

?

3 ? ? ? (n ?1) ? n ①
2 +1 ②

n + (n-1) + (n-2) +…+

2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1) ? n? ? n ? (n ? 1)
n ? (n ? 1) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

那么,对一般的等差数列,如何求它的 项和呢? 前n项和

如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 化简?

问题分析

是n,第n项为an,求前n项和Sn .

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1

① ②

?2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? a n?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ?? ? an ? a1 ?

又? a1 ? an ? a2 ? a n?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
n(a1 ? an ) ?2Sn ? n(a1 ? an ) 即S n ? 2

等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式: 于首末两项 的和与项数 n(a1 ? an ) 乘积的一半。

求和公式

可知三 求一

Sn ?

2

不含d

思考:(1)公式的文字语言; (2)公式的特点;

由于an ? a1 ? ? n ?1? d , 故

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

想 一 想

在等差数列 {an} 中,如果已知五个 元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
an ? a 1 ? ( n ? 1)d
结论:知 三 求 二

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n an

n(a1 ? an ) Sn ? 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n a1 an (n-1)d

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.

公式应用
根据下列各题中的条件,求相应的 等差数列{an}的Sn : 500 (1)a1=5,an=95,n=10 (2)a1=100,d=-2,n=50 2550 n(a1 ? an ) 10 ? (5 ? 95) ? 500 解: ? ?1? Sn ? 2 2 n(n ? 1) 解: d ? 2 ? Sn ? na1 ? 2 50 ? (50 ? 1) ? 50 ? 100 ? ? ? -2? ? 2550 2

例题讲解
例1、计算 提示: (1) 5+6+7+…+79+803230 n=76 (2) 1+3+5+?+(2n-1) n2 法二: (3)1-2+3-4+5-6+?+(2n-1)-2n -n
1 ? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ?2? 解: 2 n ? 2n 2 ? ?n 2 1? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ? 2+4+6+…+2n? ?3? 解:原式= n? 1 ? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? ? ? 2 ? ? ? n ? n ? n ? 1? ? ?n 2 2
n? ?1 ? ? 2n ? 1? ? ?

例题讲解
例2 在等差数列{an}中, 已知

a3 ? a5 ? 40 ,求S7.
7(a1 + a 7 ) 7 ? 40 S7 = = = 140 2 2

例题讲解
例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小 学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实 施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时 间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算, 2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比 上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10年内, 该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析:①找关键句;②求什么,如何求; 的资金构成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10. 故,该市在未来10年内的总投入为:
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2



变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最 上面一层铺瓦片21块,往下每一层多铺1 块,斜面上铺了19层,共铺瓦片多少块?
解:由题意,该屋顶斜面每层所铺的瓦 片数构成等差数列{an},且a1=21,d=1, n=19. 于是,屋顶斜面共铺瓦片:
19 ? ?19 ? 1? S19 ? 19 ? 21 ? ?1 ? 570 ? 块 ? 2

答:屋顶斜面共铺瓦片570块.

例题讲解
例4.求集合 M ? ?m m ? 7n, n ? N *且m ? 100? 的元素个 数,并求这些元素的和. 100 2 解:由7 n ? 100 得 n ? ? 14 7 7
∴正整数 n 共有14个即 M 中共有14个元素 以 a14 ? 98 为末项的等差数列. ∴ 即:7,14,21,…,98 是以 a1 ? 7 为首项,

14 ? (7 ? 98) Sn ? ? 735 2

课堂练习
练习1、 在等差数列?an ?中, 仍是 知三 求一

a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999, 求n. n ? 20+54 ? 答案: 27 提示: 999 ?
2

练习2、等差数列-10,-6,-2,2, …的前______项的和为54?
提示: ? d ? 4,? 54 ? ?10n ?

答案: n=9,或n=-3(舍去) n ? n ? 1?
2 ?4

课堂练习
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187,求n. n=11 提示:a1+a2+a3+a4=26 an+an-1+an-2+an-3=110

a1+an=34

n(a1 ? an ) 34n Sn ? ? ? 187,? n ? 11 2 2

课堂练习
10 ? 9 解:S 10 = 10a1 + d = 100 2 100 ? 99 S 100 = 100a1 + d = 10 2

-110
9 a1 + d = 10 2 99 1 a1 + d= 2 10

在等差数列{an }中,S 10 = 100,S 100 = 10,求S 110

{

?{

22 1099 \ d= , a1 = 100 100 S 110 110 ? 109 = 110a1 + d = - 110 2

知识打包

存放备用
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2
倒序求和法

an=a1+(n-1)d

掌握与应用

对于Sn、an 、a1、n、d 五个量,“知三求二”.

方程(组)思想 (待定系数法)

课堂小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法; 3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要 知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.
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课堂练习
(1)a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999, 求d及n; 17 (1)n ? 27, d ? 13 1 (2)d ? , n ? 37, S n ? 629, 求a1及an ; 3 (2)a1 =11,a37 ? 23 5 1 (3)a1 ? , d ? ? , S n ? ?5, 求n及an ; 6 6 3 (3)n ? 15, a15 ? ? 2 (4)d ? 2, n ? 15, an ? ?10, 求a1及Sn . (4)a1 ? ?38, S15 ? ?360.

练1、根据下列条件, 求相应的等差数列?an ?的有关未知数 :


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