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数列基础五(解答题答案)



23. (2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I) 由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? a 4 , 1? 2 由 Sn

?1 ? 4an ? 2 , . . .①

a2 ? 3 a1 ? 2 ?5 ,? b ? ? ? 1 a 2 2a 1 3

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 2 4 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ? n n 2 2 4 4 4

1’ a2 ? 2, an+2= 25. (2009 陕西卷文)已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。

16.(2009 浙江文)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

20.(2009 安徽卷文)已知数列{

} 的前 n 项和

,数列{

}的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

}与{

}的通项公式; <

,证明:当且仅当 n≥3 时,

(n ? 1) ?a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn?1 (n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在

求出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ?am ? 4n(n ? N * ) 又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn?1

1 1 ? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( ) n ?1 2 2 1 16(n ? 1) 2 ? ( )( n ?1)?1 1 C (n ? 1) 2 2 2 n ?1 2 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ? n ?1 ? ? 1 2 Cn 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2

Cn?1 (n ? 1)2 由 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n
又n ? 3时

(n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 2n Cn

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn 21.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

S3n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? 1 ?2 4 ?5 ? (? ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? 2 2
2 2 2 2

? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? (? ? (3k ) 2 )) 2

?

18k ? 5 k (9k ? 4) ? , 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2 13 31 ? ? 2 2 ?

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

1 9 3Tn ? [13 ? ? 2 4


9 9 ? n 9 9n ? 4 1 9n ? 4 1 9n ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 4 4 ? ] ? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 , n 1 4 4 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2

22. (2009 天津卷文)已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( 1 ? q)S 2n

2dq(1 ? q 2n ) ? (1 ? q)T2 n ? ,n? N* 2 1? q

(1)解:由题设, S3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将q ? 1, a1 ? 1, S3 ? 15 代入解得 d ? 4 ,所以 an ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S3 ? d ? 2dq ? 3dq2 ,? S1 , S 2 , S3 成等比数列,

2 所以 S 2 ? S1 S 3 ,即 (d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq2 ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2

2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q n?1 ,则

S 2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ?a2n q 2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ? ? a2n q 2n?1
①-②得,

① ②

S 2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ? ? a2n q 2n?1 )
①+②得,

S 2n ? T2n ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 )



③式两边同乘以 q,得 q(S 2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) 所以 (1 ? q) S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 2d (q ? q 3 ? ? ? q 2 n?1 ) ?

2dq(1 ? q 2n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c 2 ? (a k1 ? al1 )b1 ? (a k 21 ? al2 )b2 ? ( a k n ? aln )bn
n?1 = (k1 ? l1 )db 1 ? (k 2 ? l 2 )db 1q ? ? ? (k n ? l n )db 1q

因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 ki ? li ,且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
① 当 ki ? li 时, ki ? li ? ?1 ,由 q ? n , ki ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1

i ?2 i ?2 即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1),? (ki ?1 ? li ?1 )q ? q(q ? 1)

所以

c1 ? c2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ?2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q

因此 c1 ? c2 ? 0 ② 当 ki ? li 时,同理可得

c1 ? c2 ? ?1, 因此 c1 ? c2 ? 0 db1

综上, c1 ? c2 26.(2009 湖北卷文)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== {bn}的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ?

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ? 2n an ?1 ? an ? cn ?1 ,由(1)得a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2

? cn ?1
n ?1

两式 相减得? cn ?1 ? 2, cn ? 2(n ? 2), 即当n ? 2时,bn ? 2

又当n=1时,b1 ? 2a1 ? 2

?2, (n ? 1) ? bn ? ? n ?1 ?2 (n ? 2)
于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 =2?2 ?2 ?2 ?
2 3 4

? bn ? 2 ? 23 ? 24 ?
? 2n?1 -4=

? 2n?1

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6, 即Sn ? 2n? 2 ? 6 2 ?1

28(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an? 2 ? 4an?1 ? an , bn ?

an?1 ,n? N? . an

(Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn ? bnbn ?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n ; (Ⅲ)求证: b2 n ? bn ? 解: (Ⅰ)

1 1 . 64 17 n ? 2

a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ?

17 72 , b3 ? 4 17

(Ⅱ)由 an?2 ? 4an?1 ? an 得

an? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an?1 an?1 bn

所以当 n ≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn?1 ? 4bn ? 1 ? 17 所以 Sn ? c1 ? c2 ?

(n ≥ 2)

? cn ? 17n
1 17 ? 成立 4 64

(Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b2 ? b1 ? 当 n ≥ 2 时,有 bn ?1 ? bn ?| 4 ?

b ?b 1 1 1 ?4? |?| n n?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn?1 bnbn?1 17
(n ≥ 2)



1 | bn ?1 ? bn ? 2 |≤ 17 2



1 1 1 | b2 ? b1 |? n ?1 17 64 17 n ?2

所以

b2n ? bn ≤ bn?1 ? bn ? bn?2 ? bn?1 ?

? b2n ? b2n?1

1 ? 1 n ?1 1 ( ) ? ( )n ? ? 4 ? 17 17

1 1 ( )n ?1 (1 ? n ) 1 ? 1 17 17 ? 1 1 (n ? N * ) ? ( )2 n?2 ? ? 1 17 64 17 n ?2 ? 4 1? 17
n

23.(2008 四川卷) . 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式 解 由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn
n

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n

于是 an?1 ? ? n ?1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n

n

? 2 ? an ? n ? 2 n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

n?1

an ?1 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b b ? ban ? ? 2n 2?b

1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an ?1 ?

1 1 ? ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

?

2 ?1 ? b ? n ?b 2?b

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? bn?1 ? n?2 ? ? ? ?2 ? b
24.(2008 江西卷)数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等 比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 ? ? S1 S2

?

1 3 ? . Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? 3? ( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?

由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ∴

? (2n ? 1) ? n(n ? 2)
? 1 n(n ? 2)

1 1 ? ? S1 S2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 ?
25..(2008 湖北).已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 ? ? , an ?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都 有

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、 数列求和、 不等式等基础知识和分类讨论的思想, 考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ ,使{an}是等比数列,则有 a 2=a1a3,即
2

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( =
n+1 n+1

2 an-2n+14) 3

2 2 n (-1) · (an-3n+21)=- bn 3 3
+

又 b1x-(λ +18),所以 当λ =-18,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列:

当λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3
2 为公比的等比数列. 3

故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18) · (-
n Sn=- (? ? 18)·   ?1-(- )?.

2 n-1 ) ,于是可得 3

3 5

? ?

2 ? 3 ?

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3 2 n + (λ +18)· [1-(- ) ] 〈b(n∈N ) 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5

b 2 1 ? (? ) n 3

          


2 令f (n) ? 1 ? (? ),则
5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ +18),< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 . 9 5 5
当 n 为正奇数时,1<f(n) ? 当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<2. 26.(2005 北京)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ?

1 S n ,n=1,2,3,……,求 3

? a2n 的值.

1 S n ,n=1,2,3,……,得 3 1 1 1 1 1 16 1 1 4 a2 ? S1 ? a1 ? ,a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? ,a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , 3 3 3 3 3 27 3 3 9 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 n?2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3
解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ( ) ? ?3 3

n ?1 n≥ 2

27.(2005 福建)已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q,

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0.

1 ? q ? 1或 ? . 2
(Ⅱ)若 q ? 1, 则S n ? 2n ? 当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? 若q ? ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . 2 2
(n ? 1)( n ? 2) ? 0. 故 S n ? bn . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4
(n ? 1)( n ? 10) , 4

当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?

故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10 时, S n ? bn ;当n ? 11 时, S n ? bn . 27. (安徽卷) 在等差数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , 前 n 项和 Sn 满足条件 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an pan ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2, Sn n ?1



S 2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 , Sn n ?1 a1 an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) 4n ? 2 S 2 n n n 1 2 即 d ? a2 ? a1 ? 1 , 又 = , ? ? ? an ? a1 a ? 1 n ?1 Sn a ? a n n 1 ?n 2 所以 an ? n 。
(Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ?
a

? (n ?1) pn?1 ? npn ,

当 p ? 1 时, Tn ? 当 p ? 1 时,

n ?1 ; 2

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ?

? (n ?1) pn ? npn?1 ,

(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ?

? p n?1 ? p n ? np n?1 ?

p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p

? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? 。 n ? p(1 ? p ) ? np n?1 , p ? 1 ? ? 1? p
30。 (福建卷)已知数列{a n }满足 a 1 =1,a n?1 =2a n +1(n∈N ) (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)证明:
?

a n 1 a1 a 2 n ? < ? ? ? ? n < (n∈N*). 2 3 a 2 a3 a n?1 2

解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题 能力。满分 14 分。 (I)解:

an?1 ? 2an ?1(n ? N * ),

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ). 4k1 ?14k2 ?1...4kn ?1 ? (an ? 1)kn .

(II)证法一:

? 4( k1 ?k2 ?...?kn )?n ? 2nkn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
② -① ,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0,

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
③ -④ ,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
证法二:同证法一,得

(n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0
令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学归纳法证明 (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立。 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ?1)d , 那么

bn ? 2 ? (n ? 1)d .

k 2 k 2 bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立。 bk ?1 ?
根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1)d 对任何 n ? N 都成立。
*

bn?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列。
(III)证明:

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2

?

a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an?1 2

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
? a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
31. (福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N *). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

(II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列。 解析:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题 能力。满分 14 分。 (I)证明:

an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an ?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
(III)证明:

4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn ,

? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn , ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
② -① ,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ ④ ① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④ -③ ,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
34. (湖北卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )( n ? N ?) 均在函数 y=3x-2 的图像

上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都 20 a n a n ?1

成立的最小正整数 m。 本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分 析问题能力和推理能力。 解: (I)依题意得,

S
n
n

n

? 3n ? 2, 即 S n ? 3n2 ? 2n 。
n ?1
2

当 n≥2 时,a 当 n=1 时, 所以

a ? s ?s
n

2 ? (3n2 ? 2n) ? ?3 ? n ? 1? ? 2(n ? 1) ? ? 6n ? 5 ; ? ?

a ? s ? 3 ×1 -2×1-1-6×1-5
1 1 n

a ? 6 ? 5(n ? N ) 。
n

(II)由(I)得 bn ?

3 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5) ?6( n ?1) ?5 ? 2 ? 6 n ?5 6 n ?1 ?



n 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? b ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?。 ? ? = ?1 ? Tn ? 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? 2 ? 6 n ? 1 ? 1?1

因此,使得

1? 1 ? m ?1 ? ? ﹤ ?n ? N 2 ? 6n ? 1 ? 20

? 成立的 m 必须满足

1 m ≤ ,即 m≥10,故满足要 2 20

求的最小整数 m 为 10。 35. (湖南卷)在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前 面某数大于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列 的逆序数. 记排列 (n ? 1)n(n ? 1) ? 321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的 逆序数 a 3 ? 6 . (Ⅰ)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (Ⅱ)令 bn ?
an a ? n ?1 ,证明 2n ? b1 ? b2 ? ? bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,…. a n ?1 an

解 (Ⅰ)由已知得 a 4 ? 10, a 5 ? 15 ,
a n ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n(n ? 1) . 2

(Ⅱ)因为 bn ?

an a n n?2 n n?2 ? n ?1 ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1,2, ? , a n ?1 an n?2 n n?2 n

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n .

又因为 bn ?

n n?2 2 2 ? ? 2? ? , n ? 1,2, ?, n?2 n n n?2

1 1 1 1 1 1 所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 1 3 2 4 n n?2 2 2 ? ? 2n ? 3 . n ?1 n ? 2 综上, 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3, n ? 1,2, ? .

= 2n ? 3 ?

36 . (江苏卷)设数列 {a n } 、 {bn } 、 {c n } 满足: bn ? a n ? a n? 2 , c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2 ( n=1,2,3, … ) , 证 明 {a n } 为 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 {c n } 为 等 差 数 列 且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,…) 本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识,考查综合运用数学知识分析问题、解 决问题的能力。 证明:必要性,设是{an}公差为 d1 的等差数列,则 bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2)= (an+1–an) – (an+3–an+2)= d1– d1=0 所以 bn ? bn+1 ( n=1,2,3,…)成立。 又 cn+1–cn=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,…) 所以数列{cn}为等差数列。 充分性: 设数列{cn}是公差为 d2 的等差数列,且 bn ? bn+1 ( n=1,2,3,…) ∵cn=an+2an+1+3an+2 ① ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ② ①-②得 cn–cn+2=(an–an+2)+2 (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2 ∵cn–cn+2=( cn–cn+1)+( cn+1–cn+2)= –2 d2 ∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③ 从而有 bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④ ④-③得(bn+1–bn)+2 (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0 ⑤ ∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0, ∴由⑤得 bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…), 由此不妨设 bn=d3 ( n=1,2,3,…)则 an–an+2= d3(常数). 由此 cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+1–3d3 从而 cn+1=4an+1+2an+2–5d3 , 两式相减得 cn+1–cn=2( an+1–an) –2d3 因此 an ?1 ? an ?

1 1 (cc ?1 ? cc ) ? d3 ? d 2 ? d3 (常数) ( n=1,2,3,…) 2 2
3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

所以数列{an}公差等差数列。 37. (江西卷)已知数列{an}满足:a1=

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n! 解: (1)将条件变为:1-

n 1 n-1 n 1- ) =( ,因此{1- }为一个等比数列,其首项 an 3 a n-1 an

为 1-

1 1 n ? 3n 1 1 n = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an= n (n?1)…………1? 3 3 -1 a1 3 an 3

(2)证:据 1?得,a1?a2?…an= 为证 a1?a2?……an?2?n!

n! 1 1 1 ( 1- ) ? ( 1- 2 )…( 1- n ) 3 3 3
1 1 1 )…( 1- n ) ? …………2? 2 3 3 2

( 1- ) ? ( 1- 只要证 n?N?时有

1 3

显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 n?N?,有

1 1 1 1 1 1 ( 1- ) ? ( 1- 2 )…( 1- n ) ?1-( + 2 +…+ n )…………3? 3 3 3 3 3 3
用数学归纳法证明 3?式: (i) n=1 时,3?式显然成立, (ii) 设 n=k 时,3?式成立,

( 1- ) ? ( 1- 即

1 3

1 1 1 1 1 )…( 1- k ) ?1-( + 2 +…+ k ) 2 3 3 3 3 3

则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1- ) ? ( 1- 2 ) ? …( 1- k ) ? ( 1- k+1 ) ?〔1-( + 2 +…+ k ) 〕?( 1- k+1 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =1-( + 2 +…+ k )- k+1 + k+1 ( + 2 +…+ k ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ?1-( + 2 +…+ k + k+1 )即当 n=k+1 时,3?式也成立。 3 3 3 3
故对一切 n?N?,3?式都成立。

1 1 n 〔 1-( ) 〕 1 1 1 1 1 1 3 ( 1- ) ? ( 1- 2 )…( 1- n ) 利用 3?得, ?1- ( + 2 +…+ n ) =1- 3 1 3 3 3 3 3 3 1- 3 1 1 n 1 1 1 n 1 1-( ) 〕= + ( )? =1- 〔 2 2 3 2 2 3
故 2?式成立,从而结论成立。 38. (江西卷) 已知各项均为正数的数列 ?an ? , 满足: 且 a1 ? 3, (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 2 (2)设 Sn ? a1 ? a2 ?

2an?1 ? an n? N* . ? an an ?1 , 2an ? an?1

? a2 n , Tn ?

1 1 ? 2? a12 a2

?a

1 ,求 Sn ? Tn ,并确定最小正整数 2 an

n ,使 Sn ? Tn 为整数.

解: (1)条件可化为 an+1-

1 an+1

=( 2 an-

1 1 ,因此{ an- }为一个等比数列,其公比 ) an an

为 2,首项为 a1-

2n+2 1 8 1 8 (n ? N?) …………1? = ,所以 an- = ? 2n-1= 3 an 3 a1 3
1 3
n+1

因 an?0,由 1?式解出 an= (2 (2)由 1?式有 Sn+Tn= (a1-

+ 22n+2+9) …………2?

1 2 1 2 1 2 ) +(a2- ) +?+(an- ) +2n a1 a2 an

( =


23 2 24 2 25 2 2n+2 2 ) +( ) +( ) +…+( ) +2n 3 3 3 3

64 n (4 -1)+2n(n ? N?) 27
64 n 4n-1 (4 -1)+2n(n ? N?) 为整数,当且仅当 为整数. 27 27

为使 Sn+Tn=

当 n=1,2 时,显然 Sn+Tn 不为整数,
n 1 2 3 3 n ( 1+3) -1 = Cn 当 n?3 时, 4 -1 = ? 3+Cn ? 32+3 ( Cn +?+3n-3 Cn )
n

?只需

1 2 3Cn +32 Cn n 3n-1 = ? 为整数,因为 3n-1 与 3 互质,所以 9 2 27

为 9 的整数倍.当 n=9 时,

n 3n- 1 ? =13 为整数,故 n 的最小值为 9. 9 2

41. (全国卷 I)设数列 ?an ? 的前 n 项的和

Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3, 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;

2n (Ⅱ)设 Tn ? , n ? 1, 2,3, Sn

,证明:

?T ? 2
i ?1 i

n

3

4 1 2 4 1 2 解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2n+1+ , n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3 4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2n+ , n=2,3,4,… 3 3 3 4 1 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2n+1-2n),n=2,3, … 3 3

整理得: an+2n=4(an-1+2n 1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数 - 列,即 : an+2n=4×4n 1= 4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, …,


(Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn= 2 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3

4 1 2 1 ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 3 3 3 3

2n 3 2n 3 1 1 Tn= = × n+1 = ×( n - n+1 ) Sn 2 (2 -1)(2n-1) 2 2 -1 2 -1 - i+1 ) = ×( 1 - i+1 ) < Ti = 2 ? ( i ? 2 2 -1 2 2 -1 2 -1 2 -1 i ?1 i ?1
n

所以,

3

n

1

1

3

1

1

3

a1 ? 46. (山东卷) 已知数列 { an } 中,

1 、点(n、 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上, 其中 n=1,2,3…. 2

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 ?bn ?是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、 为等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。 解: (I)由已知得

? Sn ? ?Tn ? ? ? n ?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2 3 3 1 3 a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4 a1 ?

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ? 1,

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? bn ?1 an ?1 ? an ? 1 1 2 2 ? 2 ? ? ? ? . bn an ? 2 ? an ?1 ? 1 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2
3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 2 4 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2
(III)解法一:

S n ? ?Tn } 是等差数列. n 1 1 1 Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3(1 ? 1 ) ? n ? 3n ? ? 3 ? n ? 3n ? 3. ? 3? 2 1 2n 2 2n 2 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S n ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n
存在 ? ? 2 ,使数列 { 即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn, 又 Sn ? ?Tn ? ?

3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? ( ? ? ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n n ?1 2 2 2 2 2 2 2
2 ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { S n ? ?Tn } 为等差数列. n

? 当且仅当 1 ?
解法二:

?

存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2 ? S n ? 2T ?

n(n ? 1) ? 2n 2

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 Sn ? ?Tn 2 ? ? Tn ? 2 n n n 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 又 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2 S ? ?Tn } 是等差数列. ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n n

47. (陕西卷) 已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an}的通项 an . 解析:解: ∵ 10Sn=an2+5an+6, ① ∴ 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由① -② 得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵ an+an-1>0 , ∴ an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴ a1≠3; 2 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a3 =a1a15 , ∴ a1=2, ∴ an=5n-3. 48.(上海卷)已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的前 n 项 和为 S n ,且 a n ?1 = (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { an } 是等比数列; (2)若 a =2
2 2 k ?1

,数列 { bn } 满足 bn =

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) ,求数 n 3 3 3 3 |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - | 2 2 2 2

列 { bn } 的通项公式; (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - ≤4,求 k 的值. (1) [证明] 当 n=1 时,a2=2a,则

a2 =a; a1 a n ?1 =a, ∴ 数列{an}是等比数列. an
1? 2 ??? ( n ?1)

2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴

(2) 解:由(1) 得 an=2a

n ?1

,∴ a1a2…an=2 n a

=2 n a

n ( n ?1) 2

=2

n?

n ( n ?1) 2 k ?1

,

n(n ? 1) n ?1 ]? ? 1 (n=1,2,…,2k). 2k ? 1 2k ? 1 3 1 3 (3)设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ; 2 2 2 3 当 n≥k+1 时, bn> . 2 3 3 3 3 3 原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1- )+…+(b2k- ) 2 2 2 2 2
bn= [n ?

1 n

=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)

1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k k2 =[ 2 . ? k] ? [ 2 ? k] = 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1


k2 ≤4,得 k2-8k+4≤0, 2k ? 1

4-2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,

∴ 当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立.

51. (四川卷)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 等差数列 ?bn ? 的各项为正, 其前 n 项和为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b b, 1 ,a 2 ?2 3a ? 3 b 成等比数列,求 Tn 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解 : ( Ⅰ ) 由 an?1 ? 2Sn ? 1 可 得 an ? 2Sn?1 ? ? 1n ?

? 2,

两 式 相 减 得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2



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第五章【思考与练习】题及答案
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