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江苏省南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试数学试题



江苏省南京市、盐城市 2013 届高三第一次模拟考试

数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 参考公式:

1 n s ? ? ( xi ? x ) 2 x , x ,?, xn 的方差 n i ?1 样本数据 1 2 ,
2

1 n x ? ? xi n i ?1 . 其中



一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上.

? A 1.已知集合 U ? ?? 1,0,1,2? , A ? ?? 1,1? , 则 U =
2.复数 (1 ? 2i ) (i 是虚数单位)的共轭复数是
2

. .

3.已知某人连续投掷飞镖 5 次的环数分别是 8 , 9 , 10 , 10 , 8 , 则该组数据的方差 为 . 4.袋中装有 2 个红球, 2 个白球, 这四个小球除颜色外其余均相同, 现从中任意 摸出 2 个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 . 5.在等差数列 为

?an ?中,



a3 ? a5 ? a7 ? 9 , 则其前 9 项和 S9 的值


6.设 x, y 满足约束条件

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?

, 则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的

最大值为 . 7. 如 图 所 示 是 一 算 法 的 伪 代 码 , 执 行 此 算 法 , 最 后 输 出 的 n 值 为 .

y ? sin(2 x ? ) 3 的图像向左平移 ? ?? ? 0 ? 个单位后, 得 8.将函数
到的图像对应的函数为 f ( x ) 若 f ( x ) 为奇函数, 则 ? 的最小值为 .

?

9.下列四个命题:① 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直;② 过平面外一点有且只 有一条直线与该平面平行;③ 如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交 线平行;④ 如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的 直线必在第一个平面内.其中所有真命题的序号是 .

BC 10. 在 ?ABC 中, 若 9 cos 2 A ? 4 cos 2 B ? 5 , 则 AC 的值为
11. 如 图 ,



???? ???? ??? 1 ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? 1 AD ? DC , AE ? EB. AC ? ? , 则CE ? AB = 2 2


在 △ ABC

中 , AB=AC , BC=2 ,

x2 y2 ? ?1 4 12.已知 F1 、F2 分别是椭圆 8 的左、 右焦点, 点 P 是
| PF1 ? PF2 | PF1 椭圆上的任意一点, 则 的取值范围
是 .

13. 若 实 x , y 满 足 为

log 2 [4 cos2 ( xy ) ?


1 y e2 ] ? ln y ? ? ln 4 cos2 ( xy ) 2 2 , 则 y cos 4 x 的 值

? 1 ? ( x ? 1) 2 , 0 ? x ? 2, ? f ( x) ? ? x ? 2 , 若关于 x 的方程 f ( x) ? kx (k ? 0) 有且仅 ? f ( x ? 2), ? 14.已知函数
g (t ) ?
有四个根, 其最大根为 t, 则函数

25 2 t ? 6t ? 7 24 的值域为



二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明, 计 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分)

CC1 上任一点. 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC , D 为棱
(1)求证:直线

A1 B1 ∥平面 ABD ;

(2)求证:平面 ABD ⊥ 平面 BB1C1C。

16.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 cos(A+ (2)若 cosA=

? )=sinA,求 A 的值; 6

1 ,4b=c,求 sinB 的值. 4

17.(本小题满分 14 分) 近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的 太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池 板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5.为了保证正常用电, 安装后采用太 阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万 元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平方米)之间的函数关系是

C ( x) ?

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数).记 F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该与

15 年消耗的电费之和. (1)试解释 C (0) 的实际意义, 并写出 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时, F 取得最小值?最小值是多少(单位:万元)? 18.(本小题满分 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 经过点

M (3 2, 2) ,椭圆的离心率
(1)求椭圆 C 的方程;

e?

2 2 3 .

(2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B .F1 是椭圆的右焦点. ① 若直线 MA 过坐标原点 O , 求

?MAF2 外接圆的方程;

②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行,探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予证 明;若不是, 请说明理由.

19.(本小题满分 16 分) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 集 合 M 上 的 函 数 , 若 区 间 D ? M , 且 对 任 意

x2 ? D, 均有f ( xa ) ? D, 则称函数 f ( x) 在区间 D 上封闭.
(1)试判断 f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,1] 上是否封闭, 并说明理由;

g ( x) ?
(2)若函数

3x ? a x ? 1 在区间 [3,10] 上封闭, 求实数 a 的取值范围;
3

(3)若函数 h( x) ? x ? 3 x 在区间 [a, b](a, b ? Z ) 上封闭, 求 a, b 的值.

20.(本小题满分 16 分) 若数列

?an ? 是 首 项 为 6 ? 12t ,

公差为 6 的等差数列;数列

?bn ? 的 前 n 项 和 为

Sn ? 3n ? t .
(1)求数列 (2)若数列 使得

?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ?bn ? 是等比数列,
, 并求数列 试证明: 对于任意的 n( n ? N , n ? 1) , 均存在正整数 cn ,

bn?1 ? acn

?cn ? 的前 n 项和 Tn ;

(3)设数列

?d n ? 满足 d n ? an ? bn , 且 ?d n ? 中不存在这样的项 d k ,

使得“ d k ? d k ?1 与

d k ? d k ?1 ”同时成立(其中 k ? 2 , k ? N ? ), 求实数 t 的取值范围.



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