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选修1-1椭圆同步练习题及答案



高二数学椭圆同步练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题是真命题的是 A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
2 B.到定直线 x ? a 和定点 F(c,0)的距离之比为 c 的点的轨迹是椭圆





c

a

r />C.到定点 F(-c,0)和定直线 x ? ? a 的距离之比为 c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆
c

2

a

D.到定直线 x ? a 和定点 F(c,0)的距离之比为 a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆
c

2

c

5 3 2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 10 6 4 8 8 4 10 6 3.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 ( ) A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 9 4.设定点 F1(0,-3) 2(0,3) 、F ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? (a ? 0) ,则点 P 的轨 a 迹是 ( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段

x2 y2 x2 y2 ( ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? k ?k ? 0? 具有 a2 b a b A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 (

5.椭圆





A.

1 4

B.

2 2

C.

2 4

D.

1 2

7.已知 P 是椭圆 的距离是 16 A. 5 8.椭圆

17 x2 y2 ? ? 1 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 ,则点 P 到左焦点 2 100 36 ( ) 66 77 75 B. C. D. 5 8 8

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 16 4

( D. 10



A.3 9. 在椭圆

B. 11

C. 2 2

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P (1, -1) F 为椭圆右焦点, , 在椭圆上有一点 M, 使|MP|+2|MF| 4 3

的值最小,则这一最小值是 A.

( C.3 D.4



5 2

B.

7 2

1

10.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设直 2 线 m 的斜率为 k1( k1 ? 0 ) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 ( )

A.2

B.-2

C.

1 2

D.-

1 2

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 1 11.离心率 e ? ,一个焦点是 F ?0,?3? 的椭圆标准方程为 ___________ . 2 12.与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为_______________. x2 y2 13. 已知 P?x, y ?是椭圆 则 . ? ? 1 上的点, x ? y 的取值范围是________________ 144 25 14.已知椭圆E的短轴长为 6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率 等于__________________. 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程.(12 分) 3

16.已知 A、B 为椭圆

8 x 2 25y 2 + =1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= a,AB 2 2 5 a 9a 3 中点到椭圆左准线的距离为 ,求该椭圆方程.(12 分) 2

17.过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1上一点P( x0 , y 0 )向圆O : x 2 ? y 2 ? 4 引两条切线 PA、PB、A、 8 4

B 为切点,如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点. (1)若 PA ? PB ? 0 ,求 P 点坐标;
2

(2)求直线 AB 的方程(用 x0 , y0 表示) ; (3)求△MON 面积的最小值. 为原点)(12 分) (O

2 2 18.椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、Q 两点,且 OP ? OQ ,其中 O a2 b2 为坐标原点.

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b
3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围.(12 分) 3 2

(2)若椭圆的离心率 e 满足

19.一条变动的直线 L 与椭圆

x2 y2 + =1 交于 P、Q 两点,M 是 L 上的动点,满足关系 4 2

|MP|·|MQ|=2.若直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程, 并说明曲线的形状. (14 分)
3

20.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) c ? 0 )的准线 l 与 ( x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 . (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (3)设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M, 证明 FM ? ?? FQ .(14 分)

4

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 A 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 12. ? ?1 36 27 15 10

13. [?13,13]

14.

4 5

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分)

15.(12 分) [解析]:由

b?4 5 y2 y2 x2 x2 a ? 12 c 2 ? ?1或 ? ?1 . ,∴椭圆的方程为: e? ? ? 144 80 144 80 a 3 c?8 a2 ?b2 ? c2

16.(12 分) [解析]:设 A(x1,y1),B(x2,y2),? e ?

1 4 8 , 由焦半径公式有 a-ex1+a-ex2= a ,∴x1+x2= a , 2 5 5 1 5 1 5 3 即 AB 中点横坐标为 a ,又左准线方程为 x ? ? a ,∴ a ? a ? ,即 a=1,∴椭圆方程为 4 4 4 4 2
x2+ 25 y2=1.
9

17.(12 分) [解析]: (1)? PA? PB ? 0

? PA ? PB

∴OAPB 的正方形

2 2 ? x0 ? y 0 ? 8 32 ? 2 2 由? 2 ? x0 ? ?8 x0 y 0 4 ?1 ? ? 4 ?8

?x0 ? ?2 2 ∴P 点坐标为( ? 2 2 ,0 )

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 PA、PB 的方程分别为 x1 x ?

y1 y ? 4, x2 x ? y2 y ? 4 ,而 PA、PB 交于 P(x0,y0)

即 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB 的直线方程为:x0x+y0y=4 (3)由 x x ? y y ? 4得M ( 4 ,0) 、 N (0, 4 ) 0 0

S ?MON

y0 1 1 4 4 1 ? | OM | ? | ON |? | |?| |? 8 ? 2 2 x0 y0 | x0 y 0 |
y0 x2 y2 8 8 ? ?2 2 |? 2 2 ( 0 ? 0 ) ? 2 2 ? S ?MON ? 8 4 | x0 y 0 | 2 2 2 2 2 x0 ?

x0

? x0 y0 |? 4 2 | |

2 18. (12 分)[解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ 2 2
2 2

当且仅当 | x 0 |?| y 0 | 时, S . ?MON min ? 2 2

?

x 1x 2 + y1 y 2 = 0

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代 入 上 式 得x:2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 2 1x

① 又将 y ? 1 ? x代入

y x 2a 2 ? 2 ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2 , a2 b a ? b2 a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2
5

(2) ? e 2 ?

a2 c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? , 又由(1)知 b 2 ? 3 2 2 a 3 2a 2 ? 1 a2 a a

1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5 , 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2 2a ? 1 3 4 2 2 2 19.(14 分) ?
[解析]:设动点 M(x,y),动直线 L:y=x+m,并设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是方程组 ? y ? x ? m, 的解, ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 消去 y,得 3x2+4mx+2m2-4=0,其中 Δ=16m2-12(2m2-4)>0,∴-
2 x1x2= 2m ? 4 ,又∵|MP|= 3

6 <m< 6 ,且 x1+x2=- 4 m ,
3

2 |x-x1|,|MQ|= 2 |x-x2|.由|MP||MQ|=2,得|x-x1||x-x2|=1,也即
4mx 2m 2 ? 4 2 2 2 2 ? ? 1. ∵m=y-x,∴|x +2y -4|=3.由 x +2y -4=3,得 3 3

|x2-(x1+x2)x+x1x2|=1,于是有 x 2 ?

x 2 2x 2 ? ? 1 夹在直线 y ? x ? 6 间两段弧, 且不包含端点. x2+2y2-4=-3, 由 得椭圆 x2+2y2=1. 7 7 2 2 ?a 2 ? c 2 ? 2, 20.(14 分) [解析]: (1)由题意,可设椭圆的方程为 x ? y ? 1(a ? 2 ) .由已知得 ? ? a2 2 a2 ?c ? 2( ? c). c ? 2 2 解得 a ? 6 , c ? 2 ,所以椭圆的方程为 x ? y ? 1 ,离心率 e ? 6 . 6 2 3
椭圆

? ? 1, (2)解:由(1)可得 A(3,0) .设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) .由方程组 ? 2 ?6

? x2

y2

? y ? k ( x ? 3) ? 6 6 . 2 2 2 2 2 得 (3k ? 1) x ? 18k x ? 27k ? 6 ? 0 ,依题意 ? ? 12(2 ? 3k ) ? 0 ,得 ? ?k? 3 3 2 18k 2 , ① 27k ? 6 . ②,由直线 PQ 的方程得 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3)

.于是 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] . ③ ④,由①②③④得 5k
2

∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

? 1,从而 k ? ?

5 6 ? (? , 5 3

6 . ) 3

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 . (2)证明: AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) .由已知得方程组

而 FQ ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? ( ? ? 1 , y 2 ) ,所以 FM ? ?? FQ .

? x1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3), ? y ? ?y , 2 ? 1 ? x12 y12 注意 ? ? 1 ,解得 x ? 5? ? 1 ,因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) ,故 2 ? ? ? 1, 2? 6 2 ? ? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 ?6 1? ? ? ?1 FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (?( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? ( , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) . 2 2?
2?

6

7



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