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北京市石景山区2007—2008学年度第一学期高三期末统一测试——数学(文)


2007— 石景山区 2007—2008 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(文科) 高三数学(文科)
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 8 页,各题答案均答在本题规定的位置.

题号 分数



二 15 16 17

三 18 19 20

总分

个小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 1.设集合 A = { x | ?1 ≤ x ≤ 2} , B = { x | 0 ≤ x ≤ 4} ,则 A I B = ( A. [0, 2] B. [1 , 2] C. [0, ) D. [1, )

4]

4]

2.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 = 18 ? a4 ,则 S8 等于( A. 144 B. 72 C. 54

D. 36 )

3.现有 3 名男生和 2 名女生站成一排,要求其中 2 名女生恰好站在两端的不同的排法种数为( A. 120 B. 24 C. 12 D. 48 )

4.已知向量 a 、 b 满足 | a |= 4 , | b |= 3 , < a,b >= 30° ,则 a ? b 等于( A. 3 5.已知 sin( A. B. 6 3 C. 6 D. 12

π
2

?α) =

7 25 1 6 6. ( x + ) 的展开式中的常数项等于( x
A. 6 B. 15

3 ,则 cos(π ? 2α ) =( ) 5 24 7 B. C. ? 25 25
) C. 20

D. ?

24 25

D. 30

7.关于直线 m, n 与平面 α , β ,有以下四个命题: ①若 m // α , n // β 且 α // β ,则 m // n ;②若 m ⊥ α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m ⊥ n ; ③若 m ⊥ α , n // β 且 α // β ,则 m ⊥ n ;④若 m // α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m // n ; 其中真命题的序号是( )

A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

8.现向一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高 度 h 随时间 t 的函数关系的是( )

A

B

C

D

个小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 填空题: 9.已知 log 3

x = 2 ,则 x =__________.

10.某学校共有师生 2400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本,已知 . 从学生中抽取的人数为 150 ,那么该学校的教师人数是 11.不等式 | 2 x ? 5 |> 1 的解集是_________________. 12.函数 y = log 2 ( x ? 2 x) 的单调递减区间是_____________.
2

13 . 某 校 对 文 明 班 的 评 选 设 计 了 a, b, c, d , e 五 个 方 面 的 多 元 评 价 指 标 , 并 通 过 经 验 公 式

a c 1 + + 来计算各班的综合得分, S 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项 b d e 指标显示出 0 < c < d < e < b < a ,则下阶段要把其中一个指标的值增加 1 个单位,而使得 S 的 S=
值增加最多,那么该指标应为 . (填入 a, b, c, d , e 中的某个字母)

14.一种计算装置,有一个数据入口 A 和一个运算出口 B ,执行某种运算程序. (1)当从 A 口输入自然数 1 时,从 B 口得到实数 ,记为 f (1) =

1 3

1 ; 3

(2)当从 A 口输入自然数 n( n ≥ 2) 时,在 B 口得到的结果 f (n) 是前一结果 f (n ? 1)的 倍. 当从 A 口输入 3 时,从 B 口得到 则应从 A 口输入自然数 . ;要想从 B 口得到

2( n ? 1) ? 1 2( n ? 1) + 3

1 , 2303

个小题, 解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 15. (本题满分 14 分) 已知: ?

π
2

< x < 0 , sin x + cos x =

1 . 5

(Ⅰ)求 sin 2 x 和 cos x ? sin x 的值;

sin 2 x + 2 sin 2 x 的值. (Ⅱ)求 1 ? tan x

16. (本题满分 12 分) 体育课上练习投篮, 甲、乙两名学生在罚球线投球的命中率分别为 每人投球 3 次. (Ⅰ)求两人都恰好投进 2 球的概率; (Ⅱ)求甲恰好赢乙 1 球的概率.

2 1 、 , 3 2

17. (本题满分 14 分) 设正数数列{ a n }的前 n 项和 Sn 满足 S n = (I)求数列{ a n }的通项公式; (II)设 bn =

1 (a n + 1) 2 . 4

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . a n ? a n+1

18. (本题满分 14 分) 已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥ 平面 ABCD ,

PA = AB = 1 , BC = 2 .
(Ⅰ)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; (Ⅲ)点 G 在线段 BC 上,且 BG =

3 ,求点 D 到平面 PAG 的距离.
P

19. (本题满分 12 分)

E

D 对于定义域为 D 的函数 y = f (x ) ,若同时满足:① f (x )A D 内单调递增或单调递减;②存 在 B C 在区间[ a, b ] ? D ,使 f (x ) 在[ a, b ]上的值域为[ a, b ];那么把 y = f (x ) ( x ∈ D )叫做闭函数.

(Ⅰ)请你举出一个闭函数的例子,并写出它的一个符合条件②的区间[ a, b ]; (Ⅱ)求闭函数 y = ? x 符合条件②的区间[ a, b ];
3

(Ⅲ)判断函数 f ( x ) =

3 1 x + ( x > 0) 是否为闭函数?并说明理由. 4 x

20. (本题满分 14 分) 已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) =

1 3 a +1 2 x + x + ( 4a + 1) x . 12 2

(Ⅰ)如果函数 g ( x ) = f ′( x ) 是偶函数,求 f ( x ) 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数 f ( x ) 是 ( ?∞,

+ ∞) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

2007 07— 石景山区 2007—2008 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(文科) 高三数学(文科)参考答案
个小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B A C D C

个小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 填空题: 注: 题号 9 10 11 12 13 14 3 分. 个小题, 解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 15. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ sin x + cos x = 答案 81 150

{x | x < 2 ,或 x > 3}

(?∞, 0)

c

1 ,24 35

第 14 题 第 1 个空 分,第 2 个 空 2

1 1 2 ,∴ (sin x + cos x ) = . 5 25 24 24 ∴ 2 sin x cos x = ? ,即 sin 2 x = ? . ………………………………4 分 25 25
∵ ?

π

2

< x < 0 ,∴ cos x > sin x .

………………………………5 分

∴ cos x ? sin x =

(cos x ? sin x) 2 = 1 ? 2 sin x cos x = 1 +

24 7 = . 25 5

………………………………8 分

sin 2 x + 2 sin 2 x 2 sin x cos x + 2 sin 2 x 2 sin x(cos x + sin x) (Ⅱ) = = sin x cos x ? sin x 1 ? tan x 1? cos x cos x
= 2 sin x cos x(cos x + sin x) sin 2 x(sin x + cos x) = …………………12 分 cos x ? sin x cos x ? sin x 24 1 (? ) × 24 = 25 5 = ? . ………………………………14 分 7 175 5
………………………1 分

16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记甲、乙两人都恰好投进 2 球为事件 A . 由于甲、乙两人各投进两球为相互独立事件 , 则甲乙两人都恰好投进 2 球的概率为

1 2 1 1 1 2 2 ………………………5 分 P(A) = C 3 ( ) 2 ? C 3 ( ) 2 ( ) = . 3 3 2 2 6 (Ⅱ)记甲赢乙 1 球为事件 B . ………………………6 分 甲赢乙 1 球共有三种情况: 甲投中 1 球乙没中, 甲投中 2 球乙投中 1 球, 甲投 ………………………8 分 投中 2 球,这三种情况彼此互斥 . 则甲赢乙 1 球的概率为 1 2 1 11 1 1 2 1 P ( B ) = C 3 ( ) 2 ? ( ) 3 + C 32 ( ) 2 ? C 3 ( ) 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 1 2 1 11 3 + C3 ( ) ? C3 ( ) ( ) = . ………………………12 分 3 2 2 36
17. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 n = 1 时, a1 = S1 = ∵ Sn = ∴ S n ?1

中 3 球乙

1 (a1 + 1) 2 ,∴ a1 = 1 . 4


………………………2 分

1 (a n + 1) 2 , 4 1 = (a n ?1 + 1) 2 4

(n ≥ 2) .



①-②,得 a n = S n ? S n ?1 =

1 1 (a n + 1) 2 ? (a n ?1 + 1) 2 , 4 4
………………………5 分

整理得, (a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) = 0 , ∵ an > 0 ∴ a n + a n ?1 > 0 .

∴ a n ? a n ?1 ? 2 = 0 ,即 a n ? a n ?1 = 2( n ≥ 2) .

………………………7 分

故数列 {a n } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列. ∴ a n = 2n ? 1 . (Ⅱ)∵ bn = ………………………9 分

1 1 1 1 1 = = ( ? ) , ………………11 分 a n ? a n +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1



Tn = b1 + b2 + L + bn
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n + 1 1 1 n = (1 ? )= . ………………………14 分 2 2n + 1 2n + 1 =

18. (本题满分 14 分) 解法一: (Ⅰ)证明: ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , 解法一: P ∴ PA ⊥ CD . …………1 分 E ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD ⊥ CD . A D 又 PA ∩ AD = A , F M …………3 分 ∴ CD ⊥ 平面 PAD . B G C 又 ∵ CD ? 平面 PDC , ∴ 平面 PDC ⊥ 平面 PAD . ……5 分 (Ⅱ)解:设 CD 的中点为 F ,连结 EF 、 AF . ∵ E 是 PD 中点, ∴ EF ∥ PC . ∴ ∠AEF 是异面直线 AE 与 PC 所成角或其补角. ……………………7 分 由 PA = AB = 1 , BC = 2 ,计算得

AE =

1 5 1 6 17 PD = , EF = PC = , AF = , 2 2 2 2 2
2 2 2

5 6 17 + ? AE + EF ? AF 4 4 4 = ? 30 ,…………………9 分 cos ∠AEF = = 2 AE ? EF 10 5 6 2? ? 2 2
∴ 异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值为 (Ⅲ)解:过点 D 作 DM ⊥ AG 于 M . ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ DM . 又 PA ∩ AG = A , ∴ DM ⊥ 平面 PAG .

30 . 10

……………………10 分

∴ 线段 DM 的长是点 D 到平面 PAG 的距离. 又

………………………12 分

1 1 AG ? DM = 1 + ( 3 ) 2 ? DM = 1 , 2 2 解得 DM = 1 . ………………………14 分 所以点 D 到平面 PAG 的距离为 1 . S ?AGD =
解法二: 解法二:如图,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴建立空 间直角坐标系,则 A(0,0,0) , B(1,0,0) ,C(1,2,0,, ) 1 D(0,2,0) ,E(0,1, ) , 2 P(0,0,1) . ∴ CD = (-1, 0) AD = 0, , (0, 0) 2, , 1 AP =(0,0,1) AE =(0,1,2) , ,
B A Q G C P E D y z

PC =(1,2,-1) …………2 分 .
(Ⅰ)∵ CD ? AD = 0 , ∴

x

CD ⊥ AD . CD ⊥ AP .

∵ CD ? AP = 0 ,∴ 又 AP I AD = A ,∴

CD ⊥ 平面 PAD . …………………………5 分 ∵ CD ? 平面 PAD ,∴ 平面 PDC ⊥平面 PAD . …………………………7 分 AE ? PC | AE | ? | PC |
= 2? 1+ 1 2 = 30 , 10

(Ⅱ)∵ cos < AE , PC >=

1 ? 6 4

…………………………9 分 ∴ 异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值为 (Ⅲ) 作 DQ ⊥ AG 于 Q . ∵ ∴ 又 ∴

30 . 10

………………10 分

PA ⊥ 平面 ABCD , PA ⊥ DQ . PA ∩ AG = A , DQ ⊥ 平面 PAG .

∴ 线段 DQ 的长是点 D 到平面 PAG 的距离. ………………12 分

∵ 2 S ?ADG = S 矩形 ABCD, ∴ | AG | ? | DQ |=| AB | ? | AD |= 2 , 由 | AG |= 2 ,得到 DQ = 1 . ∴ 点 D 到平面 PAG 的距离为 1. 19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)如 f ( x ) = x , [ a, b] = [1, 2] . ……………………3 分 ……………………14 分

?b = ? a 3 ? ? a = ?1 3 (Ⅱ)由题意, y = ? x 3 在[ a, b ]上递减,则 ?a = ?b ,解得 ? . ?b = 1 ?b > a ?
所以,所求的区间为 [ ?1, 1] . (Ⅲ)取 x1 = 1 , x 2 = 10 ,则 f ( x1 ) = 即 f (x ) 不是 (0,+∞) 上的减函数. 取 x1 = ………………………7 分

7 76 < = f ( x2 ) , 4 10

1 1 3 3 , x2 = , f ( x1 ) = + 10 < + 100 = f ( x 2 ) , 10 100 40 400

即 f (x ) 不是 (0,+∞) 上的增函数. 所以,函数在定义域内既不单调递增也不单调递减,从而该函数不是闭函数. ………………………12 分 20. (本题满分 14 分) 解: f ′( x ) =

1 2 x + (a + 1) x + (4a + 1) . 4

………………………2 分 ………………………4 分

(Ⅰ)∵ f ′( x ) 是偶函数,∴ a = ?1 . 此时 f ( x ) =

1 3 1 x ? 3 x , f ′( x) = x 2 ? 3 , 12 4
………………………6 分

令 f ′( x ) = 0 ,解得: x = ±2 3 . 列表如下:

x
f ′( x) f ( x)

(-∞,-2 3 ) + 递增

-2 3 0 极大值

(-2 3 ,2 3 ) - 递减

2 3 0 极小值

(2 3 ,+∞) + 递增

可知: f ( x ) 的极大值为 f ( ?2 3 ) = 4 3 ,

f ( x) 的极小值为 f (2 3 ) = ?4 3 .
(Ⅱ)∵ f ′( x ) =

…………………9 分

1 2 x + (a + 1) x + (4a + 1) , 4 1 2 2 令 ? = ( a + 1) ? 4 ? ? (4a + 1) = a ? 2a ≤ 0, 4 解得: 0 ≤ a ≤ 2 .

………………………11 分

这时 f ′( x ) ≥ 0 恒成立, ∴ 函数 y = f (x ) 在 ( ?∞,

+ ∞) 上为单调递增函数.
………………………14 分

综上, a 的取值范围是 {a 0 ≤ a ≤ 2} .

注:若有其它解法,请酌情给分. 若有其它解法,请酌情给分.


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