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甘肃省兰州第一中学2017届高三12月月考数学(文)试题(含答案)



兰州一中 2017 届高三 12 月考试试题 数学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 M={2,3,4,5},N={x|sinx>0},则 M∩N 为( A.{2,3,4,5} B.{2,3,4} C.{3,4,5} ) D.{2,3} )

2.已知 i 是复数的虚数单位,若复数 z (1 ? i ) ?| 2i | ,则复数 z ? ( A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. i )

3.设 a,b 为实数,则“ab>1”是“ b ? A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ”的( a

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.在 ?ABC 中,已知向量 AB ? (2,2) , | A.

AC |? 2 , AB ? AC ? ?4 ,则 ? A =(
C.



3? 4

B.

? 4
4 3

2? 3

D.

5? 6

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A.2π﹣ C.



2 3

B.2π﹣

5? D.2π﹣2 3


6.已知 1 是 lg a 与 lg b 的等比中项,若 a ? 1, b ? 1, 则 ab 有( A.最小值 10 B.最小值 100 C.最大值 10

D.最大值 100

7. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三 人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊 三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的 一种重量单位) .这个问题中,甲所得为( )

5 3 5 4 A . 钱 B. 钱 C. 钱 D . 钱 3 4 2 3
8.若函数 f(x)=loga( x 2 ﹣ax+ A. (0,1)
1 )有最小值,则实数 a 的取值范围是( 2



B. (0,1) ? (1, 2 )

C. (1, 2 )

D.[ 2 ,+∞) )

9.若 tanα=lg(10a) ,tanβ=lga,且 α﹣β= A.1 B.
1 10

?
4

,则实数 a 的值为(

C.1 或

1 D.1 或 10 10

?y ?1 ? ? y ? 2x ?1 10.设实数 x , y 满足约束条件且 ? 目标函数 z ? x ? y 的最小值为-1,则 m =( ?x ? y ? m

)

A.6

B.5

C.4

D.3

11.若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则φ 的最小正 值是( A. ).

? ? 3? 3? B. C. . D. 8 4 4 8

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f (? x) ,且在 [1, ??) 上为减函数, f (1 ? m) ? f (m) , 则实数 m 的取值范围是( )

A. ( , ??) B. (??, ) C. ( ??, ? ) D. ( ??, ? ) ? ( , ?? ) .

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.设函数 f ( x) ? ?

? x ? 2, x ? 0
x ?1 ?3 , x ? 0

? f ? ?2?? ? ? _________. ,则 f ?

14.设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为_________.. 15. 在△ ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 bcosC=3acosB﹣ccosB,

BA ? BC ? 2 则△ ABC 的面积为_________



16. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为线段 A1B 上的动 点,则下列结论正确的有___________ ①三棱锥 M﹣DCC1 的体积为定值 ③∠AMD1 的最大值为 90° ②DC1⊥D1M

④AM+MD1 的最小值为 2.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)已知命题

p :方程 x2 ? 4 x ? m ? 0 有实根,命题: ?1 ? m ? 5 .若 p ? q 为假

命题, p ? q 为真命题,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求3sin x-2cos x的值; (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+B), m,求 f ( B ? 函数 f(x)=(m+n)·

?
8

) 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分))已知递增等比数列{ an }的前三项之积为 8,且这三项分别加上 1,2,2 后 又成等差数列. (1)求等比数列{ an }的通项公式; (2)记 bn ? an ? 2n ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn.

20. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为 一直角梯形,侧面 PAD 是等边三角形,其中 BA ? AD, CD ? AD ,

CD ? 2 AD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点.
(1)求证: BE //平面 PAD ;(2)求证: BE ? CD ; (3)求 BD 与平面 PDC 所成角的正弦值。

21. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)= e x ﹣a(x+1) (e 是自然对数的底数,e=2.71828…) . (1)若 f'(0)=0,求实数 a 的值,并求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=f(x)+

a ,且 A( x1 , g ( x1 ) ) ,B( x2 , g ( x2 ) ) ( x1 ? x 2 )是曲线 y=g(x)上 ex

任意两点,若对任意的 a≤﹣1,恒有 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m( x2 ? x1 ) 成立,求实数 m 的取值范围;

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

? x ? 1 ? t cos ? 22. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,在极 ? y ? 2 ? t sin ?
坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ρ=6sinθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P(1,2) ,设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,求|PA|+|PB|的最小值.

23. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

甘肃省兰州一中 2017 届高三 12 月考试题答案 数学(文)
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1. D 7.B 2.A 8. C 3.D 9. C 4. A 10.B 5.A 11.D 6.B 12.A

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 14. 3 2 15.

2 2 16. ①②
[:]

三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. 解:p 为真命题? ? =16 ? 4m ? 0 ,? m ? 4 (2 分) ∵ p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,∴p,q 一真一假(4 分)

当 p 真 q 假时, ?

?m ? 4 ,得 ?m ? ?1或m ? 5

m ? ?1 (7 分)

当 p 假 q 真时, ?

?m ? 4 ,得 4 ? m ? 5 (10 分) ??1 ? m ? 5

综上所述,实数 m 的取值范围是: (??, ?1) ? (4,5] (12 分) sin x+cos x ? 9 18. (1)解:油已知得 3sinx+cosx=0,;∴cosx=-3sinx∴ = (4 分) 3sin x-2cos x

2

3 ? ,A? 3 (6 分) (2) ∵ 3c=2asin(A+B)由正弦定理 3sinC=2sinAsinC∴sinA= 2
又?ABC为锐角三角形, ?

?
6

?B?

?
2

?

?
3

? 2 B ? ? ,0 ? sin 2 B ? 1(8分) 2 ? 3 sin(2 x ? ) ? (10分) 2 4 2

? f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? sin x cos x ? 2 ?

? 2 3 3 2 3 ? f (B ? ) ? sin 2 B ? ? (? , ? ( ] 12分) 8 2 2 2 2 2
19.解 (1)设等比数列前三项分别为 a1,a2,a3,

则 a1+1,a2+2,a3+2 又成等差数列.
? ?a1a2a3=8, 依题意得? ?2(a2+2)=(a1+1)+(a3+2), ?
2 ? ? ?a1·a1q·a1q =8, ?a1=1, ? 即 解得? (4 分) 2 ?2(a1q+2)=a1+1+a1·q +2, ?q=2 ? ?

a =4, ? ? 1 或? 1 (数列{an}为递增等比数列,舍去). ? ?q=2 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n 1.(6 分)


(2)由 bn=an+2n,得 bn=2n 1+2n,


∴Tn=b1+b2+…+bn =(20+2×1)+(21+2×2)+(22+2×3)+…+(2n 1+2n)


=(20+21+22+…+2n 1)+2(1+2+3+…+n)




20(1-2n) n(1+n) n +2× =2 +n2+n-1.(12 分) 2 1-2

20.(1)证明:如图,

取 CD 的中点 M,连接 EM、BM,则四边形 ABMD 为矩形 ∴EM∥PD,BM∥AD; 又∵BM∩EM=M, ∴平面 EBM∥平面 APD; 而 BE?平面 EBM, ∴BE∥平面 PAD;(5 分) (2)证明:取 PD 的中点 F,连接 FE,则 FE∥DC,BE∥AF, 又∵DC⊥AD,DC⊥PA, ∴DC⊥平面 PAD, ∴DC⊥AF,DC⊥PD, ∴EF⊥AF,

在 Rt△PAD 中,∵AD=AP,F 为 PD 的中点, ∴AF⊥PD,又 AF⊥EF 且 PD∩EF=F, ∴AF⊥平面 PDC,又 BE∥AF, ∴BE⊥平面 PDC, ∴CD⊥BE;(9 分) (3)解:∵CD⊥AF,AF⊥PD,CD∩PD=D, ∴AF⊥平面 PCD, 连接 DE,则∠BDE 为 BD 与平面 PDC 所成角. 在直角△BDE 中,设 AD=AB=a,则 BE=AF= 21. (1)解:∵f(x)=e ﹣a(x+1) , ∴f′(x)=e ﹣a, ∵f′(0)=1﹣a=0,∴a=1,∴f′(x)=e ﹣1, 由 f′(x)=e ﹣1>0,得 x>0;由由 f′(x)=ex﹣1<0,得 x<0, ∴函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞) ,单调减区间为(﹣∞,0) . (6 分)…
x x x x

3 BE 6 (12 分) a ,BD= 2a ,∴sin∠BDE= = 2 BD 4

g ( x2 ) ? g ( x1 ) x2 ? x1 (2)由 >m, (x <x )变形得:g(x )﹣mx >g(x )﹣mx ,
1 2 2 2 1 1

令函数 F(x)=g(x)﹣mx,则 F(x)在 R 上单调递增,(9 分) ∴F′(x)=g′(x)﹣m≥0,即 m≤g′(x)在 R 上恒成立,

g ?( x) ? e x ? a ?
故 m≤3.

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a ? ?a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1) 2 ? 1 ? 3 x e e ,

∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,3].(12 分) .请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (1)解:由 ρ=6sinθ 得 ρ =6ρsinθ,化为直角坐标方程为 x +y =6y,即 x +(y﹣3) =9.(2 分) (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t +2(cosα﹣sinα)t﹣7=0,(4 分) 由△=(2cosα﹣2sinα) +4×7>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两根, ∴ t1 ? t 2 ? ?2(cos? ? sin ? )且t1t 2 ? ?7 ,(6 分) 又直线过点(1,2) ,故结合 t 的几何意义得
2 2 2 2 2 2 2

PA ? PB ? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 4(cos? ? sin ? ) 2 ? 28 ? 32 ? 4 sin 2? ? 32 ? 4 ? 2 7
∴|PA|+|PB|的最小值为 2 7 .(10 分) 23.解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即① 3 ? x ? 2 ? x ? 3( x ? 2) , 或② 3 ? x ? x ? 2 ? 3(2 ? x ? 3) ,或③ x ? 3 ? x ? 2 ? 3( x ? 3) . 解①可得 x≤1,解②可得 x∈?,解③可得 x≥4. 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1 或 x≥4}.(5 分) (2)原命题即 f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2 时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为 0, 故 a 的取值范围为[﹣3,0].(10 分)

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