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高中数学复习资料5数列参考答案


第五章 数列参考答案 1-9:A.C B B C

C C D A

10: 【答案】解:设该数列公差为 d ,前 n 项和为 s n .由已知,可得

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? .
2

所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 , 解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ? an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ?

3n 2 ? n 2

11:?49 ;12: 1000 ;13:12 ;14:?

1 1 1 1 3 ; ( 100 ? 1) ;15: [( ) n ?1 ? 1] ;16:64 ; n ?1 2 16 3 2
n ?1

17 :

5 2 7 n ? n 6 6
n?1

- 1) 2 2 2 n -1 2 ; 18 : 20 ; 19 : 1 - 2 ? 3 - ? ? ? ? - 1 n ?
;21: a n ?

2

n(n ? 1) ;

20: an = (?2)

3n ? 2 , n ? N * ;22:2, 2n?1 ? 2 ;23:63

24. (2013 安徽)设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ?
n

x2 x2 xn ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 22 3 n

(Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ? xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?
n

2 3

1 . n
: (Ⅰ)











xn x2 x3 x4 xn ? 当x ? 0时,y ? 2 是单调递增的? f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 是 x 的 n 2 3 4 n
单调递增函数,也是 n 的单 调递增函数. 且f n (0) ? ?1 ? 0, f n (1) ? ?1 ? 1 ? 0 .

?

xn ? (0,1],

f n ( xn ) ? 0 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? ? xn ? 0
x2 x3 x4 xn x 2 1 ? x n ?1 x2 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ? ? 4 1? x 4 1? x 22 2 2 2
xn 1 2 ? ? ( x n ? 2)(3 x n ? 2) ? 0 ? x n ? [ ,1] 4 1 ? xn 3
2

x ? (0,1). , f n ( x) ? ?1 ? x ?

? 0 ? f n ( x n ) ? ?1 ? x n ?
n

综上,对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;(证毕)

2 3

(Ⅱ) 由题知 1 ? x n ? x n ? p

x x x x ? 0, f n ( x n ) ? ?1 ? x n ? n2 ? n2 ? n2 ? ? ? ? ? n2 ? 0 2 3 4 n
2

2

3

4

n

f n ? p ( x n ? p ) ? ?1 ? x n ? p ?
式 减

xn? p 22

?

xn? p 32

3

?

xn? p 42

4

? .. ?

xn? p n2

n

?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

? .. ?

xn? p

n? p

(n ? p) 2

?0 上
相 :

xn ?

xn

2

22

?

xn

3

32

?
2

xn

4

42

? .. ?
2

xn

n

n2
3

? xn? p ?
3

xn? p 22
4

2

?

x n? p 32
4

3

?

x n? p 42

4

? .. ?
n

x n? p n2
?

n

?

x n? p

n ?1

(n ? 1) 2
n ?1

? .. ?
xn? p

x n? p

n? p

(n ? p) 2
n? p

xn - xn? p ?

xn? p - xn 22

?

xn? p - xn 32

?

xn? p - xn 42

? .. ?

xn? p - xn n2

n

xn? p

(n ? 1) 2

? .. ?

(n ? p ) 2

?

1 1 1 1 ? ? ? xn - xn? p ? . n n? p n n

法二:

1. (2013 上海)(3 分+6 分+9 分)给 定常数 c ? 0 ,定义函数 f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c | ,

数列 a1 , a2 , a3 ,? 满足 an ?1 ? f (an ), n ? N .
*

(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N , an ?1 ? an ? c ,;
*

(3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,? an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说 明理由.
【答案】:(1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an ?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an ?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即 d ? c ?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,?, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意; 综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ?{?c ? 8} .
2. (2013 江苏)本小题满分 10 分.
k个 ????????? k- 1 1,- 2 ,- 2 , 3 ,- ,,- ,- ,- , , - ) k, ,( ) k- 1 , 即 当 , 3 3 4 4 ? 4 14 ? 设 数 列 ?an ?: ( - k1

(k ? 1 k ) (k ? 1 k ) (- k ?n? ? k ? N ? ? 时, an ? 1)?1k ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? an ? n ? N ? ? ,对 2 2
? 于 l ? N ,定义集合 Pl ? n S n 是an的整数倍,n ? N ,且1 ? n ? l
?

?

?

(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数.
【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用

数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1) 解 : 由 数 列

?a n ?







得: a1 ? 1 , a 2 ? ?2 , a 3 ? ?2 , a 4 ? 3 , a5 ? 3 , a6 ? 3 , a 7 ? ?4 , a8 ? ?4 , a9 ? ?4 ,

a10 ? ?4 , a11 ? 5
∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S 8 ? ?2 , S 9 ? ?6 ,

S10 ? ?10 , S11 ? ?5
∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a 6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 S i ( 2i ?1) ? ?i (2i ? 1) 事实上, ① 当 i ? 1 时, S i ( 2i ?1) ? S 3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

② 假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m ( 2 m ?1) ? ?m ? (2m ? 1) 则: i ? m ? 1 ,时,

S ( m?1)[ 2( m?1)?1} ? S ( m?1)( 2 m?3} ? S m ( 2 m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2

? ?(2m 2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)( 2m ? 3)
综合①②得: S i ( 2i ?1) ? ?i (2i ? 1) 于是

S (i ?1)[ 2i ?1} ? S i ( 2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: S i ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 S i ( 2i ?1) ? j ? S i ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数

又 S (i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)( 2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2) 所 以

S (i ?1)( 2i ?1)? j ? S (i ?1)( 2i ?1) ? j (2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j (2i ? 2)





a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的倍数
故当 l ? i (2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ? 2i - 1 ? i ( )
2

于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( ? j ? 2i ? 1 时,集合 Pl 中元素的个数为 i ? j 1 )
2

又 2000 ? 31 ? 2 ? 31 ? 1 ? 47 ( ) 故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008
2

3. (2013 浙 江)在公差为 d 的等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列.

(1)求 d , an ;

(2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an | .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n ?
(Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,
n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ????? | an |? a1 ? a2 ? a3 ????? an ?
②当12 ? n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ????? | an |? a1 ? a2 ? a3 ????? a11 ? (a12 ? a13 ????? an ) 11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ????? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ????? an ) ? 2 ? ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? | an |? ? ; ?? 2 ? n ? 21n ? 220 ,(n ? 12) ? ? 2
4. (2013 湖北)已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2 a3 ? 125 .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 ; (II)是否存在正整数 m ,使得 明理由.
【答案】解:(I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 ,

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说 a1 a2 am

所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,

n ?2

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; a1 a2 am 5

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 若q ? 3, ? ,不存在这样的正整数 m . ??? ? ?1 ? ? ? ? ? a1 a2 am 10 ? ? 3 ? ? 10 ? ?

5. (2013 山东)设等差数列 ? a

n

? 的前 n 项和为 S n ,且 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1 .
an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数 n 2

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn .
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,



S4 ? 4S2 a2 n ? 2an ? 1
,



4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ? a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2( n ? 1) d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 d ? 2 ,

an ? 2n ? 1 (n ? N * )

(Ⅱ)由题意知:

Tn ? ? ?

n 2n ?1 n n ?1 ? n ?2 n ?1 2 2
(n ? N * )

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( )n?1 2 n ?1 2 4

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? (n ? 1) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? (n ? 2) ? ( ) n?1 ? (n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( )2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 1 ? 4 4 ? (n ? 1)( ) n 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得

所以数列数列

?cn ?

1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 的前 n 项和

6. (2013 江苏) 本小题满分 16 分.设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其

前 n 项和.记 bn ?

nSn * , n ? N ,其中 c 为实数. 2 n ?c
2

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n Sk ( k , n ? N );
*

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .
【答案】证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和

∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ∴ S n ? na ? d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
∴左边 = S nk ? (nk ) a ? n k a
2 2 2 2

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n S k ? n k a
2 2

∴左边=右边∴原式成立

(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d 1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nSn 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?
n ? N ? 恒成立

nSn n2 ? c

∴ (d1 ?

1 1 d )n 3 ? (b1 ? d1 ? a ? d )n 2 ? cd1n ? c(d1 ? b1 ) 对 2 2

1 ? ?d 1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d 1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d1 ? 由③式得: c ? 0

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 a n ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

n[( n ? 1)d ? 2a] (n ? 1)d ? 2a , bn ? . 2 2

即: ? a ?

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?
2 2 2 2 2 2 2

2

由此: S n ? n a , S nk ? (nk ) a ? n k a , n S k ? n k a .
* 故: Snk ? n Sk ( k , n ? N ).

2

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 故有: ≠0, ? 0 ,而 ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故 c ? 0. c

经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.
7. (2013 大纲) 等差数 列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S3 =a2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求
2

?an ? 的通项式.
【答案】

8. 2013 天津) ( 已知首项为

3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 2

S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
【答案】

1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

9. (2013 江西)正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n ? n ? 1) sn ? (n ? n) ? 0
2 2 2

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

n ?1 5 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 (n ? 2) a 64
2 2 2
2

【答案】(1)解:由 Sn ? (n ? n ? 1) Sn ? (n ? n) ? 0 ,得 ? S n ? (n ? n) ? ( S n ? 1) ? 0 . ? ?

由于 ? an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n ? n .
2

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n .
2 2

综上,数列 ? an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2)2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 ? 32 ? 22 ? 42 ? 32 ? 52 ? … ? ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 2) 2 ? 16 ? ?

?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 ?1 ? 22 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 2) 2 ? ? 16 (1 ? 22 ) ? 64 . 16 ? ?
广 东 ) 设 数 列

10 . ( 2013

? an ?

的 前

n 项 和 为 Sn . 已 知

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ?N* . n 3 3 (Ⅰ) 求 a2 的值;
a1 ? 1 ,
(Ⅱ) 求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
【答案】.(1) 解:?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

?当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn ?1 ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

? 2an ? 2Sn ? 2Sn ?1
? 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

? ?

an ?1 an ? ?1 n ?1 n

a ?a ? ?数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n2 ? n ? 2 ? n
? an ? n 2 , n ? N *
*

当 n ? 1 时,上式显然成立.
2

(3)证明:由(2)知, an ? n , n ? N ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,?原不等式成立. a1 4

②当 n ? 2 时,

1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,?原不等式亦成立. a1 a2 4 4
2

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ?? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

?当 n ? 3 时,,?原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

11. (2013 北京)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n

项之后各项 an ?1 , an ? 2 ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个 周期为 4 的数列(即对任意 n∈N , an ? 4 ? an ),写出
*

d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
【答案】(I) d1 ? d 2 ? 1, d3 ? d 4 ? 3.

(II)(充分性)因为 ? an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? . 因此 An ? an , Bn ? an ?1 , d n ? an ? an ?1 ? ?d (n ? 1, 2,3,?) . (必要性)因为 d n ? ?d ? 0 (n ? 1, 2,3, ?) ,所以 An ? Bn ? d n ? Bn . 又因为 an ? An , an ?1 ? Bn ,所以 an ? an ?1 . 于是 An ? an , Bn ? an ?1 .

因此 an ?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ? an ? 是公差为 d 的等差数列.

(III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1 ,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A1 ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B1 ? 1 . 假设 ?an ? ( n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am ?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? d m ? 2 ? 1 ? 1 , Bm ?1 ? min ?am , Bm ? ? 2 . 故 d m?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 d m ?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1,有 an ? 2 ,即非负整数列 ? an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1, an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? d n ? 2 ? 1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ? an ? 有无穷多项为 1.
12. (2013 陕西)

设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式; 等比数列. 【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是

{ ① 当q ? 1时,数列 a n }是首项为a1的常数数列,所以S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1 .
② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan ?1 ? qan . 上 面 两 式 错 位 相 减 :

( - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan . 1

? Sn ?

a1 ? qan a (1 ? q n ) ?. 1 . 1- q 1- q
(q ? 1) (q ? 1)

?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法.

设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N ,使得a n ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列.
*

②当 ?n ? N ,使得a n ? 1 ? 0 成立,则
*

a n ?1 ? 1 a1 q n ? 1 ? ? 恒为常数 a n ? 1 a1 q n ?1 ? 1

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 .这与题目条件 q≠1 矛盾.
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是 等比数列.


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