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导数综合练习题



导数练习题(B)
1. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c , d 的值; (II)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x) 的 解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ? f ( x) 与 y ? 个不同的交点,求 m 的取值范围. 2. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II) 函数 f ( x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜率为 3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. 3. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围; ( 2a ? 3) 2 (II)若方程 f ( x ) ? ? 恰好有两个不同的根,求 f ( x) 的解析式; 9 (III)对于(II)中的函数 f ( x) ,对任意 ?、? ? R ,求证: | f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 .

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象有三 3

3 1 m , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间 (1, 2 3 2

4. (本小题满分 12 分) 已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x . (I)写出 f ( x) 的单调递增区间,并证明 ea ? a ; (II)讨论函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数.

5. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ?1) ? k ( x ?1) ?1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围;

6. (本小题满分 12 分) 已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3)e 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值;
2 x

(II)求函数 f ( x ) 在 x ?[ ,3] 的最大值和最小值.

3 2

7. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0) (I)当 a=18 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)求函数 f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值.

8. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ? 不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?

2 ,试证明:对任意两个不相等正数 x1、x2 , x2

38 | x1 ? x2 | 恒成立. 27

9. (本小题满分 12 分)

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2 (I)讨论函数 f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1. x1 ? x2

10. (本小题满分 14 分)

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 2 (I)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取值范围; ? ,设 ) F ( x) ? f ( x)? g ( x),求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 ( II )若 a ? (1, e ] (e ? 2.71828 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.
已知函数 f ( x) ? 11. (本小题满分 12 分) 设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ??? ) , f ?( x ) 表示 f ( x ) 导函数. (I)求函数 f ( x ) 的极值; (II)对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,求证:存在唯一的 x 0 ? ( x1 , x2 ) ,使 直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) .

12. (本小题满分 14 分) 定义 F ( x, y) ? (1 ? x) , x, y ? (0,??) ,
y

(I)令函数 f ( x) ? F (3,log2 (2x ? x2 ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; ( II )令函数 g ( x) ? F (1,log 2 ( x3 ? ax2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C ,若存在实数 b 使得曲线 C 在

x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围;
(III)当 x, y ? N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y ) ? F ( y, x) .

导数练习题(B)答案
1. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c , d 的值; (II)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x) 的 解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ? f ( x) 与 y ? 个不同的交点,求 m 的取值范围. 解:函数 f ( x) 的导函数为

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象有三 3
…………(2 分)

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b
'

(I)由图可知 函数 f ( x) 的图象过点(0,3) ,且 f (1) ? 0

?d ? 3 得 ? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0
(II)依题意

?d ? 3 ?? ?c ? 0

…………(4 分)

f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3
2 3 2

(III) f ?( x) ? 3x ? 12x ? 9 . 可转化为:x ? 6x ? 9x ? 3 ? x ? 4x ? 3 ? 5x ? m 有三个不等实根,
2

即: g ?x ? ? x ? 7 x ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点;
3 2

?

…………(8 分)

?

g ??x? ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4?,

x
g ?? x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?
+ 增

2 3
0 极大值

?2 ? 4? ? , ?3 ?


4
0 极小值

?4, ? ??
+ 增

g ?x ?

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . …………(10 分) ? 3 ? 27 ? 2 ? 68 ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, 当且仅当 g ? ? ? ? 3 ? 27 68 故而, ? 16 ? m ? 为所求. …………(12 分) 27 2. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f ( x) 的单调区间;
(II) 函数 f ( x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜率为 3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. 解: (I) f ' ( x) ?

3 1 m , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间 (1, 2 3 2
(2 分)

a(1 ? x) ( x ? 0) x ?0,1?, 减区间为 ?1,??? 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为 ?1,???, 减区间为?0,1?; 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为

当 a=1 时, f ( x) 不是单调函数 (II) f ' (4) ? ?

(5 分)

3a 3 ? 得a ? ?2, f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 4 2 1 m ? g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x,? g ' ( x) ? x 2 ? (m ? 4) x ? 2 (6 分) 3 2 ? g ( x)在区间(1,3)上不是单调函数 , 且g ' (0) ? ?2

? g ' (1) ? 0, ?? ? g ' (3) ? 0.

(8 分)? ?

?m ? ?3, 19 ? 19 (10 分) m ? ( ? ,?3) 3 m? , ? 3 ?

(12 分)

3. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围; ( 2a ? 3) 2 (II)若方程 f ( x ) ? ? 恰好有两个不同的根,求 f ( x) 的解析式; 9 (III)对于(II)中的函数 f ( x) ,对任意 ?、? ? R ,求证: | f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 . 解: (I) f (0) ? 0 ? c ? 0, f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b, f ?(1) ? 0 ? b ? ?2a ? 3

? f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 3), 2a ? 3 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? ? ,因为当 x ? 1 时取得极大值, 3 2a ? 3 所以 ? ? 1 ? a ? ?3 ,所以 a的取值范围是: (??,?3) ; 3
…………(4分) (II)由下表:
2a ? 3 3

x
f ?( x)
f ( x)
依题意得:

(??,1)
+
递增

1
0
极大值
?a?2

(1,?

2a ? 3 ) 3

?

(?

2a ? 3 ,??) 3

递减

0
极小值
a?6 (2a ? 3)2 27

递增

a?6 ( 2a ? 3) 2 ( 2a ? 3) 2 ? ? ,解得: a ? ?9 27 9 所以函数 f ( x) 的解析式是: f ( x) ? x3 ? 9 x2 ? 15x
…………(10分) (III)对任意的实数 ? , ? 都有 ? 2 ? 2 sin ? ? 2,?2 ? 2 sin ? ? 2, 在区间[-2,2]有: f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74, f (1) ? 7, f (2) ? 8 ? 36 ? 30 ? 2

f ( x)的最大值是f (1) ? 7, f ( x)的最小值是f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74 [?2,2] 上的最大值与最小值的差等于81, 函数 f ( x)在区间 所以 | f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 . …………(14分) 4. (本小题满分 12 分) 已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x .
(I)写出 f ( x) 的单调递增区间,并证明 ea ? a ; (II)讨论函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数. 解: (I) f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,得 f ( x) 的单调递增区间是 (0,?? ) , …………(2 分) ∵ a ? 0 ,∴ f (a) ? f (0) ? 1 ,∴ e a ? a ? 1 ? a ,即 ea ? a . …………(4 分)

a (II) g ?( x) ? 2 x ? ? x

2( x ?

x
g ?( x) g ( x)
当x?

2a 2a )( x ? ) 2 2 ,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a ,列表 2 x 2a 2a 2a (0, ) ( ,?? ) 2 2 2 0 + 单调递减 极小值 单调递增

2a a a 2a ) ? (1 ? ln ) ,无极大值. 时,函数 y ? g ( x) 取极小值 g ( 2 2 2 2 …………(6分) ?e 2 a ? e a 2a a ? a a 2a 由(I) e ? a ,∵ ? a ,∴ e ? ,∴ e ? 2 2 ?a ? 2 ? g (1) ? 1 ? 0 , g (e a ) ? e 2 a ? a 2 ? (e a ? a)(e a ? a) ? 0 …………(8 分) 2a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2a ? 1 ,即 a ? 2 时 (ii)当 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 2 ? a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 存在一个零点 x ? e ; 2 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 存在两个零点; 2 2 a 综上所述, y ? g ( x) 在 (1, e ) 上,我们有结论: 当 0 ? a ? 2e 时,函数 f ( x ) 无零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x ) 有一个零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x ) 有两个零点. …………(12分) 5. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ?1) ? k ( x ?1) ?1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围;
(i)当 解: (I)当 k ? 1 时, f ?( x) ?

f ( x) 定义域为(1,+ ? ) ,令 f ?( x) ? 0, 得x ? 2 ,
∵当 x ? (1, 2)时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ??)时, f ?( x) ? 0 ,

2? x x ?1

………………(2 分)

∴ f ( x)在(1,2) 内是增函数, 在(2, ??) 上是减函数 ∴当 x ? 2 时, f ( x) 取最大值 f (2) ? 0 ………………(4 分) (II)①当 k ? 0时 ,函数 y ? ln( x ? 1) 图象与函数 y ? k ( x ? 1) ? 1 图象有公共点, ∴函数 f ( x) 有零点,不合要求; ………………(8 分)

1 1 ? k ? kx ?k ? ?? ②当 k ? 0时 , f ?( x) ? x ?1 x ?1

k(x ?

1? k ) k x ?1

………………(6 分)

k ?1 k ?1 1 ,∵ x ? (1, )时, f ?( x) ? 0, x ? (1 ? , ??)时, f ?( x) ? 0 , k k k 1 1 ∴ f ( x)在(1,1 ? ) 内是增函数, 在[1 ? , ??) 上是减函数, k k 1 ∴ f ( x) 的最大值是 f (1 ? ) ? ? ln k , k ∵函数 f ( x) 没有零点,∴ ? ln k ? 0 , k ? 1 , 因此,若函数 f ( x) 没有零点,则实数 k 的取值范围 k ? (1, ??) .………………(10 分)
令 f ?( x) ? 0, 得x ? 6. (本小题满分 12 分) 已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)e x 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值; (II)求函数 f ( x ) 在 x ?[ ,3] 的最大值和最小值. 解: (I)由 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)e x 可得

3 2

f ?( x) ? (2x ? a)ex ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)ex ? [ x2 ? (2 ? a) x ? a ? 3]e x ……(4 分) ∵ x ? 2 是函数 f ( x ) 的一个极值点,∴ f ?(2) ? 0 ∴ (a ? 5)e2 ? 0 ,解得 a ? ?5 ……………(6 分)
(II)由 f ?( x) ? ( x ? 2)( x ? 1)e x ? 0 ,得 f ( x) 在 (??,1) 递增,在 (2,?? ) 递增, 由 f ?( x) ? 0 ,得 f ( x) 在在 (1,2) 递减 ∴ f (2) ? e 2 是 f ( x ) 在 x ?[ ,3] 的最小值;

3 2

……………(8 分)

3 7 3 3 7 3 1 3 3 f ( ) ? e 2 , f (3) ? e 3 ∵ f (3) ? f ( ) ? e 3 ? e 2 ? e 2 (4e e ? 7) ? 0, f (3) ? f ( ) 2 4 4 2 2 4 3 ∴ f ( x ) 在 x ?[ ,3] 的最大值是 f (3) ? e 3 . ……………(12 分) 2 7. (本小题满分 14 分) 2 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0) (I)当 a=18 时,求函数 f ( x) 的单调区间;
(II)求函数 f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x 2 ? 4x ? 16ln x ,

16 2( x ? 2)( x ? 4) ? x x 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)(x ? 4) ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?2 注意到 x ? 0 ,所以函数 f ( x) 的单调递增区间是(4,+∞) 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)(x ? 4) ? 0 ,解得-2< x <4, 注意到 x ? 0 ,所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,4] . 综上所述,函数 f ( x) 的单调增区间是(4,+∞) ,单调减区间是 (0,4] f ' ( x) ? 2 x ? 4 ?
(Ⅱ)在 x ? [e, e ] 时, f ( x) ? x ? 4 x ? (2 ? a) ln x
2 2

2分

6分

2 ? a 2x 2 ? 4x ? 2 ? a ? , x x 2 设 g ( x) ? 2x ? 4x ? 2 ? a 当 a ? 0 时,有△ =16+4× 2 (2 ? a) ? 8a ? 0 ,
所以 f ' ( x) ? 2 x ? 4 ? 此时 g ( x) ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 [e, e ] 上单调递增,
2

所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a

8分

当 a ? 0 时,△ = 16 ? 4 ? 2(2 ? a) ? 8a ? 0 ,

2a 2a 或 x ? 1? ; 2 2 2a 2a 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得 1 ? . ? x ? 1? 2 2 2a ①若 1 ? ≥ e 2 ,即 a ≥ 2(e 2 ? 1) 2 时, 2 f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递减,所以 f ( x) min ? f (e 2 ) ? e 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a .
令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得 x ? 1 ?

2a ? e 2 ,即 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时间, 2 2a 2a 2 f ( x) 在区间 [e,1 ? ] 上单调递减,在区间 [1 ? , e ] 上单调递增, 2 2 2a a 2a 所以 f ( x) min ? f (1 ? ) ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ). 2 2 2 2a ③若 1 ? ≤ e ,即 0 ? a ≤2 (e ? 1) 2 时, f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递增, 2 所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a
②若 e ? 1 ? 综上所述,当 a ≥2 (e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ? a 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a ; 当 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ?
2

当 a ≤ 2(e ? 1) 时, f ( x) min 8. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ? 不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?

a 2a ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ); 2 2 14 分 ? e 2 ? 4e ? 2 ? a

2 ,试证明:对任意两个不相等正数 x1、x2 , x2

38 | x1 ? x2 | 恒成立. 27 a 2 x2 ? 6 x ? a 解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 6 ? ? , ………………(2 分) x x ∵ f ( x) 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性,∴在 x ? (2, ??) 上 f ?( x) 有正也有负也有 0, ...
即二次函数 y ? 2 x2 ? 6 x ? a 在 x ? (2, ??) 上有零点 ∵ y ? 2 x2 ? 6 x ? a 是对称轴是 x ? 的实数 a 的取值范围 (??, 4) (II)由(I) g ( x) ? 2 x ? 方法 1: g ( x) ? f ?( x) ? ………………(4 分)

3 ,开口向上的抛物线,∴ y ? 2 ? 22 ? 6 ? 2 ? a ? 0 2
………………(6 分)

a 2 ? , x x2

2 a 2 ? 6 ? 2 x ? ? 2 ( x ? 0) , 2 x x x a 4 4 4 2 x3 ? 4 x ? 4 ∵ a ? 4 ,∴ g ?( x) ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? ,…………(8 分) x x x x x3

4 4 8 12 4(2 x ? 3) ? 3 , h?( x) ? 3 ? 4 ? 2 x x x x x4 3 3 3 38 h( x) 在 (0, ) 是减函数,在 ( , ??) 增函数,当 x ? 时, h( x) 取最小值 2 2 2 27 38 38 38 ∴从而 g ?( x) ? ,∴ ( g ( x) ? x)? ? 0 ,函数 y ? g ( x) ? x 是增函数, 27 27 27 38 38 x1、x2 是两个不相等正数,不妨设 x1 ? x2 ,则 g ( x2 ) ? x2 ? g ( x1 ) ? x1 27 27 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ? ∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ,∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 27 27
设 h( x) ? 2 ? ∴

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ,即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? ? | x1 ? x2 | x1 ? x2 27 27

………………(12 分)

方法 2: M ( x1 , g ( x1 )) 、 N ( x2 , g ( x2 )) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两相异点,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2( x1 ? x2 ) a ,? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 , a ? 4 ? 2? ? 2 x1 ? x2 x12 x2 x1 x2
?2 ?
设t ?

2( x1 ? x2 ) a 4 a 4 4 ? ? 2? ? ?2? ? 2 2 3 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 1 x1 x2

………(8 分)

, t ? 0 ,令 kMN ? u(t ) ? 2 ? 4t 3 ? 4t 2 , u?(t ) ? 4t (3t ? 2) ,

由 u?(t ) ? 0 ,得 t ?

2 2 , 由 u?(t ) ? 0 得 0 ? t ? , 3 3

2 2 3 3 2 38 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ? u(t ) 在 t ? 处取极小值 ,?u (t ) ? ,∴所以 ? x1 ? x2 27 3 27 27
? u (t ) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数,
即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?

38 | x1 ? x2 | 27

………………(12 分)

9. (本小题满分 12 分)

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2 (I)讨论函数 f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有 (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? x ? a ? 2分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1. x1 ? x2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a ) ? ? x x x

( x ? 1) 2 . 故 f ( x) 在 (0,??) 单调增加. x (ii)若 a ? 1 ? 1, 而a ? 1, 故1 ? a ? 2, 则当x ? (a ? 1,1)时, f ' ( x) ? 0. , 当x ? (0, a ? 1)及x ? (1,??)时, f ' ( x) ? 0, 故f ( x)在(a ? 1,1) 单调减少,在(0,a-1) (1,??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2,同理可得 f ( x)在(1, a ? 1)单调减少 , 在(0,1), (a ? 1,??)
(i)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2 ,则 f ' ( x) ? 单调增加.

(II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x. 2 a ?1 a ?1 由 g ' ( x) ? x ? (a ? 1) ? ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x 由于 a ? a5, 故g ' ( x) ? 0,即g ( x)在(0,??)单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) 故 ? ?1,当 0 ? x1 ? x2 时,有 ? ? ?1 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 ? x1

10. (本小题满分 14 分)

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 2 (I)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取值范围; ? ,设 ) F ( x) ? f ( x)? g ( x),求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 ( II )若 a ? (1, e ] (e ? 2.71828 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. a 解: (I) f ?( x) ? x ? , g ?( x) ? a ? 1 , ……………(2 分) x ∵函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,
已知函数 f ( x) ? ∴当 x ?[1,3] 时, f ?( x) ? g ?( x) ? 即 (a ? 1)( x2 ? a) ? 0 恒成立, ∴?

(a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, x
? a ? ?1 ?a ? ? x
2

……………(4 分)

? a ? ?1 ?a ? ? x

在 x ?[1,3] 时恒成立,或 ? 2

在 x ?[1,3] 时恒成立, ………………(6 分)

∵ ?9 ? x ? ?1 ,∴ a ? ?1 或 a ? ?9

1 a ( x ? a)( x ? 1) (II) F ( x) ? x2 ? a ln x, ?(a ? 1) x , F ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? 2 x x ∵ F ( x) 定义域是 (0, ??) , a ? (1, e] ,即 a ? 1 ∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, a) 实际减函数,在 (a, ??) 是增函数 1 ∴当 x ? 1 时, F ( x) 取极大值 M ? F (1) ? ?a ? , 2 1 当 x ? a 时, F ( x) 取极小值 m ? F (a) ? a ln a ? a2 ? a , ………………(8 分) 2 ∵ x1 , x2 ?[1, a] ,∴ | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |?| M ? m |? M ? m ………………(10 分)
设 G (a) ? M ? m ? ∴ [G?(a )]? ? 1 ?

1 2 1 a ? a ln a ? ,则 G?(a) ? a ? ln a ? 1 , 2 2

1 ,∵ a ? (1, e] ,∴ [G?(a)]? ? 0 a ∴ G?(a) ? a ? ln a ? 1 在 a ? (1, e] 是增函数,∴ G?(a) ? G?(1) ? 0 1 2 1 ∴ G (a) ? a ? a ln a ? 在 a ? (1, e] 也是增函数 ………………(12 分) 2 2 1 2 1 (e ? 1) 2 ?1, ∴ G(a) ? G (e) ,即 G (a) ? e ? e ? ? 2 2 2 1 2 1 (e ? 1) 2 (3 ? 1) 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ,∴ G(a) ? M ? m ? 1 而 e ?e? ? 2 2 2 2

∴当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.

………………(14 分)

11. (本小题满分 12 分) 设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ??? ) , f ?( x ) 表示 f ( x ) 导函数. (I)求函数 f ( x ) 的极值; (II)对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,求证:存在唯一的 x 0 ? ( x1 , x2 ) ,使 直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) . 解: (I) f ?( x) ?

1 1 ? ex 1 ?e ? ? 0 ,得 x ? x x e 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 变化情况如下表:
x

f ?( x )
f ( x)
∴当 x ?

1 (0, ) e
+ 单调递增

1 e
0 极大值

1 ( , ??) e
- 单调递减 …………(4 分)

(II) (方法 1)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴

ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 x ? x1 x ,∴ 2 ?e ? ? ln 2 ? 0 x0 x2 ? x1 x0 x1 x x 即 x0 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,设 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1 x x / g ( x1 ) ? x1 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , g ( x1 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x1 ) 是 x1 的增函数, 1 x1 x1 x ∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ; x2 x x / g ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , g ( x2 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x2 ) 是 x2 的增函数, 2 x1 x1 x ∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln 1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 , x1 x ∴函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 , …………(10 分) x1 x x x 又∵ 2 ? 1,? ln 2 ? 0 ,函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1 x ? x1 x ∴函数 g ( x) ? 2 ? ln 2 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,命题成立…………(12 分) x x1 ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 ?e ? (方法 2)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴ , x0 x2 ? x1 即 x0 ln x2 ? x0 ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 , x0 ? ( x1 , x2 ) ,且 x0 唯一 设 g ( x) ? x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x2 , 再设 h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 , 0 ? x ? x2 ,∴ h?( x) ? ln x2 ? ln x ? 0
∴ h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 在 0 ? x ? x2 是增函数 ∴ g ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,同理 g ( x2 ) ? 0 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有解 …………(10 分)

1 1 时, f ( x) 取得极大值 f ( ) ? ?2 ,没有极小值; e e

∵一次函数在 ( x1 , x2 ) g ( x) ? (ln x2 ? ln x1 ) x ? x1 ? x2 是增函数 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有唯一解,命题成立………(12 分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线 C 不存在拐点,不给分. 12. (本小题满分 14 分) 定义 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? (0,??) , (I)令函数 f ( x) ? F (3,log2 (2x ? x2 ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; ( II )令函数 g ( x) ? F (1,log 2 ( x3 ? ax2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C ,若存在实数 b 使得曲线 C 在

x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围;
(III)当 x, y ? N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y ) ? F ( y, x) . 解: (I) log 2 (2 x ? x2 ? 4) ? 0 ,即 2 x ? x 2 ? 4 ? 1 得函数 f ( x) 的定义域是 (?1,3) , (II) g ( x) ? F (1,log 2 ( x2 ? ax2 ? bx ? 1)) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1, 设曲线 C在x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线, 又由题设 log2 ( x 3 ? ax2 ? bx ? 1) ? 0, g ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b,
2 ?3x0 ? 2ax0 ? b ? ?8 ① ? ∴存在实数 b 使得 ?? 4 ? x 0 ? ?1 有解, ……………………(6 分) ② ? 3 2 ? x0 ? ax0 ? bx0 ? 1 ? 1 ③ 2 2 由①得 b ? ?8 ? 3x0 ? 2ax0 , 代入③得 ? 2x0 ? ax0 ? 8 ? 0 ,
2 ? ?2 x ? ax0 ? 8 ? 0 有解, ……………………(8 分) ?由? 0 ? ??4 ? x0 ? ?1 8 8 ? [8,10) , 方法 1: a ? 2(? x0 ) ? ,因为 ?4 ? x0 ? ?1 ,所以 2(? x0 ) ? (? x0 ) (? x0 )

……………………(2 分) ……………………(4 分)

当 a ? 10 时,存在实数 b ,使得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线 ………………(10 分) 方法 2:得 2 ? (?4) ? a ? (?4) ? 8 ? 0或2 ? (?1) ? a ? (?1) ? 8 ? 0 , ? a ? 10或a ? 10,? a ? 10. ………………(10 分)
2 2

?2 ? (?4)2 ? a ? (?4) ? 8 ? 0 方法 3:是 ? 的补集,即 a ? 10 ? 2 2 ? ( ? 1) ? a ? ( ? 1) ? 8 ? 0 ? ?

………………(10 分)

x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 1 ? x (III)令 h( x) ? , x ? 1,由h?( x) ? x x2 x 1 1 ?x ? ln(1 ? x), x ? 0, ? p ?( x) ? 又令 p ( x) ? ? ? ? 0, 2 1? x (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2 ? p( x)在[0,??) 单调递减. ……………………(12)分
?当x ? 0时有p( x) ? p(0) ? 0,?当x ? 1时有h?( x) ? 0,

? h( x)在[1,??) 单调递减, ln(1 ? x) ln(1 ? y ) ?1 ? x ? y时, 有 ? ,? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y),? (1 ? x) y ? (1 ? y ) x , x y ? ………………(14 分) ?当x, y ? N 且x ? y时F ( x, y) ? F ( y, x).



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