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3.3.1几何概型(1)



引入:
如果一个试验中所有可能出现的基本事件只有

有限个, 且每一个基本事件出现的可能性相等, 那
么求这个试验中某个事件发生的概率, 可以用古典

概型的概率公式去计算.
如果一个试验中所有可能出现的基本事件有无 限个, 且每一个基本事件出现的可能性相等, 那么 求这个试验中某个事件发生的概率, 可以用什么

公 式去计算呢?

3.3.1

几何概型
(P135)

探究:
问题: 下图中有两个转盘. 甲乙两人玩转盘游
戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.

在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?

这是一个指针转动试验. 如果把指针转动到任 意一个位置看成一个基本事件,那么这个试验中所 有可能出现的基本事件有无限个,且每个基本事件 出现的可能性相等.

几何概型的定义一:
如果一个试验具有下面两个特点: (1) 试验中所有可能出现的基本事件有无限个;

(2) 每个基本事件出现的可能性相等.
那么这个试验的概率模型称为几何概率模型, 简称几何概型.

事实上, 甲获胜的概率与字母B所在扇形区域 的圆弧长度有关, 而与字母B所在扇形区域的位置 无关. 因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是 等可能的. 不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲 获胜的概率是不变的.

几何概型的定义二:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域
的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型

为几何概率模型, 简称为几何概型.

几何概型的概率计算公式:
在几何概型中,事件A发生的概率为:
构成事件A的区域长度 (面积或体积) P(A)? 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体积)

在第一种情况下, 由于转盘指针指向B区域的
1 1 弧长是圆弧长的 , 所以甲获胜的概率为 2 ; 2

在第二种情况下, 由于转盘指针指向B区域的
3 3 弧长是圆弧长的 , 所以甲获胜的概率为 . 5 5

(一)与长度有关的几何概型例题
例1. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想 听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解: 电台每隔60分钟报时一次. 若以电台上一 次报时为起点, 则他打开收音机,想听电台报时 的时刻在时间段[0,60]内,而他等待的时间不多 于10分钟的时刻在时间段[50,60]内. 设A={他等待的时间不多于10分钟},则根据 几何概型的概率计算公式得:

(一)与长度有关的几何概型例题
例2. 取一根长为3米的绳子, 拉直后在任意位置剪 断, 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大? 解:若用线段AB表示这根绳子,并把线段AB三等 分(如图),则任意剪断点在线段AB上,而剪得两段 的长都不少于1米的剪断点在线段CD上.

设A={剪得两段绳子长都不小于1m},则根据 几何概型的概率计算公式得:

练习:
1. 假设车站每隔10分钟发一班车, 某人到达 车站等车, 问等车时间不超过3分钟的概率?

2. 取一根长为5米的绳子,拉直后在任意位置 剪断, 那么剪得两段的长都不少于1米的概率

有多大?

作业:

P142 A组 T3

(二)与面积有关的几何概型例题

解:如图,海豚自由游弋的位置在长为30m,宽为
20m的长方形内, 海豚在离岸边不超过2m游弋的 位置在图中阴影部分内. 设A={海豚在离岸边不超 过2m游弋},则根据几何概型 的概率计算公式得: 30 ×20 - 26 ×16 23 P ( A) = = 30 ×20 75

练习:
1.如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分
别计算它落到红色部分的概率.

解:设圆半径为r, 则

(1) P (它落在红色部分
(2) P (它落在红色部分

1 πr - ? 2 r ? r 1 2 )= = 12 π πr 3 )= 8
2

解:设正方形的边长为a, 则

P (它在扇形外正方形内 )
1 2 a - πa 4 = a2 π = 14
2

(三)与体积有关的几何概型例题
例4. 有一杯2升的水, 其中含有1个细菌, 用一个
小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这
个细菌的概率.

解:设A={小杯水中含有这个细菌}, 则根据几
何概型的概率计算公式得:

0 .1 1 P ( A) = = 2 20

练习:

解:设A={取出的种子中含有麦锈病的种子},
则根据几何概型的概率计算公式得:

10 1 P ( A) = = 1000 100

作业:

P142

A组 T1 、T2

(四)几何概型的应用例题

例6. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在 早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?

解:设A={父亲在离开家前能得到报纸},送报人到
达家的时间为x,父亲离开家时间为y. 因为(x,y)可以看成平面上的点,所以试验的结
果构成的区域为{(x,y)︱6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8},

它是一个正方形,面积为1×1=1.构成事件A的区域
为{(x,y)︱y≥x,6.5≤x≤7.5,7≤y≤8},它是图中

阴影部分,面积为

练习:
1. 甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会 面, 并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到

时即可离去,求两人能会面的概率.

2. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小
时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达, 试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必 须等待的概率.

3. 设a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从

区间[0,2]上任取的一个数,求关于x的一元二
次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率.

作业:

P142

B组

T1

(四)几何概型的应用例题

练习:

2.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,△PBC
的面积大于S/4的概率是多少?



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