9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2015年全国高中数学联赛江西预赛试题



32

中等数学

2015年全国高中数学联赛江西赛区预赛
中圈分类号:G424.79 文献标识码:A

文章绩号:1005-6416(2016)06-0032一04

一、填空题(每小题8分,共64分) 1.若三位数n=abc为平方数,其数字和 口+b+c也为平方数,则称/'g为“超级平方



8.在前一万个正整数构成的集合{1,2,
…,10

000}中,被3除余2,且被5除余3、被 个.

7除余4的元素有

数”.这种超级平方数的个数为——.

二、解答题(共86分)

最大值为——..

2.函数y= ̄/8菇一戈2一^、/14x一菇2—48的
3.设直线Z过点M(1,2).若直线Z被两

9.(20分)正整数数列{口。}满足
2 口1= 口1

2,口n+=口:一an+11 ,口n+

=口n—



n+

. ?

证明:数列的任何两项均互素.

平行线4菇+3y+1=O与4菇+3y+6=0所截

10.(22分)如图2,H为锐角△ABC的
垂心,在线段CH上任取一点E,延长C,H到 点F,使j5fF=CE,作FD上BC于点D,EG__ BH于点G,M为线段CF的中点,01、02分别

得的线段长为在,则直线Z的方程为——_.

吼丽一丽=——‘






5.满足√1一菇2≥菇的实数茹的取值范围

为△ABG的外接圆圆心、△BCH的外接圆圆
心,OD,与OD:的另一交点为Ⅳ

是一

6.若实数戈、八彳≥O,且
戈+,,+:=30,3x+y—z=50,

则T=5x+4y+及的取值范围是——.
7.如图1,正四面体ABCD的各棱长均

为2,A1、曰1、C1分别为棱DA、DB、DC的中
点,以D为圆心、1为半径,分别在面DAB、面

DBC内作弧4。B.、曰。C。,并将两弧各分成五等
份,分点顺次为A1、P。、P2、P3、P4、B。以及B卜 q卜q:、q,、q。、C。.一只甲虫欲从点P。出发,

沿四面体表面爬行至点q。,则其爬行的最短

图2

距离为——.


证明:(1)A、B、D、G四点共圆; (2)D1、D2、M、Ⅳ四点共圆. 11.(22分)对于任意给定的无理数口、b 及实数r>0,证明:圆周 (石一口)2+(Y一6)2=r2 上至多只有两个有理点(纵、横坐标均为有
图1



理数的点).

万方数据

2016年第6期

33

12.(22分)从集合M={1,2,…,36}中 删去n个数,使得剩下的元素中,任两个数之 和均不为2 015的因数.求/'t的最小值.

上一鱼
sin 100
COS


100

寻cos 100-譬sin
- - Z n

10。

参考答案
一、1.13.

24×■磊再矿石i丽-
=4

可顺次列举出
100、121、144、169、196、225、324、400、
=4

x塑之翁81篙O冀S学业
lU’?C
lU。

x器“

441、484、529、900,961。

2.2压.
注意到, Y= ̄/菇(8一菇)一 ̄/(菇-6)(8一菇) = ̄/甚一菇(√名一 ̄/名一6)
6 ̄/8一菇
一一—————一●

5.[-1,斜
令Y=√1一菇2,此为单位圆的上半圆,其 与直线y=菇交于点\t√21,√12t/,半圆位于交点 \V二√二/
左侧的图像均在直线Y=戈上方. ①

0x+√%一6

其定义域为6≤菇≤8.

因蚧∈【-1,料
6.[120,130].
注意到,
T=5x+4y+勉

当菇=6时,式①的分子最大而分母最 小,此时,分式的值达到最大,其值为2梅.
3.戈+7y=15或7菇一Y=5. 设直线l:y一2=j}(戈一1). 将此方程分别与题中两平行线方程联 立,解得交点坐标

=(戈+y+:)+(4戈+3y+彳) =30+(4x+3y+z). 由缸+2y=(龙+,,+z)+(3菇+y—z)=80 j T=110+(Y+石). 又20=(3x+y—z)一(菇+y+彳)=2(戈一彳), 则戈一:=10. 因为菇、彳≥0,所以,x,>10. 故由石+Y+彳=30,知Y+z≤20. 于是,T=110+(Y+z)≤130(当z=0, 菇=10,Y=20时取等号). 再由4x+2y=80,y≥0,知x、<20. 从而,Y+z=30一x,>10. 于是,T=110+(y+z)≥120(当菇=20, Y=0,z=10时取等号). 因此,120≤r≤130.
7.2sin 420.

A(筹,群),
“l 3尼+4’3矗+4 J’

B(黯,岽警).
据lABI=√2

j篱3k等观
( +4)2

赋蕊+k3k+41=妊

j庇l=7,k2=一寺.
分别代入所设方程得 戈+7y=15或7戈一Y=5.
4.4.

作两种展开,然后比较. 注意到,弧AlBl被点P”P2、P3、P4分成

注意到,
万方数据

中等数学

五段等弧,每段弧对应的中心角各为12。;弧 B。C。被Q卜Q:、Q,、Q。分成五段等弧,每段弧 对应的中心角也各为120.

从而,艇尴皿故腿//HF.
由么KAB=900=么KDB=么KGB,知 A、B、D、G四点共圆.

若将△DBC绕线段DB旋转,使之与
△DAB共面,这两段弧均与圆心为D、半径为

1的圆周重合,则弧P。Q4对应的圆心角为8
2sin 480.



12。=960,此时,点P小Q4之间的直线距离为

若将△DAB绕线段DA旋转,△DBC绕
线段DC旋转,使之均与△DAC共面,在所得 图形中,弧P。Q4对应的圆心角为7×12。=84。, 此时,点PnQ4之间的直线距离为2sin
42 o.

综上,所求最短距离为2sin
8.95.

42。.

由题意,知对于每个满足条件的数n,数

圈3

2n应当被3、5、7除皆余1,且为偶数.
因此,2n一1应为3、5、7的公倍数,且为 奇数,即2n一1为105的奇倍数.

(2)据(1),BK为OD。的直径,如图3,作

002的直径即,联结cP、即、即、0102.
则么BCP=么BlIP=900.

而当n∈{1,2,…,10 000}时,2n一1∈ {1,2,…,19 999},其在{1,2,…,19 999}中,
共有190个数为105的倍数,其中的奇倍数 恰有95个. 二、9.改写条件为 a。+1—1=a。(a。一1) ;a。一1=a。一l(an—l一1). 据此迭代得 a。+1—1=aria。一1(a。一l一1) =aria。一1a。一2(a。一2—1)=… =arian一1…a1(a1—1)=atta。一l…a1. 故an=art-1口n一2…al+1. 因此,当k<11,时,(a。,a;)=1. 10.(1)如图3,设EG与DF交于点K,

亍是。CP÷}避。He//AC.
故四边形AHPC为平行四边形.

进而,PC丝腰
因此,对角线即与CF互相平分于点丝
从而,Dl、D2、M为AKBP三边的中点. 所以,i硎I//Ol 02.
又么KNB=900 0102上BN,得 XNf?0L0p 于是,M、Ⅳ、K三点共线.

因此,MN//01 02.
由△KBP的中位线知
M02=01B=01Ⅳ.

故四边形D。0:MN为等腰梯形,其顶点 共圆. 11.对于点肘(a,b),用e(g,r)表示上 述圆周上有理点的个数. 首先,可以作—个符合条件的圆,其上至少 有两个有理点,为此,取点A(O,O),曰(2,2).

联结腿
由Acj_BH,EKj-BH,M1j.BC,I四j-嬲,知 CA//EK,AH//KF.
又CH=EF,于是,ACAH竺△EKF.

万方数据

2016年第6期

35

则线段AB中垂线l:x+y=2.

则Al、A2、A3三点共线,这与A1、A2、A3三 点共圆矛盾. 因此,假设不真,即这种圆上至多有两个 有理点. 于是,对于所有的无理点M及所有正实 数r,p(M,r)的最大值为2.
12.17.

在直线Z上取点M(1+在,1一以),再 取r=MA=佰.则以M为圆心、r为半径的
圆周上至少有A、B这两个有理点.

其次说明,对于任何无理点M以及任意
正实数r,P(肘,r)≤2. 假设有无理点M(口,6)及正实数r,在以 M为圆心、r为半径的圆周上,至少有三个有 理点Ai(纸,Y;)(戈;、yf∈Q,i=1,2,3).则 (菇1一口)2+(Yl一6)2 =(戈2一口)2+(Y2—6)2 =(龙3一口)2+(Y3—6)2. 故(菇l--X2)口+(Y1-Y2)b ①

注意到,集合M中任两个元素之和不大
于71. 由于2 015=5×13


31不大于71的正

因数有1、5、13、31、65,故在集合肘的二元子 集中,

元素和为5的有{1,4},{2,3};
元素和为13的有

=÷(戈:+拜一菇i一扎2),
(菇2一菇3)口+(弛一扎)b



{1,12},{2,11},{3,10},{4,9}, {5,8},{6,7};
元素和为31的有

=÷(茹;+Z一菇;一蠢). 记÷(戈:+拜一菇;一览)=“ ÷(菇;+Z一菇;一乃2)=t:.
则tl、t2∈Q.



{1,30},{2,29},{3,28},{4,27}, {5,26},{6,25},…,{15,16};
元素和为65的有

{29,36},{30,35},{31,34},{32,33}. 为直观起见,将其画成一个图,每条线段
两端的数为上述一个二元子集,如图4.

(1)若菇。一菇2=O,则由式②知
(y1一娩)b=t1.

由b为无理数,得Yl—Y2=0.故点A。与
A:重合,矛盾. 类似地,若戈:一妁=0,得点如与A,重合, 矛盾. (2)若菇。一戈:≠O,戈:一菇,≠0,由式②、③ 消去6得 [(菇1一屹)(毙一乃)一(Y1一扎)(吃一码)]口 =tl(Y2一扎)一t2(Y1一扎)∈Q. 又口为无理数,故 (菇1一屹)(毙一弘)一(Y1一儿)(屹一戈3)=O
一筋 甲 )
13
9 。

36 29

10 21

(乙)
18 17 16

一; ^f≯
一.丽
7 6 25

14 15

●。。。‘●--——●-———●

订——韵
32 33

24

●_。—●
(戊)

(丁)
图4

为了不构成这些和,每对数(每条线段) 中至少要删去一个数. 于是,在图4(甲)、(乙)中各至少要删

=争一=一.
.yl一儿
石1一髫,

扎一托
菇1一菇2

万方数据

中等数学

2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛
中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章缩号:1005—6416(2016)06-0036一06

一、填空题(每小题7分,共70分)

1.已知△ABC的外接圆半径为R,且
2R(sin2A—sin2C)=(√2口一6)sin
B,

7.已知口、易为两个互相垂直的单位向

量,且c?a=c?b=1.则对任意的正实数t,

其中,口、6分别为么A、么曰的对边.则么C

的大小为——.
2.设集合A={z 12a+1≤菇≤3口+5}, B={戈13≤戈≤33},A∈A n曰.

1c+ta+÷易I的最小值为——.




8.若关于菇的方程兰七=h2有四个不
菇+/4

则a的取值范围是——-.
除所得的余数为——.
3.6“+c:】610+c;】69+…+c】10】6—1被8
4.在数列{口。}中,口。=2,口:=10,对所有
的正整数n均有口。+2=a。+1一口。.则口2015= 5.如图1, 在底面为直角 梯形的四棱锥 P—ABCD中,AD

同的实数解,则k的取值范围是——』
9.设戈、Y为正实数,且戈+Y=1.则

南+南的最小值为——
10.设f(石)为定义在整数集上的函数, 满足条件

(1坎1)=1,火2)=0;


(2)对任意的菇、),均有

火石+y)=火菇)以1-y)+以1一菇).厂(y).
则火2
B 图I C

二、解答题(共80分)

}}BC.[媪C= 900,以上平面

015)=一

11.(14分)已知函数

ABCD,PA=3,AD=2,AB=2√3,BC--.6.则二

八菇)=2sin2(手一茹卜万cos
区间;

2茹.

面角P—BD—A的大小为——.
..2 ..2

(1)求f(戈)的最小正周期和单调递减

6.设双曲线%一毛=1(口>0,b>0)的
口 D

左、右焦点分别为F卜兄,A为双曲线渐近线
上的一点,A如上日R,原点0到直线AF。

(2)若火石)<m+2在石∈【o,詈】上恒成
立,求实数m的取值范围. 12.(14分)某花店每天以每枝5元的价 格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10 去12、30、4、22,图4(乙)中删去11、29、3、 21,图4(丙)中删去23、5,图4(丁)中删去 24、6,图4(戊)中删去13、14、15、31、32.此 时,图中所有的线段均已被断开. (陶平生提供)

的距离为÷I卯,1.则双曲线的离心率为
去四个数,图4(丙)、(丁)中各至少要删去 两个数,图4(戊)中至少要删去五个数,总共 至少要删去17个数. 另一方面,删去适当的17个数,可以使

得余下的数满足条件例如,在图4(甲)中删
万方数据



更多相关文章:
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考答案
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考解答 (6月14日上午 )2015...
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(6 月 14 日上午 8 : 30 ? ?11: 30 )...
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(6 月 14 日上午 8 : 30 ? ?11: 30 )...
2015全国高中数学联赛江西预赛试题及解答
2015全国高中数学联赛江西预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(6 月 14 日上午 8 : 30 ? ?11: 30 )一、...
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题
5、等差数列 2,5,8,…,2015 与 4,9,14,…,2014 的公共项(具有相同数值...2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试卷 第1面 共 6面 二、解答题(共 4 题...
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016..., 2016 与等差数列 5,10,15,?, 2015 的公共项个数; 前者是 M ? ?1, ...
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016,..., 2016 与等差数列 5,10,15,?, 2015 的公共项个数;前者是 M ? ?1, 2...
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 ..., 2016 与等差数列 5,10,15,?, 2015 的公共项个数;前者是 M ? ?1, 2...
2015全国高中数学联赛试题答案
2015全国高中数学联赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015全国高中数学联赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。 ...
更多相关标签:
2016高中数学联赛预赛    全国高中数学联赛预赛    高中物理竞赛预赛试题    2016江西高中数学联赛    全国高中数学联赛试题    2016高中数学联赛试题    高中数学联赛试题    2015高中数学联赛试题    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图