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3.2古典概型



幽默笑话
某人去参观气象站,看到许多预测天气的 最新仪器。参观完毕,这人问站长: 「你说有百分之七十五的概率下雨时, 是怎样计算出来的?」站长没多想便答道: 「那就是说,我们这里有四个人, 其中三个认为会下雨。」

§3.2.1 古典概型

教学目标
(1)理解古典概型及其概率计算公式。 (2)会用列举法和计数原理计

算一些随机事件所 含的基本事件数及事件发生的概率。

教学重点、难点
重点:理解古典概型的概念及利用古典概 型求解随机事件的概率。
难点:如何判断一个试验是否是古典概型,分清 在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的 个数和试验中基本事件的总数。

情景设置

试验1:连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出 现正面还是反面。
(1)写出这个随机试验的样本空间; (2)求这个随机试验的基本事件的总数; (3)“恰有2枚正面向上”这一事件包含那几个基本事件 ; ? ={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正), ( 1)
(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正), (反,反,反)}

本题采用 列举法

(2) 基本事件总数是8
(3)设事件A为 “恰有2枚正面向上”,包含以下3个基本事件: (正,正,反),(正,反,正),(反,正,正); A={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)}

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情景设置

试验2:袋内装有红、黄、蓝3个大小形状完全相 同的球,从中任取两个球,观察两球的颜色。 (1)写出这个随机试验的样本空间; (2)求这个随机试验的基本事件的总数; (1) ? ={(红,黄),(红,蓝),(黄,蓝)} (2) 基本事件总数3;

思考
上述的两个试验中,每个基本事件发生的可能性 相等吗?这两个随机试验有何共同特点? (1)试验中只有有限个不同的基本事件

(有限性)
(2)每个基本事件出现的机会相等 (等可能性)

古典概型
基本事件同时具有有限性和等可能性的特点的随 机试验模型——古典概型

你能举出一些古典概型的例子吗?
(2)如图,某个水平比较高的 同学随机地向一靶心进行射击, 这一试验的结果只有有限个:命 中10环、命中9环……命中5环和 不中环。你认为这是古典概型吗? 为什么? 不是

(1)向一个圆面内随机地投 射一个点,如果该点落在圆内任 意一点都是等可能的,你认为这 是古典概型吗?为什么? 不是

古典概率
对于古典概型,如果试验的基本事件总数为n,随 机事件A所包含的基本事件数为m,我们就用m/n 来描述事件A出现的可能性大小,并称m/n为事件 A发生的概率。

m P ( A) ? ( m ? n) 记作: n 事件 A 包含的基本事件数 P(A)= 试验的基本事件总数

注意: 1.必然事件的概率为1; 2.不可能事件的概率为0; 3. 0≤P(A) ≤1。

古典概型的概率公式

P(A)=

事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数

m P ( A) ? n 注意: 1.要判断该概率模型是不是古典概型; 2.要找出随机事件A包含的基本事件的个数 和试验中基本事件的总数。

典例分析
例1:盒子中有10个大小相同的球,分别有 号码1,2,3,…,10,从中任取一个球, 求此球的号码为奇数的概率?
解:依题意,每个球被取到的机会是均等的。 基本事件总数n=10. 设“球的号码为奇数”为事件A,则事件A 包含的基本事件总数m=5

∴P(A)=5/10=1/2

随机事件与 随机事件的概率不同

求古典概型的步骤:

古 典 概 型

(1)判断是否为古典概型事件; (2)计算所有基本事件的总结果数n. (3)计算事件A所包含的结果数m. (4)计算

m P ( A) ? n

练习1:求前面提到的试验一中 “恰 有2枚正面向上”这一事件的概率。
练习2:抛掷1枚骰子,计算事件 A“朝上的一面出现偶数点”的概率。

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典例分析
例2:在100件产品中,有96件合格品,4件次品, 从中任取2件。计算: (1)这2件都是合格品的概率;

(2)其中1件是合格品,一件是次品的概率。 解:依题意,每个产品被取到的机会是均等的。 基本事件总数n=100×99=9900. (1)设“取的2件产品为合格品”为事件A,则 事件A包含的基本事件总数m1=96×95=9120 ∴P(A)=9120/9900=152/165

例2:在100件产品中,有96件合格品,4件次品, 从中任取2件。计算:

(1)这2件都是合格品的概率;
(2)其中1件是合格品,一件是次品的概率。 解:依题意,每个产品被取到的机会是均等的。 基本事件总数n=100×99=9900. (2)设“取的2件产品1件为合格品,另一 件为不合格品”为事件B,则事件B包含的基 本事件总数m2=96×4+4×96=768 ∴P(B)=768/9900=64/825

练 习 巩 固
1、 在掷一颗均匀骰子的实验中,则事
件Q={4,6}的概率是多少 2、一次发行10000张社会福利奖券,其中有1张特 等奖,2张一等奖,10张二等奖,100 张三等奖,其 余的不得奖,则购买1张能中奖的概率 3、一副扑克52张(无大小王),从中任意抽一张,

古 典 概 型

(1)求抽出的一张是7的概率;
(2)求抽出的一张是黑桃的概率; (3)求抽出的一张是红桃3的概率 1/3
113 10000

1/13

1/4

1/52

小 结 与 作 业
一、小 结:

古 典 概 型

1、古典概型 (1)有限性:在随机试验中,其可能出现的结果有有 限个,即只有有限个不同的基本事件; (2)等可能性:每个基本事件发生的机会是均等的。 2、古典概率 随机事件A包含的基本事件的个数 n A p( A) ? ?   样本空间包含的基本事 件的总数数 n

二、作 业:
练习11-3 2、3

古 典 概 型

1、 从含有三件正品和一件次品的 4件产品中不放回地任取两件, 求取出的两件中恰有一件次品的 概率。 2、从1,2, 3,4, 5五个数字中,任取 两数,求两数都是奇数的概率。 答案: 1、1/2 2、3/10

思 考
从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试 验中,有哪些基本事件?
分析:为了解基本事件,我们可以按照字典排序的顺序, 把所有可能的结果都列出来。
b a c d b c c d

树状图
我们一般用列举法列出所有 基本事件的结果,画树状图是列 举法的基本方法。 分布完成的结果(两步以上) 可以用树状图进行列举。

d

解:所求的基本事件共有6个:

A ? {a, b} B ? {a, c} C ? {a, d } D ? {b, c} E ? {b, d } F ? {c, d }

思 考
1、在10支铅笔中,有8支正品和2支次品。从中任

古 典 概 型

取2支,恰好都取到正品的概率是 2、从分别写上数字1, 2,3,…,9的9张卡片中,

任取2张,则取出的两张卡片上的“两数之和为
偶数”的概率是
28 45

答案:(1)

(2 )

4 9

例 题 分 析

古 典 概 型

变式:从含有两件品a,b和一件次品c的三件产品中每 次任取1件,每次取出后放回,连续取两次,求取出 的两件中恰好有一件次品的概率。
解:有放回的连取两次取得两件,其一切可能的结 果组成的 样本空间是

Ω={ (a,a) (a,b) (a,c), (b,a) (b,b) (b,c) (c,a), (c,b) (c,c) } , n=9 , , , , , ∴ 用B表示“恰有一件次品”这一事件,则 B={ (a,c), (b,c) (c,a) (c,b } , , ) ∴m=4

∴P(B) = 4
9

例 题 分 析

古 典 概 型

例3、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中 每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,求 取出的两件中恰好有一件次品的概率。 解:每次取一个,取后不放回连续取两次,其样本 空间是 Ω={ (a,b), (a,c), (b,a) (b,c) (c,a) (c,b } ∴n = 6 , , , ) 用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一 事件,则 A={ (a,c), (b,c) (c,a) , 4 ,2 ∴P(A) = ?
6 3

(c,b )

}

∴m=4

探究:在标准化的考试中既有单选题又有 不定项选择题,不定项选择题是从A,B, C,D四个选项中选出所有正确的答案,同 学们可能有一种感觉,如果不知道答案, 不定项选择题很难猜对,这是为什么?
“答对”所包含的基本事件的个数 P(“答对”)=—————————— 基本事件的总数 = 1/15



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