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249.等腰三角形(2)(期末)周红军



海陵中学初二数学期末教学案

班级

,姓名

设计人:孙振飞

第十二章《轴对称》

等腰三角形(2)
【基本练习】 1.下列三角形:①有两个角等于 60° ;②有 一个角等于 60° 的等腰三角形;③三个外角 (每个顶点处各取一个外角)都相等的三角 形; ④一腰上

的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形,其中是等边三角形的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 1.D 2.(2011 山东济宁)如图,△ABC 的周长为 30 cm,把△ABC 的边 AC 对折,使顶点 C 和点 A 重合,折痕交 BC 边于点 D,交 AC 边于点 E,连接 AD,若 AE=4cm,则△ABD 的周长是( ) A.22 cm B.20 cm C.18 cm D.15 cm

所以 C、D、B′在一条直线上, 所以△ ACB′是等边三角形, 所以 CA=CB′=CD+DB′=CD+BD. 即 BD+DC=AB. 4.6+2a 5.如图,∠AOB 是一个钢架且∠AOB=10° , 为了使钢架更加牢固,需在内部添加一些钢 管 EF,FG,GH,…,添加的钢管长度都与 OE 相等,则最多能添加这样的钢管______ 根. (2) 将 Rt△ABD 沿 AD 向右翻折,点 B 在 C D 上的交点为 E,连接 AE。 【或者再 CD 上取点 E,使得 DE=DB,连接 AE】 ∵BD=DE,即点 D 为 BE 中点 又 AD⊥BC, ∴AD 是线段 BE 的垂直平分线 ∴AB=AE. ∴∠AED=∠B=2∠C ∵∠AED=∠C+∠CAE ∴∠C+∠CAE=2∠C ∴∠C=∠CAE。 ∴AE=CE. ∴CD=CE+DE=AE+DE=AB+BD . 例 2 如图, 在△ABC 中, AB=AC, 是△ABC D 外一点,且∠ABD=∠ACD=60° . 求证:BD+DC=AB.

5.8 【典型例题】 例 1(1)已知:如图,△ ABC 中,D 在 AB 上,E 在 AC 延长线上,且 BD=CE,DE 交 BC 于 M,MD=ME,求证:△ ABC 是等腰 三角形.

例 3 已知:如图,△ ABC 中,H 是高 AD 与 BE 的交点. (1)若∠BAD=45° ,请写出图中相等的线段, 并说明理由; (2)若 BH=AC,请求出∠ABC 的度数; (3)若点 H 在△ ABC 外,请画出图形,并在 (2)的条件下求出∠ABC 的度数.

2.A 3.如图,∠ABC 中,AD⊥BC,AB=AC, ∠BAD=30° 且 AD=AE, , 则∠EDC 等于( ) A.10°B.12.5° C.15° D.20° 1. 证明: ∵MD 是 Rt△ABD 斜边上的中线, ∴MD= AB.
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∵ND 是 Rt△ACD 斜边上的中线, ∴DN= AC.
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3.C 4.如图,△ MNP中,∠P=60° ,MN=NP, MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,取 NG=NQ,若△ MNP的周长为12,MQ=a,则 △ MGQ周长是 .

又∵AB=AC, ∴MD=ND。 ∴△MND 是等腰三角形. (2) 如图, 在△ ABC 中, ∠B=2∠C, AD⊥BC 于 D,求证:CD=AB+BD.

例 2 证明: AD 为轴作△ ABD 的对称△ AB′D 以 (如图) , 则有 B′D=BD,AB′=AB=AC, ∠B′=∠ABD=60°, ∠ADB′=∠ADB=90°- ∠BDC, 所 以 ∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180° - ∠BDC+∠BDC=180° ,

例 3 (1)BH=AC DH=DC BD=AD ∠ABC=45°AD⊥BC 所以 △ ABD 直角等腰三角形,所以 AD=BD 因为∠EBD+∠C=∠CAD+∠C=90° 所以, ∠EBD=∠CAD 又 因 为 AD=BD , ∠BDA=∠ADC , 所 以 △ BDH≌△ADC. 所以 BH=AC,DH=DC,BD=AD. (2)45° (3)45° 例 4 如图,已知等边三角形 ABC 中,点 D、 E、F 分别为 AB、AC、BC 边的中点,M 为直 线 BC 上一动点,△ DMN 为等边三角形(点 M 的位置改变时,△ DMN 也随之整体移动).

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设计人:孙振飞

第十二章《轴对称》

(1)如图①,当点 M 在点 B 左侧时,请你判 断 EN 与 MF 有怎样的数量关系?点 F 是否 在直线 NE 上?都请直接写出结论,不必证 明或说明理由; (2)如图②,当点 M 在 BC 边上,其它条件不 变时,(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是 否依然成立?若成立,请利用图②证明;若 不成立,请说明理由; (3)若点 M 在点 C 右侧时,请你在图③中作 出相应的图形(不写作法),(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?请直接写 出结论,不必证明或说明理由.

例 4:1) ( 判断: 与 MF 相等 EN (或 EN=MF) , 点 F 在直线 NE 上, (2)成立. 方法一:连接 DE,DF. ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC=BC 又∵D,E,F 是三边的中点, ∴DE,DF,EF 为三角形的中位线、 ∴DE=DF=EF,∠FDE=60° 又 ∠MDF+∠FDN=60° ∠NDE+∠FDN = , 60° ,

∴∠MDF=∠NDE 在△ DMF 和△ DNE 中,DF=DE,DM=DN, ∠MDF=∠NDE, ∴△DMF≌△DNE ∴MF=NE. 方法二: 延长 EN,则 EN 过点 F. ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC=BC 又∵D,E,F 是三边的中点, ∴EF=DF=BF ∵∠BDM+∠MDF=60° , ∠FDN+∠MDF=60° , ∴∠BDM=∠FDN 又∵DM=DN,∠ABM=∠DFN=60° , ∴△DBM≌△DFN ∴BM=FN ∵BF=EF,∴MF=EN. 方法三: 连接 DF,NF ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC=AC 又∵D,E,F 是三边的中点, ∴DF 为三角形的中位线, ∴DF= 12AC= 12AB=DB 又 ∠BDM+∠MDF=60° , ∠NDF+∠MDF=60° , ∴∠BDM=∠FDN 在△ DBM 和△ DFN 中,DF=DB, DM=DN,∠BDM=∠NDF, ∴△DBM≌△DFN. ∴∠B=∠DFN=60° 又∵△DEF 是△ ABC 各边中点所构成的三 角形, ∴∠DFE=60° ∴可得点 N 在 EF 上, ∴MF=EN. (3)如图③,MF 与 EN 相等的结论仍然成 立(或 MF=NE 成立) .

【课堂操练】 1.如图,△ ABC 中,D 为 BC 上的一点,且 AB=AC=BD , 则 图 中 ∠1 与 ∠2 的 关 系 为 ( ) A.∠2=2∠1 B.2∠2+∠1=180° C.3∠2-∠1=180° D.∠2+3∠1=180° 1.证明:证法 1: ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=DC. ∴AD 为 BC 的中垂线. ∴BE=EC. 证法 2: ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAE=∠CAE. ∵AB=AC,AE=AE, ∴△ABE≌△ACE. ∴BE=CE. 2. 已知: 是△ ABC 的中线, AD ∠ADC=60° , BC=4.把△ ADC 沿直线 AD 折叠后,点 C 落在点 C′的位置上,求 BC′的长.

1.C 2.如图,△ ABC 中,∠BAC=80° ,DE、FG 分别是 AB、AC 边的垂直平分线,点 G、E 在 BC 上,则∠GAE 的度数为 .

2.20° 3. 如图, 在△ ABC 中, ∠ACB=90° ∠BAC=30° , , 在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得△ PAB 为等 腰三角形,则符合条件的点 P 共有 个.

3.6 【课后练习】 1. 已知:在△ ABC 中,AB=AC, AD⊥BC 于点 D,E 是 AD 延长线上 一点,求证: BE=CE.

2.解:根据题意:BC=4,D 为 BC 的中点; 故 BD=DC=2. 有轴对称的性质可得:∠ADC=∠ADC′=60°, DC=DC′=2,∠BDC′=60°, 故△ BDC 为等边三角形, 故 BC′为 2. 3 . 如 图 , 已 知 在 △ ABC 中 , A B ? A C , ∠BAC=120° ,AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于 点 E,交 BC 于点 F.求证:BF=2CF.

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第十二章《轴对称》

3.解:连接 AF, ∵AB=AC,∠BAC=120° , ∴∠B=∠C=30° , ∵AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E, BC 交 于点 F, ∴CF=AF,∠FAC=30° , ∴∠BAF=90° , ∴BF=2AF, ∴BF=2CF.

9.如图,点 D 是等边△ ABC 内一点,DB= DA,BP=AB,∠DBP=∠DBC.求∠BPD 的 度数.

5.解:∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=∠C=60° . 又∵AE=CD, ∴△ABE≌△ACD, ∴∠ABE=∠DAC. 又∵∠BPQ=∠ABE+∠BAD, ∴∠BPQ=∠DAC+∠BAD=60° , ∴在 Rt△ BPQ 中,∠PBQ=30° , ∴PQ= BP.
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4.如图,∠AOP=∠BOP =15° ,PC∥OA, PD⊥OA,若 PC=4,求 PD 的长.

7.证明: 延长 AD 到点 G,使 DG=AD,连接 BG ∵BD=CD,∠BDG=∠ADC ∴△ADC≌△GDB ∴BG=AC,∠G=∠CAD ∵EA=EF ∴∠EAF=∠EFA ∵∠AFE=∠BFG ∴∠G=∠BFG ∴BF=BG ∴AC=BF 8. 已知: 在△ ABC 中, AB=2AC, AD 平分∠BAC, AD= BD 求证: CD⊥AC.

9.解:作 AB 的垂直平分线, ∵△ABC 为等边三角形,△ ABD 为等腰三角 形; ∴AB 的垂直平分线必过 C、D 两点, ∠BCE=30° ; ∵AB=BP=BC,∠DBP=∠DBC,BD=BD; ∴△BDC≌△BDP,所以∠BPD=30° . 10. (2011 湖南株洲)如图, △ ABC 中, AB=AC,∠A=36° ,AC 的垂直平分线交 AB 于 E,D 为垂足,连结 EC. (1)求∠ECD 的度数; (2)若 CE=5,求 BC 长.

6.如图所示,AD 是△ ABC 的角平分线,且 AC=AB + BD,∠C=30° ,求∠BAC?的度数.

4.解:过 P 作 PE⊥OB 于 E, ∵∠AOP=∠BOP=15° ,PD⊥OA, ∴PD=PE, ∵PC∥OA, ∴∠BCP=∠BOA=30° , 在 Rt△ PCE 中,PE= PC= × 4=2,
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∴PD=2. 5.如图,△ ABC 是等边三角形,AE=CD, BQ⊥AD 于 Q,BE 交 AD 于 P. ①求∠PBQ 的度数. ②判断 PQ 与 BP 的数量关系.

6. ∵AC=AB+BD ,在 AC 上取点 E,使 AE=AB, 连接 DE, ∵△ABD≌△AED,∴BD=ED,∴DE=CE. ∵∠C=30,∴∠CDE=30,∴∠AED=30° +30° = 60° ∠BDE=150,∠ADE=75,∴∠DAE=180 - 60 -75=45° ∴∠BAC=90° . 7.已知:如图,在△ ABC 中 ,AD 为中线, E 为 AC 上一点,BE 与 AD 交于 F,若 AE= EF.求证:AC=BF.

8.证明: 作出 AB 边的高 DE 交 AB 于 E AD=BD 则 E 为 AB 的中点 AB=2AE 因为 AB=2AC 所以 AE=AC AD 平分∠BAC 则∠EAD=∠CAD,又 AE=AC,AD 为公共边 所以△ EAD≌△CAD ∠ACD=∠AED=90° 即 CD⊥AC.

10 . 1 ) 解 法 一 : ∵DE 垂 直 平 分 AC , ( ∴CE=AE,∠ECD=∠A=36° . 解法二:∵DE 垂直平分 AC,∴AD=CD, ∠ADE=∠CDE=90° , 又 ∵DE =DE , ∴△ADE≌△CDE ,

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第十二章《轴对称》

∠ECD=∠A=36° . ( 2 ) 解 法 一 : ∵AB=AC , ∠A=36° , ∴∠B=∠ACB=72° , ∵∠ECD=36° , ∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36° , ∠BEC=72° =∠B, ∴ BC=EC=5. 解法二:∵AB=AC,∠A=36° , ∴∠B=∠ACB=72° , ∴∠BEC=∠A+∠ECD=72° , ∴∠BEC=∠B, ∴BC=EC=5. 11.如图,在等腰 ΔABC 中,CH 是底边上 的高线, P 是线段 CH 上不与端点重合的 点 任意一点, 连结 AP 交 BC 于点 E, 连结 BP 交 AC 于点 F. (1)证明:∠CAE=∠CBF; (2)证明:AE=BF; (3) 以线段 AE, 和 AB 为边构成一个新 BF 的三角形 ABG(点 E 与点 F 重合于点 G) , 记 ΔABC 和 ΔABG 的面积分别为 SΔABC 和 SΔABG,如果存在点 P,能使 SΔABC=SΔABG, 求∠C 的取值范围.

∴AE=BF. 解: (3)由(2)知△ ABG 是以 AB 为底边 的等腰三角形, ∴S△ ABC=S△ ABG. ∴AE=AC. ①当∠C 为直角或钝角时,在△ ACE 中,不 论点 P 在 CH 何处,均有 AE>AC,所以结 论不成立; ②当∠C 为锐角时,∠A=90° ∠C,而 - ∠CAE < ∠A , 要 使 AE=AC , 只 需 使 ∠C=∠CEA, 此时,∠CAE=180° -2∠C, 只须 180° -2∠C<90° ∠C,解得 60° - < ∠C<90° .

11.证明: (1)∵△ABC 是等腰△ ,CH 是 底边上的高线, ∴AC=BC,∠ACP=∠BCP. 又∵CP=CP, ∴△ACP≌△BCP. ∴∠CAP=∠CBP,即∠CAE=∠CBF. ( 2)∵∠ACE=∠BCF, ∠CAE=∠CBF, AC=BC, ∴△ACE≌△BCF.



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