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几个常见函数的导数1


几个常见函数的导数制作人:徐凯 精讲部分: 年级:高三 难易程度:易
一.知识点:
知识点一 几个常用函数的导数 原函数 f(x)=c f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)= x f(x)= x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=1 f′(x)=2x 1 f′(x)=- 2 x 1 f′(x)= 2 x

科目:数学

类型:同步

建议用时:20-25min

知识点二 基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

导函数 f′(x)=0 f′(x)=αxα
-1

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a(a>0) f′(x)=ex 1 f′(x)= (a>0 且 a≠1) xln a 1 f′(x)= x

二.典例分析:
题型一 利用导数公式求出函数的导数 例 1 求下列函数的导数: π 1 x 4 (1)y=sin ;(2)y=5x;(3)y= 3;(4)y= x3;(5)y=log3x;(6)y=1-2sin2 . 3 x 2

1? -3 -4 解 (1)y′=0;(2)y′=(5x)′=5xln 5;(3)y′=? ?x3?′=(x )′=-3x ;

3 ? 3 3 1 (4)y′=( x )′=(x )′= x 4 = ;(5)y′=(log3x)′= ; 4 x ln 3 4 4 4 x
4
3

1

x (6)y=1-2sin2 =cos x,y′=(cos x)′=-sin x. 2 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式, 需通过恒等变换对解析式进行化简或变形 后求导,如根式化指数幂的形式求导. 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 1 (1)已知 P,Q 为抛物线 y= x2 上两点,点 P,Q 横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别 2

作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的坐标为________. 答案 (1,-4) 解析 y′=x,kPA=y′|x=4=4,kQA=y′|x=-2=-2. ∵P(4,8),Q(-2,2),∴PA 的直线方程为 y-8=4(x-4), 即 y=4x-8,
? ? ?y=4x-8, ?x=1, QA 的直线方程为 y-2=-2(x+2), 即 y=-2x-2, 联立方程组? 得? ?y=-2x-2, ?y=-4. ? ?

∴A(1,-4). (2)已知两条曲线 y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两 条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0,y0)使两曲线的切线垂直, 则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为 k1=y′| x ? x0 =cos x0,k2=y′| x ? x0 =-sin x0, 要使两切线垂直,必须 k1k2=cos x0(-sin x0)=-1, 即 sin 2x0=2,这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直. 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. 2.求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤

题型三 利用导数公式求最值问题 例 3 求抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.
2 解 设切点坐标为(x0,x0 ),依题意知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线的切点

到直线 x-y-2=0 的距离最短. 1 1 1 ∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0= ,∴切点坐标为( , ), 2 2 4 1 1 | - -2| 2 4 7 2 ∴所求的最短距离 d= = . 8 2 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式, 可求其图象在某一点 P(x0, y0)处的切线方程, 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数图象的切线有关.解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算. 三.课堂小结: 1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数 公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. x x 如求 y=1-2sin2 的导数.因为 y=1-2sin2 =cos x,所以 y′=(cos x)′=-sin x. 2 2 3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化.

精练部分: 年级:高三 难易程度: 易
四.随堂练习: 一、选择题 1.下列各式中正确的个数是(
- -

科目:数学

类型:同步

建议用时: 随堂练习 10-15min 课后作业 30min

) 1 1 3 2 3 5 )′=- x- ;④( x2)′= x- ;⑤(cos x)′=-sin 2 2 5 5 x

①(x7)′=7x6;②(x 1)′=x 2;③( x;⑥(cos 2)′=-sin 2. A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B

1 2.已知过曲线 y= 上一点 P 的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标为( x 1 ? ?1 ? ? 1 1 1 ,2 B. ,2 或 - ,-2?C.?- ,-2?D.? ,-2? A.? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 答案 B

)

1? 1 1 解析 y′=? ,故选 B. ?x?′=-x2=-4,x=± 2 3.已知 f(x)=xa,若 f′(-1)=-4,则 a 的值等于( A.4 B.-4C.5 D.-5 答案 A 解析 f′(x)=axa 1,f′(-1)=a(-1)a 1=-4,a=4.
- -

)

4.已知曲线 y=x3 在点(2,8)处的切线方程为 y=kx+b,则 k-b 等于( A.4 B.-4 C.28 D.-28 答案 C 解析 ∵点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①又 y′|x=2=3×22=12=k,② 由①②可得:k=12,b=-16,∴k-b=28. 1 1 5.已知 f(x)= ,g(x)=mx,且 g′(2)= ,则 m=________. x f′?2? 答案 -4 1 1 解析 f′(x)=- 2,g′(x)=m.∵g′(2)= ,∴m=-4. x f′?2?

)

1 6.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 x ________. 答案 (1,1) 五. 课后作业: 1 1.若 f(x)=sin x,f′(α)= ,则下列 α 的值中满足条件的是( 2 π π 2π 5π A. B. C. D. 3 6 3 6 答案 A 1 解析 ∵f′(x)=cos x,∴f′(α)=cos α= , 2 π 1 ∵α= 时,cos α= ,故选 A. 3 2 2.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 答案 A 解析 设切点(x0,y0), l 的斜率 k=y′|x=x0=4x3 0=4,x0=1, ∴切点(1,1),∴l 的方程为 y-1=4(x-1), 即 4x-y-3=0. B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 ) )

3.已知直线 y=kx 是曲线 y=ex 的切线,则实数 k 的值为( 1 A. e 1 B.- e C.-e D.e

)

答案 D 解析 y′=ex,设切点为(x0,y0),则 y0=kx0, ? ? ?y0=ex0, ? ?k=ex0, ∴ex0=ex0· x0,∴x0=1,∴k=e. 4.曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,斜率最小的切线的方程为________________. 答案 3x-y-11=0 解析 ∵y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+3≥3, ∴当 x=-1 时,斜率最小,切点为(-1,-14), ∴切线方程为 y+14=3(x+1),即 3x-y-11=0. 1 1 5.若曲线 y=x- 在点(a,a- )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a= 2 2 ________. 答案 64 1 1 3 解析 ∵y=x- ,∴y′=- x- , 2 2 2 1 1 3 ∴曲线在点(a,a- )处的切线斜率 k=- a- , 2 2 2 1 1 3 ∴切线方程为 y-a- =- a- (x-a). 2 2 2 3 1 令 x=0 得 y= a- ;令 y=0 得 x=3a. 2 2 ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 3 1 9 1 S= · 3a· a- = a =18,∴a=64. 2 2 2 4 2 6.已知 A、B、C 三点在曲线 y= x上,其横坐标依次为 1、m、4(1<m<4),当△ABC 的面 积最大时,m 的值等于________. 答案 9 4 ① ② ③

解析 如图,在△ABC 中,边 AC 是确定的,要使△ABC 的面积最大,则点 B 到直线 AC 的 距离应最大,可以将直线 AC 作平行移动,显然当直线与曲线相切时,距离达到最大,即当 过 B 点的切线平行于直线 AC 时,△ABC 的面积最大.

1 f′(m)= ,A 点坐标为(1,1),C 点坐标为(4,2), 2 m 2-1 1 1 1 9 ∴kAC= = ,∴ = ,∴m= . 4 4-1 3 2 m 3 7.已知曲线 f(x)=x3-3x,过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线,求曲线的切线方程. 解 设切点为(x0,y0),
2 则由导数定义得切线的斜率 k=f′(x0)=3x0 -3,∴切线方程为 y=(3x2 0-3)x+16,

又切点(x0,y0)在切线上,∴y0=3(x2 0-1)x0+16,
2 即 x3 0-3x0=3(x0-1)x0+16,解得 x0=-2,∴切线方程为 9x-y+16=0.


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