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几个常见函数的导数2


几个常见函数的导数制作人:徐凯 精讲部分: 年级:高三 难易程度:中
一.知识点:
知识点一 几个常用函数的导数 原函数 f(x)=c f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)= x f(x)= x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=1 f′(x)=2x 1 f′(x)=- 2 x 1 f′(x)= 2 x

科目:数学

类型:同步

建议用时:20-25min

知识点二 基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

导函数 f′(x)=0 f′(x)=αxα
-1

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a(a>0) f′(x)=ex 1 f′(x)= (a>0 且 a≠1) xln a 1 f′(x)= x

二.典例分析:
题型一:利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 π 1 4 (1)y=sin ;(2)y=5x;(3)y= 3;(4)y= x3;(5)y=log3x. 3 x 解 (1)y′=0;(2)y′=(5x)′=5xln 5;(3)y′=(x 3)′=-3x 4;
- -

3 1 3 ? 3? 4 ? (4)y′=? ? x3?′=?x4?′=4x-4= 4 ; 4 x 1 (5)y′=(log3x)′= . xln 3 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂; (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将 题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式. 题型二 利用导数公式求曲线的切线方程 π 1? 例 2 求过曲线 y=sin x 上点 P? ?6,2?且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y=sin x,∴y′=cos x, π 1? π π 3 曲线在点 P? ?6,2?处的切线斜率是:y′|x=6=cos6= 2 . ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为- 即 2x+ 3y- 3 π - =0. 2 3 π 2 1 2 x- ?, ,故所求的直线方程为 y- =- ? 2 3 3? 6?

规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率; 相互垂直的直线斜率乘积等于- 1 是解题的关键. 题型 3 利用导数公式求最值问题 例 3 已知直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,试求与直 线 l 平行的抛物线的切线方程,并在弧 ? AOB 上求一点 P,使△ABP 的面积最大. 解 设 P(x0,y0)为切点,过点 P 与 AB 平行的直线斜率 k= y′=2x0,∴k=2x0=2,∴x0 =1,y0 =1. 故可得 P(1,1),∴切线方程为 2x-y-1=0. 由于直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点,∴|AB|为定值,要使△ABP 的面 积最大,只要 P 到 AB 的距离最大,故 P(1,1)点即为所求弧 ? AOB 上的点,使△ABP 的面积 最大. 三.课堂小结: 1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数 公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. x x 如求 y=1-2sin2 的导数.因为 y=1-2sin2 =cos x,所以 y′=(cos x)′=-sin x. 2 2

3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化.

精练部分: 年级:高三 难易程度:中
四.随堂练习: 1.下列结论中正确的个数为( )

科目:数学

类型:同步

建议用时:随堂练习 10-15min 课后作业 30min

1 1 2 ①y=ln 2,则 y′= ;②y= 2,则 y′|x=3=- ;③y=2x,则 y′=2xln 2;④y=log2x,则 y′ 2 x 27 = 1 . xln 2

A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 解析 ①y=ln 2 为常数,所以 y′=0.①错.②③④正确. 1 2.过曲线 y= 上一点 P 的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标为( x 1 ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? A.? ?2,2?B.?2,2?或?-2,-2?C.?-2,-2?D.?2,-2? 答案 B 1? 1 1 解析 y′=? ,故选 B. ?x?′=-x2=-4,x=± 2 3.已知 f(x)=xa,若 f′(-1)=-4,则 a 的值等于( A.4 B.-4 C.5 D.-5 答案 A 解析 f′(x)=axa 1,f′(-1)=a(-1)a 1=-4,a=4.
- -

)

)

4.函数 f(x)=x3 的斜率等于 1 的切线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.不确定 答案 B 解析

)

∵f′(x) = 3x2 ,设切点为 (x0 , y0) ,则 3x 2 0 = 1 ,得 x0 = ±

3 3 3 ,即在点 ? , ? 和点 3 9? ?3

?- 3,- 3?处有斜率为 1 的切线. 9? ? 3
9 5.曲线 y= 在点 M(3,3)处的切线方程是________. x 答案 x+y-6=0 9 解析 ∵y′=- 2,∴y′|x=3=-1,∴过点(3,3)的斜率为-1 的切线方程为: x

y-3=-(x-3)即 x+y-6=0. 1? 1 6.若曲线 y=x- 在点? ?a,a-2?处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a= 2 ________. 答案 64 1? 1 1 3 1 3 解析 ∵y=x- ,∴y′=- x- ,∴曲线在点? ?a,a-2?处的切线斜率 k=-2a-2, 2 2 2 1 1 3 3 1 ∴切线方程为 y-a- =- a- (x-a).令 x=0 得 y= a- ;令 y=0 得 x=3a. 2 2 2 2 2 1 3 1 9 1 ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S= · 3a· a- = a =18,∴a=64. 2 2 2 4 2 五. 课后作业: 1.求下列函数的导数: x 1 x 5 1-2cos2 ?;(4)y=log2x2-log2x. (1) y= x3;(2)y= 4;(3)y=-2sin ? 4? x 2? 3 3 2 3 5 ? ? ? 3 3 解 (1)y′=? ? x3?′=?x5?′=5x5-1=5x-5= 5 . 5 x2 1? 4 -4 -4-1 -5 (2)y′=? ?x4?′=(x )′=-4x =-4x =-x5. x x x x x x 1-2cos2 ?=2sin ?2cos2 -1?=2sin cos =sin x, (3)∵y=-2sin ? 4? 4 ? 2? 2? 2 2 ∴y′=(sin x)′=cos x. (4)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y′=(log2x)′= 1 . x· ln 2 )

2.已知直线 y=kx 是曲线 y=ex 的切线,则实数 k 的值为( 1 1 A. B.- C.-e D.e e e 答案 D y0=kx0 ? ? 解析 y′=ex,设切点为(x0,y0),则?y0=ex0 ? ?k=ex0.

∴ex0=ex0· x0,∴x0=1,∴k=e.

π 3.曲线 y=ln x 在 x=a 处的切线倾斜角为 ,则 a=________. 4 答案 1 1 1 解析 y′= ,∴y′|x=a= =1,∴a=1. x a 4.点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,则点 P 到直线 y=x 的最小距离为________. 答案 2 2

解析

根据题意设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),该切点即为与 y=x 距离 最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为 1,即 y′|x=x0=1. ∵y′=(ex)′=ex,∴ex0=1,得 x0=0,代入 y=ex,得 y0=1,即 P(0,1).利用点到直线的距离 公式得距离为 2 . 2

5.已知 f(x)=cos x,g(x)=x,求适合 f′(x)+g′(x)≤0 的 x 的值. 解 ∵f(x)=cos x,g(x)=x, ∴f′(x)=(cos x)′=-sin x,g′(x)=x′=1, 由 f′(x)+g′(x)≤0,得-sin x+1≤0,即 sin x≥1,但 sin x∈[-1,1], π ∴sin x=1,∴x=2kπ+ ,k∈Z. 2 6.已知抛物线 y=x2,直线 x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离. 解 根据题意可知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线,对应的切点到直线 x-y -2=0 的距离最短,设切点坐标为(x0,x2 0),则 y′|x=x0=2x0=1, 1 1? 1 所以 x0= ,所以切点坐标为? ?2,4?,切点到直线 x-y-2=0 的距离 2

d=

?1-1-2? ?2 4 ? 7 2
2 =

7 2 ,所以抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 . 8 8

7.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,试求 f2 014(x). 解 f1(x)=(sin x)′=cos x,f2(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)=(-cos x)′=sin x, f5(x)=(sin x)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…, fn+4(x)=fn(x),可知周期为 4, ∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x.


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