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第1章《集合》易错题



我的高考数学错题本
第 1 章 集合易错题 易错点 1 遗忘空集致误

由于空集是任何非空集合的真子集,在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B ? ? 这种情况,导致解题结果错误. 【例 1】 设 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | ax ? 1 ? 0} , B ? A ,求的值. 【错解】 A ? {3

, ?1} , B ? { } ,从而 a ? 【错因】忽略了集合 B ? ? 的情形 【正解 】当 B ? ? 时,得 a ?

1 a

1 或 ?1 . 3

1 1 或 ?1 ; B ? ? 时,得 a ? 0 .所以 a ? 或 a ? ?1 或 a ? 0 . 3 3

【纠错训练】已知 A ? {x | 2a ? x ? a ? 3} , B ? {x | x ? ?1或x ? 5} ,若 A ? B =? ,求 a 的取值 范围. 【解析】由 A ? B =? , (1)若 A ? ? ,有 2a ? a ? 3 ,所以 a ? 3 .

? 2 a ? ?1 1 ? (2)若 A ? ? ,则有 ? a ? 3 ? 5 ,解得 ? ? a ? 2 . 2 ? 2a ? a ? 3 ?
综上所述,的取值范围是 {x | ? 易错点 2

1 ? a ? 2或a ? 3} . 2

忽视集合元素的三要素致误

集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的三性中互异性对解题的影响最 大,特别是带有字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些要求. 【例 2】已知集合 A ? {1, 4, a} , B ? {1, a 2 , b} ,若 A ? B ,求实数,的值.

?4 ? a 2 ?a ? 2 ?a ? ?2 【错解】由题意得, ? ,解得 ? 或? . ?a ? b ?b ? 2 ?b ? ?2
【错因】本题误认为两个集合相等则对应项相同,这显然违背了集合的无序性. 【正解】∵ A ? B ,由集合元素的无序性,∴有以下两种情形: (1) ?

?4 ? a 2 ?a ? b

,解得 ?

?a ? 2 ?a ? ?2 或? ; ?b ? 2 ?b ? ?2

?a 2 ? a ? a ? 0 ?a ? 1 ?a ? 1 (2) ? ,解得 ? 或? ,经检验 ? 与元素互异性矛盾,舍去. ?b ? 4 ?b ? 4 ?b ? ?2 ?b ? ?2

∴?

?a ? 2 ?a ? ?2 ?a ? 0 或? 或? . ?b ? 2 ?b ? ?2 ?b ? 4
已知集合 A ? {1, 4, a} ,集合 B ? {1, a 2 } ,若 B ? A ,求的值.

【例 3】

【错解】 a 2 ? 4 或 a 2 ? a ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 或 a ? 1 . 【错因】没有将计算结果代回到集合中检验,忽略了集合中元素的互异性,导致出现了增解. 【正解】 a 2 ? 4 或 a 2 ? a ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 或 a ? 1 ,经检验当 a ? 1 时, A ? {1, 4,1} , 与集合中元素的互异性相矛盾,舍去,所以 a ? ?2 或 a ? 0 . 【纠错训练】已知集合 A ? {1, 2}, B ? {x | ax ? 3 ? 0} ,若 B ? A ,则实数的值是( A. 0, ,3 )

3 3 B. 0, 3 C. ,3 D. 2 2 【解析】若 B ? A ,则集合 B 是集合 A 的子集,当 B ? ? ,显然 a ? 0 ;当 B ? ? 时,解得 3 3 3 3 ?3? B ? ? ? ,则有 ? 1 或 ? 2 ,解得 a ? 3 或 a ? ,即的值为 0, ,3 ,选 A. 2 a 2 a ?a ?
易错点 3 弄错集合的代表元 【例 4】 已知 A ? ? y | y ? x ? 1 ? ,B ? ?( x , y) | x2 ? y 2 ? 1? , 则集合 A ? B 中元素的个数为________. 【错解】 1 个或无穷多个 【错因】没有弄清集合 B 的代表元的含义 【正解】 集合 A 是一个数集,集合 B 是一个点集, 二者的交集为空集, 所包含的元素个数为 0.





5











y ? f ( x)



x ? [ a, b]



那 )







{( x, y) | y ? f ( x), x ?[a, b]} ? {( x, y) | x ? 2} 中元素的个数为(
A.1 A.0 C.0 或 1 【错解】不知题意,无从下手,蒙出答案 D D.1 或 2

【错因】没有弄清两个集合打代表元,事实上, {x | y ? f ( x)} 、 { y | y ? f ( x)} 、

{( x, y) | y ? f ( x)} 分别表示函数 y ? f ( x) 的定义域、值域、函数图象上的点的坐标组成的集
合. 【正解】本题中集合的含义是两个图象交点的个数,从函数值的唯一性可知,两个集合的交 中之多有一个交点,故选 C. 【 纠 错 训 练 】 1 . 已 知 集 合 A ?{ y | y ?
2

x ?1, } B ? {x | y ? x ? 2} , 则

A ? B ? _______________.
【解析】 A ? { y | y ? 1} , B ? {x | x ? 0} ,所以 A ? B ? {x | x ? 1} .

【纠错训练】2.设集合 A ? {( x, y) | x ? 2 y ? 5} , B ? {( x, y) | x ? 2 y ? ?3} ,则

A ? B ? ______.
【解析】由 ?

?x ? 1 ?x ? 2 y ? 5 ,解得 ? ,从而 A ? B ? {(1, 2)} . ?y ? 2 ? x ? 2 y ? ?3

易错点 4

忽略了题目中隐含的限制条件 )

【例 6】 【2015 高考陕西, 理 1】 设集合 M ? {x | x 2 ? x} , 则 M ? N ?( N ? {x | lg x ? 0} , A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (??,1]

【错解】 ? ? x x ? x ? ?0,1? , ? ? x lg x ? 0 ? x x ? 1 ,所以 ? ? ? ? (??,1] ,故
2

?

?

?

? ?

?

选 D. 【错因】在解 lg x ? 0 时,忽略了 x ? 0 这个隐含的限制条件. 【正解】 ? ? x x ? x ? ?0,1? , ? ? x lg x ? 0 ? x 0 ? x ? 1 ,所以 ? ? ? ? ?0,1? ,
2

?

?

?

? ?

?

故选 A. 【纠错训练】 【2015 高考重庆,理 4】 “ x ? 1 “是“ log 1 ( x ? 2) ? 0 ”的(
2

) D、既不充分也不必

A、充要条件 要条件

B、充分不必要条件

C、必要不充分条件

【解析】 log 1 ( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ? 1 ? x ? ?1 ,因此选 B.
2

易错点 5

集合的交并运算弄反

【例 7】【2015 高考山东,理 1】已知集合 A ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? ? x 2 ? x ? 4? , 则 A? B ? ( ) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)

?

?

A.(1,3)

【错解】因为 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x 2 ? x ? 4 ,所以 A ? B ? x 1 ? x ? 4 ,故选 B. 【错因】将集合的“交运算”误认为是“并运算” . 【正解】 A ? B ? x 1 ? x ? 3 ? x 2 ? x ? 4 ? x 2 ? x ? 3 ,故选 C. 【纠错训练】 【2015 高考四川, 理 1】 设集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} , 集合 B ? {x |1 ? x ? 3} ,

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

则 A? B ? ( ) A. {x | ?1 ? x ? 3}

B. {x | ?1 ? x ? 1}

C. {x |1 ? x ? 2}

D. {x | 2 ? x ? 3}

【解析】 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3},? A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,故选 A.

【错题巩固】 1.设集合 M ? {x | x 2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? ( A. [0,1] B. (0,1] ) D. ( ??,1]

C. [0,1)

A 【解析】M ? {x | x 2 ? x} ? {0,1} ,N ? {x | lg x ? 0} ? {x | 0 ? x ? 1} , 所以 M ? N ? [0,1] . 故 选 A. 2.集合 A = { x | x < a},B = { x | 1 < x < 2},若 A ? ?R B ? R ,则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 B.a < 1 C.a≥2 D.a > 2 C【解析】 ?R B ? {x | x ? 1, 或 x ? 2} ,因为 A ? ?R B ? R ,所以 a≥2,选 C. 3.已知 A ={x| ?2≤x≤5}, B =a+1,2a?1].若 B ? A ,则实数的取值范围是______.
??2 ? a ? 1 ? 【解析】易知 B ? ? ,所以应满足 ?5 ? 2a ? 1 ,解得 2<a≤3.故实数的取值范围是 (2, 3] . ?2a ? 1 ? a ? 1 ?



4.已知 A ={x| ?2≤x≤5}, B ={x| a+1≤x≤2a?1}.若 B ? A ,则实数的取值范围是______.
??2 ? a ? 1 ? a ≤3 【解析】①当 B ? ? 时,即 a+> 1 2a- 1 ,有 a<2;②当 B ? ? ,则 ?5 ? 2a ? 1 , ?2a ? 1 ? a ? 1 ?

解得 2≤a≤3.综合①②得 a 的取值范围为 a≤3. 5.已知集合 A= (? , ] ,集合 B= (? 1 , 2] .若 B ? A ,则实数的取值范围是______.
2

1 4 a a

? 1 4 ? ?a?a ? 1 ? 1 0 ? a ? 2【解析】 ? ? ? ? ,解得 0 ? a ? 2,所以实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 2 . 2 ? a ? 4 ? a?2 ?

6.知集合 A ? [2 ? a, 2 ? a], B ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} ,AB,则实数的取值范围是
?1 ? 2 ? a

? 0 ? a ?1 【解析】?2 ? a ? 3

?2 ? a ? 2 ? a ?

, 得 0 ? a ? 1, 当 a ? 1 ,A ? [1,3], B ? [1,3] 不符合, 所以 0 ? a ? 1 。

7. 已知集合 A={x|1<x<3}, B={x|2m<x<1-m}. 若 A ? B=? , 则实数 m 的取值范围是



[0, ??) 【解析】由 A ? B=? ,得:①若

1 2m≥1-m,即 m≥3时, B=? ,符

1 1 ? ? 1 1 ?m ? ?m ? 合题意;②若 2m<1-m,即 m<3时,需 ? 3 或? 3 解得 0≤m<3.综上, ? ?1 ? m ? 1 ? ? 2m ? 3 实数 m 的取值范围是 [0, ??) .
8.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1} , B ? {x | ax ? 1} .若 B ? A ,求实数的值. 或 【解析】 集合 A ? {?1,1} , 对于集合 B ? {x | ax ? 1} , 所以当 B ? ? 时, a=0; 当 B ?{ ?1, 0 , 1 } 时,a=1;当 B ? {?1} 时, a ? ?1 .综上,a 的值为 ?1, 0 ,或. 9.若集合 A ? {x | x 2 ? ax ? 1 ? 0, x ? R} ,集合 B ? ?1, 2? ,且 A ? B ,求实数的取值范围. 【解析】 (1)若 A ? ? ,则 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 ; (2)若 1? A ,则 12 ? a ? 1 ? 0 ,
2 a ? 1? 0 解得 a ? ?2 , 此时 A ? {1} , 适合题意; (3) 若 2? A, 则 22 ?

5 1 , 解得 a ? ? , 此时 A ? {2, } , 2 2

不合题意. 综上,实数的取值范围为 [ ?2, 2) . 10.已知集合 A ={x|-2≤x≤7 }, B ={x|m+1<x<2m-1} ,若 A ? B ? A ,则实数 m 的取值范 围是 . 【解析】 A ? B ? A 则 B ? A . 当 B = ? 时,m+12m-1,解得 m ? 2 ; 当B ?
? m ? 1 ? 2m ? 1 ? ,解得 2 ? m ? 4 .所以实数 m 的取值范围是 m ≤4. ? 时, ?m ? 1 ? ?2 ? 2m ? 1 ? 7 ?

11.已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1} , B ? {x | y ? ( x ? 3)(5 ? x)} ,且 A ? B ,则实数的取值范 围是( ) A. 0 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1

【解析】化简得 B ? { x | ( x ? 3)(5? x ) ? 0} ? {x | ? 3 ? x ? 5}.当 A ? ? 时, A ? B 成立,即有
?a ? 1 ? 4a ? 1 ? a ? 1 ? 4a ? 1 成立,所以 a ? 0 ; 当 A ? ? 时, 要使 A ? B ,故需 ?a ? 1 ? ?3 , 解得 0 ? a ? 1 . 综 ?4a ? 1 ? 5 ?

上, a ? 1 .故选 D. 12.已知集合 A ? {x | 2 ? x ? 8} , B ? {x a ? x ? 2a ? 2} ,若 A ? B = B ,则实数 a 的取值范围是 ______. 因为 A ? B = B , 所以 B ? A , 当 B ? ? 时,a ? 2a ? 2 , 解得 a ? 2 ; 当B?? ? ??,5?【解析】

时,需满足 ? ?a ? 2

? a ? 2a ? 2 ? 2a ? 2 ? 8 ?

,解得 2 ? a ? 5 .综上,实数 a 的取值范围是 ? ??,5? .

13.已知集合 A ? {1, 2} , B ? {x | ax ? 3 ? 0} ,若 B ? A ,则实数的值是( A. 0, ,3



A【解析】由题可知:若 B ? A ,则集合 B 是集合 A 的子集,集合 B 有两种可能,一种是 空集,一种是有限集,当集合 B 是空集时,显然 a=0,当集合 B 是有限集时,解得 x ? 有

3 2

B. 0, 3

C.

3 ,3 2

D.

3 ,则 a

3 3 3 3 ? 1 ? a ? 3 或者 ? 2 ? a ? 。即 a 的值为 0, ,3 。 2 a a 2



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