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4 三角形的内角和定理


兰青中心校

内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角,平时,它 们三兄弟非常团结。可是有一天,老二突然不 高兴,发起脾气来,它指着老大说:“你凭什 么度数最大,我也要和你一样大!”“不行啊!” 老大说:“这是不可能的,否则,我们这个家

就再也围不起来了……”“为什么?” 老二很纳闷。

方法一:度量法
任画一个三角形,量出三个内角的度数,

把量得的三个度数相加就可以求出三角形
三个内角的和。

如果你现在没有量角器,怎么求出三
个内角的和呢?

方法二: 折叠法

方法三:剪拼法
把三角形的三个角剪下来,然后把 三个角拼在一起,得到的大角也就是 三角形三个内角的和。
你打算怎 么拼呢?

求证: 三角形的内角和等于180°.
改写成:如果_______,那么_________。 已知:△ABC。 E A 求证:∠BAC+∠B+∠C=180° F 1 证明:过点A作EF∥BC 2 ∴∠1=∠B (两直线平行,内错角相等) ∠2=∠C C (两直线平行,内错角相等) B ∵∠BAC+∠1+∠2=180° (平角的定义) ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)

求下列图形中∠1的度数.

90 ° 1
60° 30° 55° 50°

35°
1

110° 35°

75° 1

47 ° 1
105°

28°
小结

(1)一个三角形最多有几个直角,为什么? (2)一个三角形最多有几个钝角,为什么? (3)一个三角形最多有几个锐角,为什么? (4)一个三角形至少有几个锐角,为什么?

已知一个三角形三个内角的度数 的比为2∶3∶4,求这个三角形各内 角的度数。

已知一个三角形三个内角的度数之比为

2∶3∶4,求这个三角形各内角的度数。

解:设三个内角的度数分别为2x、 2x+3x+4x=180 ° ∴X=20 ° ∴2X=40 ° 3X=60 °

3x、4x,则有:

小结一下?

4X=80 °

答:三个内角的度数分别为40 °、60 °、 80 °。

探究
在△ABC中, ∠B=∠C=2∠A, 求∠B和∠C的度数。 ∠B=∠C=72 °

分析:(1)设∠A为x,则∠B = ∠C=2x.
得x+2x+2x=180°.

例题:已知:如图,在△ABC中,DE∥BC, ∠A=60°,∠C=70°。求证:∠ADE=50°
A

D

E C

B

练习
如图,在⊿ABC中,AD是角平分 线,∠B=58 °, ∠C=74 °,DE ∥AC, 求∠ADE的度数。
A

E

B

D

C

随堂练习

?

1、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角 形的一个内角是多少度?请证明你的结论.
C A

A

B

B

C

结论: 直角三角形的两个锐角互余;等边三 角形每个内角60° 以后可以直接运用.

随堂练习

?

?2、已知:如图在△ABC中, DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证: ∠ADE=500
证明: ∵ DE ∥ BC (已知)
∴ ∠ AED= ∠ C(两直线平行,同位角相等) ∵ ∠ C=700(已知) ∴ ∠ AED= 700 (等量代换) B ∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=1800(三角形的内角和定理) (第2题) ∠ A=600(已知) ∴ ∠ ADE=1800—600—700=500(等量代换) C D E A

即∠ ADE= 500

课堂小结:

度量、拼合 猜想

三角形的内角和等于180 ?
︵添 转加 移辅 角助 ︶线

转化的 数学思想

理论证明 应用 (用方程解问题的数学思想.)

思考题:
在⊿ABC中,BO、CO平分∠ABC和∠ACB, 已知∠A=60°求 (1)∠BOC的度数。
1 (2)若∠A= α ,求证:∠BOC=90 °+ α 。 2

分析:(1)
∠ABC+∠ACB=? ∠ 2+∠4=? ∠BOC=?
1

作业 1、书P16.第3,4题 2、课时练

3、预习:三角形的外角和


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