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高二数学期末试卷



高二数学期末试卷

一. 选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分)

T 1. 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S,其中由 3 个元素组成的子集数为 T,则 S 的值为( 20 15 16 21 A. 128 B. 128 C. 128 D. 128 2. r 是相关系数,则结论正确的个数为( ) r ? [ ? 1

, ? 0 . 75 ] ① 时,两变量负相关很强;
② r ? [0.75,1] 时,两变量正相关很强; ③ r ? [?0.75,?0.3] 或 [0.3,0.75] 时,两变量相关性一般;



④ r ? 0.1 时,两变量相关性很弱 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定断言“X 和 Y 有关系”的可信度。如 果 k ? 9.99 ,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分比为( 0.40 0.25 0.15 0.10 P(K2>k) 0.50 A. 0.5%
k

) 0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635 )

0.005 7.879

0.001 10.828

k 0.455 0.708 B. 99.5% C. 0.01%
k n?k

1.323 2.072 D. 99.99%
k

2.706

4. 在某一试验中事件 A 出现的概率为 p ,则在 n 次试验中 A 出现 k 次的概率为(
k n k n ?k

A. 1 ? p B. (1 ? p) p C. 1 ? (1 ? p) D. C (1 ? p) p 5. 把 4 棵柳树和 4 棵杨树栽成一行,柳树、杨树逐一相间的栽法有( ) A. 288 种 B. 576 种 C. 1152 种 D. 2304 种 6. 假设 200 件产品中有 3 件次品,现在从中任取 5 件,其中至少有 2 件次品的抽法有( A. C C
5 2 3 3 198




4

B. (C C
5

2 3

3 197

C. (C200 ? C197 ) 种 D. (C200 7. 一个小组有 6 人,任选 2 名代表,求其中某甲当选的概率是(

?C C )种 1 4 ? C3 C197 ) 种
3 3 2 197



1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 5


8. 一批产品的次品率为 4%,从中任取 2 件,则抽得 1 件次品的概率是( A. 0.0768 B. 0.768 C. 0.00768 D. 0.000768 的次品数,经过一段时间的测试, ? 与 ? 的分布列分别为:

9. 甲、乙两台自动车床生产同种标准件, ? 表示甲机床生产 1000 件产品中的次品数,? 表示乙机床生产 1000 件产品中

?
P 据此判定( ) A. 甲比乙质量好

0 0.7

1 0.1

2 0.1

3 0.1

?
P

0 0.5

1 0.3

2 0.2

3 0

B. 乙比甲质量好

C. 甲与乙质量相同

D. 无法判定

10. 若 ? ~ B(5,0.1) ,那么 P(? ? 2) 等于( ) A. 0.0729 B. 0.00856 C. 0.91854 D. 0.99144 11. 下面是高考第一批录取的一份志愿表: 志愿 学校 第一志愿 第二志愿 1 2 第 1 专业 第 1 专业

专业 第 2 专业 第 2 专业

3 第三志愿 第 1 专业 第 2 专业 现有 4 所重点院校,每所院校有 3 个专业是你较为满意的选择,如果表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业 也没有重复的话,你将有不同的填写方法的种数是( ) A. 4 ? ( A3 )
3 2 3

B. 4 ? (C3 )
3

2 3

C. A4 ? (C3 )
3
2

2 3

D. A4 ? ( A3 )
3

2 3

12. 某厂生产的零件外直径 ? ~ N (8.0,0.15 ) ( mm) ,今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径 分别为 8.3mm 和 7.6mm,则可认为( )

A. B. C. D.

上、下午生产情况均为异常 上、下午生产情况均为正常 上午生产情况正常,下午生产情况异常 上午生产情况异常,下午生产情况正常

二. 填空题(每小题 4 分,共 4 小题,共 16 分) 13. 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出两个,则其中含红球个数的数学期望是



x 1 ( ? 3 )8 x 的展开式中的常数项是 14. 在 2
15. 一电路图如图所示,从 A 到 B 共有 B 的线路通电。

。 条不同的线路可通电,开关有

种不同的闭合形式,可以使从 A 到

16. 已知数列 {an } ( n ? N )是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列。经计算得
?

0 1 2 a1C2 ? a2C2 ? a3C2 =

; a1C3 ? a2 C3 ? a2 C3 ? a4 C3 ? 由上面的结果,可以归纳出关于正整数 n 的一个结论为 。
0 1 2 3



三. 解答题(前 5 小题每题 12 分,最后 1 小题 14 分,共 74 分) 17. 4 位学生与 2 位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问:各有多少种不同的坐法? (1)教师必须坐在中间; (2)教师不能坐在两端,但要坐在一起; (3)教师不能坐在两端,且不能相邻。 18. 某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9,数学为 0.8,英语为 0.85,问一次 考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少? 19. 为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系,对高二(1)的 55 名学生进行了一次摸底考试,按照考试成绩优秀 和不优秀统计成绩后,得到如下 2×2 列联表: 优秀 不优秀 总计 数学成绩 语文成绩 21 13 34 42 55 55 110

34 76 总计 问:数学成绩与语文成绩在多大程度上有关系? 20. 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量

数等于第二次向上一面 的点数) ?1, (当第一次向上一面的点 (1)试写出随机变量 ? 的分布列;
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率。 21. 一球赛先分 A、B 两组,每组各有 5 球队,第一轮赛后每组的前两名将进入半决赛,为提高上座率,举行有奖竞猜活 动(入场券背面设计成选票) :首场入场后立即要求观众从两组中各猜 2 个能进入半决赛的球队,猜中四个队获一等奖,猜 中三个队获二等奖,猜中两个队获三等奖,猜中一个队获四等奖。设某人的获奖等级为 ? (当该人未获奖时,记 ? ? 5 ) , 求 ? 的数学期望。 22. 某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统计得到数据如下: x 1 2 3 5 10 20 30 50 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30

? ??

数不等于第二次向上一 面的点数) ?0, (当第一次向上一面的点

100 1.21

200 1.15

1 检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数 x 之间是否具有线性相关关系,如有,求出 y 对 x 的回归方程。

【试题答案】
一. 选择题: 1. B
3 T C10 15 ? 10 ? 3 10 T ? C 10 , S 128 2 简解:含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ? 2 ,由 3 个元素组成的子集数为

2. D 简解:①、②、③、④均正确,选 D。 3. B 4. D 5. C 简解: 2 A4 A4 ? 1152 6. B
4 4

简解:分两种情况,有 2 件次品的抽法 C3 C197 种,有 3 种次品的抽法 C3 C197 种,选 B。 7. B
1 C5 1 ? 2 3 简解: C6

2

3

3

2

8. A 简解: C2 ? 0.04 ? (1 ? 0.04) ? 0.0768 9. A
1

简解: E? ? 0 ? 0.7 ? 1? 0.1 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.1 ? 0.6 , E? ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.2 +3×0=0.7,所以甲比乙质量好。 10. D 简解:
k P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? C5 (0.1) k (0.9) 5?k k ?0 2

? (0.9) 5 ? 5 ? (0.1) ? (0.9) 4 ?

5?4 ? (0.1) 2 ? (0.9) 3 2 ? 0.59049 ? 0.32805 ? 0.0729 ? 0.99144 ,选 D。

11. D 简解:先从 4 个学校中选 3 个出来排列,然后所选的每个学校从 3 个专业中选 2 个出来排列,所以不同的填写方法共 有 A4 ? ( A3 ) 12. B
3 2 3

简解:根据 3? 原则,在 8 ? 3 ? 0.15 ? 8.45(mm) 与 8 ? 3 ? 0.15 ? 7.55(mm) 之外时为异常。 二. 填空题

6 13. 5
简解:同时取出的两个球中含红球数 ? 服从超几何分布,其数学期望为 14. 7
1

n?

M 2 6 ? 3? ? N 5 5
4

8? r ? r 8? r x 1 1 1 Tr ?1 ? C8r ( ) 8?r (? 3 ) r ? (?1) r ( ) 8?r C8r x 3 ? (?1) r ( ) 8?r C8r x 3 2 2 2 x 简解:

令 15. 8;249

8?

4 1 r ? 0, r ? 6, T7 ? (?1) 6 ( ) 8?6 C86 ? 7 5 2

2 2 8 简解:3+1+2×2=8;每个开关有 2 种形式,从而 8 个开关共有 2 种形式,其中不能通电的有 2 ? 2 ? 1 ? 7 种形式, 所以共有 249 种不同不闭合形式,可以使从 A 到 B 的线路通电。

16. a1 (1 ? q ) ; a1 (1 ? q) ; a1 (1 ? q)
2 3

n

简解: a1C2 ? a2C2 ? a3C2 ? a1 ? 2a1q ? a1q ? a1 (1 ? q) (n ? 2)
0 1 2 2 2

同理可得: a1C3 ? a2C3 ? a2C3 ? a4C3 ? a1 (1 ? q) (n ? 3)
0 1 2 3 3

猜想: a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? ?? ? (?1) an?1Cn ? a1 (1 ? q) 证明如下:
0 1 2 n n

n

0 1 2 n 0 1 n a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? ?? ? (?1) n an?1Cn ? a1Cn ? a1qCn ? ?(?1) n a1q n Cn 0 1 2 n ? a1[Cn ? qCn ? q 2Cn ? ?? ? (?1) n q n Cn ] ? a1 (1 ? q) n

三. 解答题: 17. 解: (1)先排 2 名教师在中间,然后排 4 名同学,所以共有不同的坐法 A2 ? A4 ? 48(种) ; (2)先排 2 名教师在中
2 4

间 4 个位置且相邻,然后排 4 名同学,所以共有不同的坐法 3 ? A2 ? A4 ? 144(种) ; (3)先排 2 名教师在中间 4 个位置但
2 4

不相邻,然后排 4 名同学,所以共有不同的坐法 3 ? A2 ? A4 ? 144(种) 18. 解:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A,B,C 则 P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85
2 4

(1) P( A ? B ? C) ? P( A) ? P( B) ? P(C)

? [1 ? P( A)][ 1 ? P( B)][ 1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.85) ? 0.003
所以,三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003。 (2) P( A ? B ? C ? A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C)

所以,恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329 19. 解:假设“数学成绩与语文成绩没有关系” ,而随机变量的观测值

? P( A) ? P(B) ? P(C) ? P( A) ? P(B) ? P(C) ? P( A) ? P(B) ? P(C) ? [1 ? P( A)]P( B) P(C ) ? P( A)[1 ? P( B)]P(C ) ? P( A) P( B)[1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9) ? 0.8 ? 0.85 ? 0.9 ? (1 ? 0.8) ? 0.85 ? 0.9 ? 0.8 ? (1 ? 0.85) ? 0.329

110(21? 42 ? 34 ? 13) 2 21296000 ? ? 2.724 ? 2.706 (21? 34)(13 ? 42)(21? 13)(34 ? 42) 781600 2 且 P( K ? 2.706) ? 0.10 k?
这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为 0.10,即有 90%的把握认为“数学成绩与 语文成绩有关系” 。 20. 解: (1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有 6 种情况,所以

P(? ? 1) ?

6 1 5 ? P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 1) ? 36 6 ,由互斥事件概率公式得, 6

所以所求分布列是

?
P

1

0

1 6

5 6

(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为 A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为 B,在第一次掷得向上 一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为:

9 P( AB) 36 1 ? ? P( AB) n( AB) 9 1 18 2 P( A) ? ? P( B | A) ? P( A) n( A) 18 = 2 或 P( B | A) ? 36
2 2 C2 C 1 p(? ? 1) ? 2 2 ? , 2 C5 C5 100 21. 解: ? 的分布列为:

1 1 1 1 2 2 2C2 C3 C2 C3 ? 2C2 C3 42 P(? ? 3) ? ? 2 2 100 C5 C5 1 1 2 2C2 C3 C3 C32 C32 36 9 P(? ? 4) ? ? P(? ? 5) ? 2 2 ? 2 2 100 , C5 C5 C5 C5 100

所以这个人获奖等级的期望是

E? ? 1 ?

1 12 42 36 9 ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? 3 .4 100 100 100 100 100

22. 解:首先设变量

u?

1 x ,题目所给的数据变成如下表所示的数据
1 0.5 5.52 0.33 4.08 0.2 2.85 0.1 2.11 0.05 1.62 0.03 1.41 0.02 1.30 0.01 1.21 0.005 1.15

ui

yi

10.15

经计算得 r ? 0.9998 ? 0.75 ,从而认为 u 与 y 之间具有线性相关关系

? ? 8.973 ? ? 1.125? 8.973x ? ? 1.125, b 由公式得 a ,所以 y
最后回代

u?

1 8.973 ? ? 1.125 ? y x ,可得 x



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