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郑州市2009-2010学年高二年级下学期期末考试--数学理



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高中二年级 理科数学
一、选择题 BDBDA ADBCC 二、填空题 13. 9b
2

参考答案

AC

? ? 0.9 x ? 58 14. y

15. 72

16. 24n?1 ? (?1)n 22n?1 三、解答题 (17) 解: (1) 甲厂抽查的产品中有 360 件优质品, 从而其零件的优质品率估计为 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,其零件的优质品率估计为 (2)
甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500 乙厂 320 180 500 合计 680 320 1000

360 ? 72% ; 500
??4 分

320 ? 64?? 500

??6 分

K2 ?

1000 ? (360 ? 180 ? 320 ? 140) 2 ? 7.35 ? 6.635 . 500 ? 500 ? 680 ? 320
0

所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 18.解:1)由题意 2n ? 128,? n ? 7 . ?????3 分

??10 分

7 2)令 x ? 1 得,该二项展开式的各项系数和为 (1 ? 2) ? ?1 .

?????6 分

3)设该二项展开式的第 r ? 1 项为 Tr ?1 ,则
r Tr ?1 ? C7 x 7?r 2

? (?2)r x

?

r 3

r ? (?2)r C7 x

21?5 r 6

.

?????9 分



21 ? 5r 3 ? 1 得 r ? 3 ,所以 T4 ? (?2)3 C7 x ? ?280x . 6
?????12 分

即所求一次项为 ?280 x .

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19.解:(1)设 z ? a ? bi(a, b ? R) , 则 | 1 ? (a ? bi) | ?a ? bi ? 10 ? 3i . 即?
2 ? ? ?1 ? a ? ? b2 ? a ? 10,

? ?

b ? ?3,

解方程组得 ?

? a ? 5, ?b ? ?3.
??????6 分

所以复数 z ? 5 ? 3i . (2)由 z ? m z ? n ? 1 ? 3i ,
2

得 (5 ? 3i) 2 ? m(5 ? 3i) ? n ? 1 ? 3i . 即?

?16 ? 5m ? n ? 1, ?30 ? 3m ? 3,

解之得 ?

?m ? ?9, ?n ? 20.

??????12 分

20.解: (1)设袋中装有白球 k 个, 则

Ck2 1 ? ,? Ck2 ? 3? k ? 3 ,所以袋中有白球 3 个. 2 C7 7

?????4 分

3 A3 1 (2) P(? ? 3) ? 3 ? ; A7 35 1 1 3 C4 A3 A3 3 ; ? 4 35 A7 2 2 3 C4 A4 A3 6 ; ? 5 35 A7

P(? ? 4) ?

P(? ? 5) ?

3 3 3 C4 A5 A3 10 2 P(? ? 6) ? ? ? ; 6 35 7 A7 4 4 3 C4 A6 A3 15 3 ? ? . 7 35 7 A7

P(? ? 7) ?
所以随机变量 ? 的分布列是:

?

3

4

5

6

7

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p

1 35

3 35

6 35

2 7

3 7

?????10 分

E? ? 3 ?

1 3 6 10 15 ? 4? ? 5? ? 6? ? 7? ?6. 35 35 35 35 35
2

?????12 分

21. 解:(1)因为 f ( x) ? ax ? bx ?

3 ,所以 f ?( x) ? 2ax ? b , 4

又 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极值,由 f ?(0) ? 0 得 b ? 0 . 由曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 2 x ? 4 y ? 9 ? 0 垂直可知该切线斜率为

2,
即 f ?(1) ? 2 ,所以 2a ? 2 , a ? 1 ,综上, a ? 1, b ? 0 为所求. ?????4 分

3 ex ( x2 ? 2 x ? ) e 4 . (2)由(1)知, g ( x ) ? ,所以 g ?( x) ? 3 3 x2 ? ( x 2 ? )2 4 4 3 1 3 2 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 x ? ? 0 ,解之得 x ? 或x ? , 4 2 2 1 3 所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ), ( , ??) 2 2 3 ? 2 3 ?y ? x ? , (3)由 ? 解得 x ? ? 或 x ? 1 , 4 2 ? ?2 x ? 4 y ? 9 ? 0,
x

?????8 分

所以两条曲线围成的图形面积
1 1 x 9 3 1 1 3 1 125 S ? ? 3 (? ? ) ? ? 3 ( x 2 ? ) ? (? x3 ? x 2 ? x)| 3 ? 为所求.????12 分 ? ? ? 2 4 4 3 4 2 48 2 2 2

22、解: (1)当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a12 ? a1 ,由 a1 ? 0 得 a1 ? 1 ,
2 当 n ? 2 时,由 2S2 ? 2a1 ? 2a2 ? a2 ? a2 , a2 ? 0 得 a2 ? 2 .

类似的,可得 a3 ? 3 .

????3 分

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猜想 an ? n ,下面用数学归纳法证明 . ①当 n ? 1, 2,3 时,猜想显然成立, ②假设当 n ? k (k ? 3) 时猜想成立,即 ak ? k . 当 n ? k ? 1 时,

2ak ?1 ? 2Sk ?1 ? 2Sk ? ak ?12 ? ak ?1 ? ak 2 ? ak ? ak ?12 ? ak ?1 ? k 2 ? k ,
即 ak ?12 ? ak ?1 ? k (k ? 1) ? 0 ,解之得 ak ?1 ? k ? 1 或 ak ?1 ? ?k . 由 ak ?1 ? 0 得 ak ?1 ? k ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由①,②可知,对于 n ? N ,均有 an ? n 成立. (2)(解法一)由已知
?

????7 分

a2 ? c1 ? 2 ? c1 ? 2 ,

2

a3 ? c23 ? 3 ? c2 ? 3 3, a4 ? c34 ? 4 ? c3 ? 4 4 ? 2, a5 ? c45 ? 5 ? c4 ? 5 5,?.
易得

c1 ? c2 , c2 ? c3 ? c4 ? ... 猜想 n ? 2 时, ?cn ? 是递减数列.

1 ? x ? ln x ln x 1 ? ln x x 令 f ?x ? ? . , 则f ??x ? ? ? 2 x x x2
∵当 x ? 3时, ln x ? 1, 则1 ? ln x ? 0,即f ??x? ? 0. ∴在 ?3,??? 内 f ?x ? 为单调递减函数. 由 a n ?1 ? c n
n? 1

知 ln c n ?

ln?n ? 1? . n ?1

∴ n ? 2 时, ?ln cn ?是递减数列.即 ?cn ? 是递减数列. 又 c1 ? c2 , ∴数列 ?cn ? 中的最大项为 c2 ? 3 3 . (解法二) 猜想数列 ?cn ? 中的最大项为 c2 ? 3 3 .
n?1 n 以下用数学归纳法证明 n ? 3 时, n ? (n ? 1) .

????12 分

c1 ? c2 , c2 ? c3 易直接验证;

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①当 n ? 3 时, nn?1 ? 81 ? 64 ? (n ? 1)n , 所以 n ? 3 时不等式成立; ②假设 n ? k (k ? 3) 时不等式成立,即 k k ?1 ? (k ? 1)k ,即 ( 当 n ? k ?1 时, (

k ?1 k ) ?k, k

k ? 2 k ?1 k ?2 k ?2 k k ? 2 k ?1 k k ?2 ) ?( )( ) ?( )( ) ?( )k ? k ? 1 , k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k k ?1
所以 (k ? 1)k ?2 ? (k ? 2)k ?1 ,即 n ? k ? 1 时不等式成立. 由①,②可知, nn?1 ? (n ? 1)n 对一切大于等于 3 的正整数都成立.
n?1 n 即当 n ? 3 时, n ? (n ? 1) ,

∴数列 ?cn ? 中的最大项为 c2 ? 3 3 .

????12 分



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