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2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题07 不等式(解析版) Word版含解析


一、填空题 1. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】若 log a 2b ? ?1 ,则 a ? b 的最小值为 【答案】 2 【解析】由条件得 a ?1 ? 2b, a ? 0, b ? 0 且 a ? 1 ,从而 a ? b ? a ?

1 ?1 a ? 2 ,故当 2

a?b?

2 时, a ? b 的最小值为 2 。 2

2. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足:当 x≥0 时,

f ( x) ? x ? sin x ,若不等式 f (?4t ) ? f (2mt 2 ? m) 对任意实数 t 恒成立,则实数 m 的取值范围


3. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】设正实数 x, y, z 满足 x ? xy ? 4 y ? z ? 0 .则当
2 2

z xy

取得最小值时, x ? 4 y ? z 的最大值为_____ 【答案】

3 2
2 2

【解析】由已知 z ? x ? xy ? 4 y ,

所以

x 4y z x 2 ? xy ? 4 y 2 x 4 y x 4y ,即 x ? 2 y 时 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 3 ,当且仅当 ? y x xy xy y x y x
2 2 2 2

等号成立,则 x ? 4 y ? z ? 2 y ? 4 y ? 4 y ? 2 y ? 4 y ? ?6 y ? 6 y ?

1 3 1? 3 ? ?6 ? y ? ? ? ,当 y ? 时, ? x ? 4 y ? z ? max ? . 2 2 2? 2 ?
4. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】若对于任意实数 u , v ,不等式

2

(u ? 5 ? 2v) 2 ? (u ? v 2 ) 2 ? t 2 (t ? 0) 恒成立,则 t 的最小值为

.

5. 【2016 高考冲刺卷 (6) 【江苏卷】 】 已知 a ? b ? 1 且 2 loga b ? 3 logb a ? 7 , 则a ? 的最小值为 【答案】3 【解析】因 a ? b ? 1 ,故 0 ? loga b ? 1 ,由已知等式得 log a b ? 代入得 a ? 。

1 b ?1
2

1 ,从而 b ? a , 2

1 1 1 ?a? ? a ?1? ?1 ? 3. a ?1 a ?1 b ?1
2

6. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】若正实数 x , y 满足 ? 2xy ? 1? ? ? 5 y ? 2?? y ? 2? ,则
2

x?

1 的最大值为 2y
3 2 ?1 2
2



【答案】

2 2 2 【解析】 ? 2 xy ? 1? ? (5 y? 2)(y? 2) ? 9 y 2 ? ,? 9 y 2 ? (2 y ? 2) ? (2 xy ? 1 ) , (2 y ? 2)

2 1 ? 9 ? (2 ? ) 2 ? (2 x ? ) 2 ? y y

(2 x ?

1 2 ? 2 ? )2 y y , 2

? (2 x ?

1 1 1 1 3 2 2 ? 2) ? 18, ?2x ? ? 2 ? 3 2 ? 2x ? ? 3 2 ? 2 ? x ? ? ? 1 ,即 y y y 2y 2

x?

1 3 2 的最大值为 ?1 2y 2
1 4

7. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】已知 ab ? ▲ .

, a, b ? (0,1) ,则

1 1? a

?

2 1? b

的最小值为

【答案】 4 ? 【解析】

4 2 3

1 1? a

?

2 1? b

?

1

1 1? a 1? 4a

?

2

?2?(

4 4 ? 4a

?

2 4 2 [(4 ? 4a) ? (4a ? 1)] )?2?( ? )? 4a ? 1 4 ? 4 a 4a ? 1 3

1 4(4a ? 1) 2(4 ? 4a) 1 4(4a ? 1) 2(4 ? 4a) 4 2 =2 ? 2+ ( ? ) ? 4? ?2 ? ? 4? 3 4 ? 4a 4a ? 1 3 4 ? 4a 4a ? 1 3 ,当且仅当
4(4a ? 1) 4 ? 4a

?

2(4 ? 4a) 4a ? 1 时取等号

8. 【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】若实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 log2 x ? log2 y ? 1 , 则

x2 ? y 2 的最小值为 x? y

.

9. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】某工厂用 A,B 两种配件分别生产甲、乙两种产品,每 生产一件甲产品使用 4 个 A 配件、耗时 1 小时,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件、耗时 2 小时,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,每天生产甲、乙两种产品 总耗时不超过 8 小时.若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,那么该 工厂每天可获取的最大利润为________万元. 【答案】14

?x ? 2 y ? 8 ?4 x ? 16 ? 【解析】由题意,设生产 x 件甲产品,y 件乙产品,利润为 z,则有 ? ,目标函数为 4 y ? 12 ? * ? ? x, y ? N
z=2x+3y, 作出不等式组表示的平面区域,可知直线 z=2x+3y 经过可行域内的点(4,2)时, z 取得最大 值 14,故该厂的日利润最大为 14 万元. 10. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】若实数 x,y 满足 2x +xy-y =1,则
2 2

x ? 2y 的最大值为 5 x ? 2 xy ? 2 y 2
2





【答案】 【解析】

2 4

试题分析:由题意得 (2 x ? y)( x ? y) ? 1 ,令 2 x ? y ? t , x ? y ? ,则 x ? (t ? ), y ? ( ? t ? ),

1 t

1 3

1 t

1 3

2 t

1 t? x ? 2y m 2 1 t ? m ? |m| ? ? = 因此 2 ,其中 m=t ? ,当且仅当 2 2 2 1 5 x ? 2 xy ? 2 y t t2 ? 2 m ? 2 m ? 2 2 2 | m | 4 t

|m|= 2 时取等号,故

2 x ? 2y 的最大值为 2 4 5 x ? 2 xy ? 2 y
2

11. 【2016 高考冲刺卷(2) 【江苏卷】 】已知 ab ? ▲ .

1 4

, a, b ? (0,1) ,则

1 1? a

?

2 1? b

的最小值为

12. 【2016 高考押题卷(3) 【江苏卷】 】已知斜边长为 5 的直角三角形中,若两条直角边的 长分别为 x , y ,则 x ? y 的取值范围是 【答案】 ( 5, 10] . 【解析】由题意可知 x 2 ? y 2 ? 5 ,由基本不等式可得: 即x? y ? .

x2 ? y 2 x? y 2 ?( ) , 2 2

2( x 2 ? y 2 ) ? 10 ,注意到 x ? y ? 5 ,故 x ? y 的取值范围是 ( 5, 10] .

?2 x ? y ≤ 2, ? 13. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1, 则目标函数 ? x ? y ≥ 1, ?
z ? 2 x ? y 的最小值为 _______.

【答案】 1 【解析】可行域为 ?ABC 及其内部,其中 A(3, 4), B(1,0), C (0,1), 直线 z ? 2 x ? y 过点 C (0,1) 时取 最小值 1 . 14. 【 2016 年第二次全国大联考 (江苏卷) 】 已知正数 a , b 满足 2ab ? b2 ? b ? 1 , 则 a ? 5b 的 最小值为 _______.

15. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c , c ? 0 ,则
2 2 2

b a ? 2c

的取值范围为 _______. 【答案】 [?

3 3 , ] 3 3

b c sin ? sin ? ? ? =y 【解析】由题意可设: a ? c cos ? , b ? c sin ? 则 a ? 2c c cos ? ? 2c cos ? ? 2 ,因此

2y ? y cos ? ? sin ? ,

|2y |? y 2 ? 1, ?

3 3 ? y? . 3 3

16. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】已知存在实数 a ,使得关于 x 的不等式
x ? 4 ? x ? a 恒成立,则 a 的最大值为 _______.

【答案】 ?2 【解析】 不等式 x ? 4 ? x ? a 恒成立等价于 a ? ( x ? 4 ? x )min , 因为 y ? x ? 4 ? x 在 [0, 4] 上单调递增,所以 ymin ? ?2 ,因此 a ? ?2, 即 a 的最大值为 ?2 .
? 9,x ? 3 17. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则不等式 ?? x ? 6 x, x ? 3

f ( x 2 ? 2x) ? f (3x ? 4) 的解集是 _______.

【答案】 (1,3)
2 【解析】因为当 x ? 3 时, f ( x) 单调递增,且 f ( x) ? 9 ;因此不等式 f ( x ? 2x) ? f (3x ? 4)
2 2 等价于 x ? 2 x ? 3x ? 4 且 x ? 2 x ? 3 ,解得 1 ? x ? 4 且 ?1 ? x ? 3 ,即所求不等式解集为 (1,3)

ì x - y + 2 ? 0, ? ? ? 18. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】设不等式组 í x + y - 4 ? 0, 表示的平面区域为 ? ? ? ? ? y- 2? 0
D ,若指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是

_______.

19. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】已知正数 a , b, c 满足 4a ? 2b ? 25c ? 0 ,则

lg a ? lg c ? 2lg b 的最大值为 _______.
【答案】 ?2

lg a ? lg c ? 2lg b ? lg
【解析】因为

ac 4ac 4ac ? lg ? lg ? ?2 2 2 b (4a ? 25c) (2 4a ? 25c )2 ,当且仅当

4a ? 25c ? b 时取等号,所以 lg a ? lg c ? 2lg b 的最大值为 ? 2.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 20. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】过平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 ?y ? 2 ? 0 ?

O: x 2 ? y 2 ? 1的两条切线,切点分别记为 A、B,当 ?APB 的度数为最小时,点 P 坐标
是 .

【答案】 (-4,2) 【解析】因为 sin

?APB 1 ,所以当 PO 最大时, ?APB 的度数为最小,因已知的平面 ? 2 PO

2 的三角形及其内部区域, 2 时,PO 区域是由顶点 故当点 P 为( ? 4,) (? 2,0) , ? 0, 2? 和( ? 4,)
有最大值 2 5 ,所以 P 点坐标为(-4,2). 21. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】】已知函数 f ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 2a ? 1,若 关于 x 的不等式 f ( f ( x)) ? 0 的解集为空集,则实数 a 的取值范围为 .

二、解答题 1. 【2016 高考冲刺卷(8) 【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分) 如图,某水域的两直线型岸边

l1,l2 成定角 120o,在该水域中位于该角角平分线上且与顶点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定
桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC(B,C 分别在 l1 和 l2 上) ,围出三角

形 ABC 养殖区,且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 AB=x 公里,AC=y 公里. (1)将 y 表示成 x 的函数,并求其定义域; (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区?

2. 【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 (本小题满分 14 分) 已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万只还需另投 入 16 万美元.设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x 万只并全部销售完,每万只的销

?400 ? 6 x, 0 ? x ? 40, ? 售收入为 R(x)万美元,且 R(x)= ? 7400 40000 ? ? , x ? 40. ? 2 x ? x
(Ⅰ)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式; (Ⅱ)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获得的利润最大?并求 出最大利润.

3. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 (本小题满分 14 分)我校为进行“阳光运动一小时” 活动, 计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S (平方米) 的矩形 AMPN 健身场地.如图,点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上,且 P 点在斜边 BC 上.已知 ?ACB ? 60 ,
?

设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 | AC |? 30 米,AM = x 米,x ? [10,20] .

37k 元, S

再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为

12k 元( k 为正常数) . S

B

N

P

A

M

C

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T ? f (S ) ; (3)如何选取 | AM | ,使总造价 T 最低(不要求求出最低造价) .

(3)? S ?

216 3 ? 12 6 3 , S 216 3 即 S ? 216 3 时等号成立, S

当且仅当 S ?

此时 3x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 ,????14 分 答:选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低. 4. 【2016 高考冲刺卷(6) 【江苏卷】 】如图,某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF, E,F 分别在 AB,BC 边上,OA=5 米,OC=4 米,∠EOF= (1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; (2)求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值.

? ,设 CF=x,AE=y. 4

5. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】如图, OA 是南北方向的一条公路, OB 是北偏东 45

0

方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线 C .为方便游客光,拟过曲线 C 上的某点分别 修建与公路 OA , OB 垂直的两条道路 PM , PN ,且 PM , PN 的造价分别为 5 万元/百米, 40 万元/百米,建立如图所示的直角坐标系 xoy ,则曲线符合函数 y ? x ?

4 2 (1 ? x ? 9) 模型, x2

设 PM ? x , 修建两条道路 PM , PN 的总造价为 f ( x) 万元, 题中所涉及的长度单位均为百米.

y A M P N O
(1)求 f ( x) 解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f ( x) 最低?并求出最低造价.

B

x

则两条道路总造价为 f ( x) ? 5 x ? 40 ?

4 32 ? ? ? 5 ? x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 9 ? . 2 x x ? ?

6. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】某企业参加 A 项目生产的工人为 1000 人,平均每人每 年创造利润 10 万元.根据现实的需要,从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作,每 人每年可以创造利润 10? a ? 提高 0.2 x % (1)若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利润, 则最多调出 多少人参加 B 项目从事售后服务工作? (2)在(1)的条件下,当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 40 % 时,才能使得 A 项目

? ?

3x ? , A 项目余下的工人每人每年创造利润需要 ? 万元( a ? 0 ) 500 ?

中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) 500 (2) 0 ? a ? 5.1


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