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高考数学2-3-2变量之间的相关关系两个变量的线性相关配套训练新人教A版必修



2.3 2.3.1 2.3.2

变量间的相关关系 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关

双基达标 ?限时 20 分钟?
^ ^ ^

1

. (

线 ).











y



b

x



a





A.(0,0)

B.(0, y )

C.( x ,0)

D.( x ,

y)
解析 答案 回归直线方程一定过样本点的中心( x , y ). D
^

2 . 设 有 一 个 回 归 方 程 y = 2 - 1.5x , 当 变 量 x 增 加 1 个 单 位 时 ( ). B.y 平均减少 1.5 个单位

A.y 平均增加 1.5 个单位

C.y 平均增加 2 个单位 D.y 平均减少 2 个单位
^ ^

解析 y′=2-1.5(x+1)=2-1.5x-1.5=y-1.5.即 x 增加一个单位时, y 平均减 少 1.5 个单位. 答案 B

3.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y
则 (

0 1

1 3

2 5
^

3 7 必 过 点

y



x

的 线 性 回 归 方 程 y = bx + a

). A.(1,2) 解析 答案 B.(1.5,0) C.(2,2) D.(1.5,4)

x=
D

1+2+3 1+3+5+7 =1.5, y = =4. 4 4

^

4.正常情况下,年龄在 18 岁到 38 岁的人,体重 y(kg)对身高 x(cm)的回归方程为y=
1

0.72x-58.2,张红同学(20 岁)身高 178 cm,她的体重应该在________kg 左右.
^

解析

用回归方程对身高为 178 cm 的人的体重进行预测, 当 x=178 时, y=0.72×178

-58.2=69.96(kg). 答案 69.96

5.下列说法:①回归方程适用于一切样本和总体; ②回归方程一般都有局限性; ③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围; ④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值. 正确的是________(将你认为正确的序号都填上). 解析 样本或总体具有线性相关关系时,才可求回归方程,而且由回归方程得到的

函数值是近似值,而非精确值,因此回归方程有一定的局限性.所以①④错. 答案 ②③

6.已知每立方米混凝土的水泥用量 x(单位:kg)与 28 天后混凝土的抗压强度 y(单位: N/m2)之间具有线性相关关系.有如下数据:

x y

150

160

170

180

190 68. 1

200 71. 3

210 74. 1

220 77. 4

230 80. 2

240 82. 6

250 86. 4

260 89. 7

56. 58. 61. 64. 9 3 6 6 求两变量间的回归方程. 解 列表: 1 150 56. 9 8 535 2 160 58. 3 9 328 3 170 61. 6 10 472 4 180 64. 6 11 628

i xi yi xiyi

5 190 68. 1 12 939
12

6 200 71. 3 14 260
2

7 210 74. 1 15 561

8 220 77. 4 17 028
12

9 230 80. 2 18 446

10 240 82. 6 19 824

11 250 86. 4 21 600

12 260 89. 7 23 322

x =205, y =72.6,?xi =518 600,?xiyi=182 943
i=1 i=1
^

b=
^

182 943-12×205×72.6 4 347 = ≈0.304, 518 600-12×2052 14 300
^

a= y -b x =72.6-0.304×205=10.28,
^

于是所求的回归方程是y=0.304x+10.28. 综合提高 ?限时 25 分钟?
^

7.工人工资 y(元)与劳动生产率 x(千元)的相关关系的回归直线方程为y=50+80x,下
2

列 ( ).













A.劳动生产率为 1 000 元时,工人工资为 130 元 B.劳动生产率提高 1 000 元时,工人工资平均提高 80 元 C.劳动生产率提高 1 000 元时,工人工资平均提高 130 元 D.当月工资为 250 元时,劳动生产率为 2 000 元 解析 回归直线斜率为 80, 所以 x 每增加 1, y 平均增加 80, 即劳动生产率提高 1 000

元时,工人工资平均提高 80 元. 答案 B

8.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立作了 10 次和 15 次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1、l2,已知两人得到的试验 数据中,变量 x 和 y 的数据的平均值都相等,且分别都是 s、t,那么下列说法正确 的是 ( ).

A.直线 l1 和 l2 一定有公共点(s,t) B.直线 l1 和 l2 相交,但交点不一定是(s,t) C.必有直线 l1∥l2 D.l1 和 l2 必定重合 解析 答案 回归直线一定经过样本中心点( x , y ),即(s,t)点. A

9. 若对某个地区人均工资 x 与该地区人均消费 y 进行调查统计得 y 与 x 具有相关关系,
^

且回归直线方程y=0.7x+2.1(单位:千元),若该地区人均消费水平为 10.5,则估 计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________. 解析 设该地区人均工资收入为 y ,

则 y =0.7 x +2.1, 当 y =10.5 时, x = 10.5 ×100%=87.5%. 12 答案 87.5% 10.5-2.1 =12. 0.7

10.期中考试后,某校高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析,得到数学成绩 y 对
^

总成绩 x 的回归直线方程为y=6+0.4x.由此可以估计: 若两个同学的总成绩相差 50

3

分,则他们的数学成绩大约相差________分. 解析 令两人的总成绩分别为 x1,x2.

则对应的数学成绩估计为
^ ^

y1=6+0.4x1,y2=6+0.4x2,
^ ^

所以|y1-y2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20. 答案 20

11.一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间有一组数据 如下表所示:

x

1.0 8 2.2 5

1.1 2 2.3 7

1.1 9 2.4 0

1.2 8 2.5 5

1.3 6 2.6 4

1.4 8 2.7 5

1.5 9 2.9 2

1.6 8 3.0 3

1.8 0 3.1 4

1.8 7 3.2 6

1.9 8 3.3 6

2.0 7 3.5 0

y

(1)画出散点图; (2)求月总成本 y 与月产量 x 之间的回归方程. 解 (1)以 x 轴表示月产量,以 y 轴表示月总成本,可画出散点图如下图所示.

^

^

^

(2)由散点图,可知 y 与 x 呈线性相关关系.所以设回归方程为y=b x+a.
^ ^

代入公式计算,得b=1.216,a=0.973.
^

所以y=1.216x+0.973. 12.(创新拓展)20 世纪初的一项关于 16 艘轮船的研究显示,轮船的吨位从 192~3 246 吨,船员的数目从 5~32 人,对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得:船员人 数=9.5+0.006 2×轮船吨位. (1)假设两轮船吨位相差 1 000 吨,船员人数平均相差多少? (2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少?对于最大的轮船估计的船员人数是多 少?
^ ^


^ 1

(1)由y=9.5+0.006 2x 可知,当 x1 与 x2 相差 1 000 吨时,船员平均人数相差y

-y2=(9.5+0.006 2x1)-(9.5+0.006 2x2)=0.006 2×1 000≈6(人).
4

(2)当取最小吨位 192 时,预计船员人数为
^

y=9.5+0.006 2×192≈10(人).
当取最大吨位 3 246 时,预计船员人数为
^

y=9.5+0.006 2×3 246≈29(人).

5



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