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函 数 与 方 程7



大开八中 2014 届高三一轮复习学案

(七)







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大开八中 2011 级高三一轮复习学案

函 数 与 方 程
一.知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 一般地,我们把使函数 y=f(x)的值为 (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且 ,则函数 y=f(x)在区间 ?函数 y=f(x)有 . 的实数 x 称为函数 y=f(x)的零点.

f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以我们说零点存在性定理的 条件是充分条件,但并不必要. 二、题型探究 探究一:考察零点的定义及求零点 例 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

**函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象. 例 2 已知函数 f ( x) ?

上有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是 f(x)=0 的根. 2.用二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义:对于区间[a.b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零 点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 (2)给定精确度 ? ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ?确定区间[a.b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度 ? ;?求区间(a,b)的中点 c;?计算 f(c); (I)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (II)若 f(a)f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0 ? (a, c) ) ; (III)若 f(c)f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0 ? (c, b) ) 。 ④ 判断是否达到精确度 ? :若|a-b|< ? ,则得到零点的近似值 a(或 b);否则重复? ? ④ .

1 (m ? 1) x 2 ? mx ? 2m ? 1 8

(1)m 为何值时,函数的图像与 x 轴只有一个公共点? (2)如果函数的一个零点为 2,求 m 的值级函数的另一个零点。 (1)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是________(填序号). ①(-2,-1); ②(-1,0); ③(0,1); ④(1,2). 1 (2)设函数 f(x)= x-ln x (x>0),则 y=f(x)满足________(填序号). 3 1 ? ?1 ? ①在区间? ?e,1?,(1,e)内均有零点;③在区间? e,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点; 1 ? 1 ,1 ,(1,e)内均无零点;④在区间? ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点. ②在区间? ?e ? ?e ? 探究二:判断零点个数级确定零点所在区间 例2 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)

*说明 1.函数的零点不是点:函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也就是函数 y=f(x)的 图象与 x 轴交点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时, 所写的一定是一个数字,而不是一个坐标. 2.零点存在性定理的条件是充分而不必要条件 若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b) 使 f(c)=0,这个 c 就是方程 f(x) =0 的根.这就是零点存在性定理.满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零 点.如图,

-log3|x|的零点个数是________. 例 3 方程 例4

lg0.5 ( x ? 1) ? x 2 ? 2的解的个数

证明函数 f ( x) ? x ?

1 ? 3在(0, ? ?)上恰有两个零点。 x

例5

已知 x1 , x2 是二次方程 f(x)=0 的两个相异实根, x3 , x4 是二次方程 g(x)=0 的两个相

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x 3 1.(2012 年高考(天津理) )函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是 (

异实根,若 g ( x1 ) g ( x2 ) ? 0 ,则( ( A) x1 , x2 相邻, x3 , x4 不相邻 (C) x1 , x2 相邻, x3 , x4 相邻

) (B) x1 , x2 不相邻, x3 , x4 相邻 (D) x1 , x2 不相邻, x3 , x4 不相邻



A.0

B.1

C .2

D.3

2.【2012 高考山东文 3】函数 f ( x) ? (A) [?2, 0)
(0, 2]

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)

探究三 二次函数零点分布问题 例 6 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

(B) (?1, 0)

(0, 2]

(C) [ ?2, 2]

(D) ( ?1, 2]

3.【2012 高考湖北文 3】函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π ]上的零点个数为 A2 B3 C 4 D 5

? x2 ? 1 x ? 1 ? 4.【2012 高考江西文 3】设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? x ?1 ? ?x
5.【2012 高考广东文 4】下列函数为偶函数的是

探究四:用二分法求方程的近似解 例 7 下列函数图像中,不能用二分法求这个函数零点的是

A. y ? sin x

B. y ? x

3

C. y ? e
1 2

x

D. y ? ln

x2 ? 1

6.【2102 高考北京文 5】函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

(A)0 (B)1(C)2 (D)3 例 8 用二分法求函数 f(x)=x3-x-1 在区间[1, 1.5]内的一个零点(精确度为 0.1). 7. 【 2012 高 考 安 徽 文 13 】 若 函 数 f ( x) ? | 2x? a | 的 单 调 递 增 区 间 是 [3,??) , 则

a =________。
8.【2012 高考重庆文 12】函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? 探究五 用函数的零点解决参数问题 e2 例 9 已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x
2

9.【2012 高考浙江文 16】设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

3 x∈ [0,1]时,f(x)=x+1,则 f( ) =_______________。 2

例 10.已知 a 是实数, 函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间[-1, 1]上有零点,求 a 的取值范围.

高考真题

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