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1.1.3四种命题间的相互关系



知识回顾:
四种命题的概念
什么叫互逆命题? 一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的结论和条 件,这两个命题就叫做互逆命题。把其中一个叫做原命题, 则另一个叫做原命题的逆命题。

?

? 什么叫互否命题?
一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的条件的否 定和结论的否定,这两个命题就叫做互否命题。把其中一

个 叫做原命题,则另一个叫做原命题的否命题。 注意:区分否命题和命题的否定(非p )。 什么叫互为逆否命题? 一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的结论的否 定和条件的否定,这两个命题就叫做互为逆否命题。把其中 一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的逆否命题。

?

知识巩固:
?分别写出下列命题。
A 原命题: 若a>b,则a+c>b+c .
逆命题: 若a+c>b+c,则a>b. 否命题: 若a≤b,则a+c≤b+c. 逆否命题: 若a+c≤b+c,则a≤b. C 原命题: 若p则q 逆命题: 若q则p 否命题: 若﹁ p则﹁ q 逆否命题:若﹁ q则﹁p

B 原命题: 若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。
逆命题: 若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。 否命题: 若四边形不是正方形,则 四边形两对角线不垂直。 逆否命题:若四边形两对角线不垂直,则四边形不是正方形。

知识巩固:
?把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 原命题: 若一个数是负数,则它的平方是正数。 逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数。 否命题: 若一个数不是负数,则它的平方不是正数。 逆否命题: 若一个数的平方不是正数,则它不是负数。 2.正方形的四条边相等 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:

若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。 若一个四边形的四条边相等,则它是正方形。 若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。 若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形。

新知探究:

四种命题的关系

1.互逆命题的真假关系
?判断下列命题的真假,并总结规律。
原命题:若a>b,则a+c>b+c 真 逆命题:若a+c>b+c,则a>b 真 原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 真 逆命题:若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。 假 原命题:若a>b,则ac2>bc2 假 逆命题:若ac2>bc2,则a>b 真

假 原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 逆命题:若四边形是平行四边形,则四边形对角线相等。 假

结 论 1

原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。

四种命题的关系

2.互否命题的真假关系
?判断下列否命题的真假,并总结规律。
原命题:若a>b,则a+c>b+c 否命题:若a≤b,则a+c≤b+c

真 真

真 原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 假 否命题:若四边形不是正方形,则四边形两对角线不垂直。
原命题:若a>b,则ac2>bc2 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2

假 真

假 原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 假 否命题:若四边形对角线不相等,则四边形不是平行四边形。

结 论

2

原命题的真假和 否命题的真假没有关 系。

四种命题的关系

3.互为逆否命题的真假关系
?判断下列逆否命题的真假,并总结规律。
原命题:若a>b,则a+c>b+c 逆否命题:若a+c≤b+c,则a≤b

真 真

真 原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题:若四边形两对角线不垂直,则四边形不是正方形。
原命题:若a>b,则ac2>bc2 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b

假 假

假 原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 假 逆否命题:若四边形不是平行四边形,则四边形对角线不相等。

结 论 3

原命题和逆否命 题总是同真同假。

四种命题的关系

4.否命题和逆命题的真假关系
?观察下列命题的真假,并总结规律。
真 否命题:若a≤b,则a+c≤b+c 真 逆命题:若a+c>b+c,则a>b 假 否命题:若四边形是不正方形,则四边形两对角线不垂直。 假 逆命题:若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。 真 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2 真 逆命题:若ac2>bc2,则a>b 假 否命题:若四边形对角线不相等,则四边形不是平行四边形。 假 逆命题:若四边形是平行四边形,则四边形对角线相等。

结 论

4

逆命题和否命题总 是同真同假。

四种命题的关系
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p

互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p

达标检测
分别写出下列命题,并判断真假。
原命题:若x2+y2=0,则xy=0 逆命题: 若xy =0,则x2+y2 =0

否命题: 若x2+y2≠0,则xy≠0 逆否命题: 若xy ≠0,则x2+y2 ≠0
原命题:若x∈A∪B,则x∈ UA∪ U B 逆命题: x∈ UA∪ UB ,x∈A∪B 。 否命题: x?A∪B,x ? UA∪ UB。

真 假 假 真 假 假 假 假

图示

逆否命题:x ? UA∪ UB ,x?A∪B 。

U

A A∩B

B

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设原命题是“当c>0时,若a>b,则ac>bc”, 写出逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假。
原命题: 当c>0时,若a>b,则ac>bc 真

逆命题:

当c>0时,若ac>bc,则a>b


真 真

否命题: 当c>0时,若a≤b,则ac≤bc 逆否命题: 当c>0时,若ac≤bc,则a≤b

在下列横线上,填写”互逆””互否””互为逆否”

(1)命题:”若q则┐p”与命题”若┐q则p”
(2)命题:”若┐p则q”与命题”若q则┐p”

互否 互逆

(3)命题:”若┐q则p”与命题”若┐p则q”

互为逆否

考点突破
考点一

四种命题真假的判断

对于命题在判断它的真假性时,如果直接判 断有难度,可以利用原命题与逆否命题、逆 命题与否命题的等价性,先判断等价命题的 真假,由等价命题的真假再确定原来命题的 真假.

下列命题中正确的是( ) ①“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命 题; ②“正三角形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆 否命题; ④“若 x- 2是有理数, 则 x 是无理数”的逆 否命题.

例1

A.①②③④ C.②③④

B.①③④ D.①④

【思路点拨】 → 判断其真假

确定条件和结论 → 所求命题

【解析】

①原命题的否命题为“若x2+y2=

0,则x,y全为零”.真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似,

则这两个三角形是正三角形”.假命题
③原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实 根,则m≤0”. ∵方程无实根, ∴判别式Δ=1+4m<0,

1 ∴m<- ≤0.真命题 4 ④原命题的逆否命题为“若 x 不是无理数,则 x- 2不是有理数”. ∵x 不是无理数,∴x 是有理数. 又 2是无理数, ∴x- 2是无理数,不是有理数.真命题 故正确的命题为①③④,故选 B.

等价命题的应用 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为 逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否 命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题. 例2 判断命题“已知 a , x 为实数,若关于 x 的不等 式 x2+ (2a + 1)x + a2+ 2≤0 的解集非空,则 a≥1”的逆 否命题的真假.
【思路点拨】

【解】 法一:原命题的逆否命题: 已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式 x2 + (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解集为空集.判断 其真假如下: 抛物线 y = x2 + (2a + 1)x + a2 + 2 的图象开口向 上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. 因为a<1,所以4a-7<0. 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象与x轴 无交点. ??

所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的 解集为空集. 故原命题的逆否命题为真. 法二:先判断原命题的真假: 2 因为 a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x +(2a +1)x+a2+2≤0 的解集非空, 所以 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即 4a-7≥0, 7 7 解得 a≥ .因为 a≥ , 4 4 所以 a≥1,所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价, 所以逆否命题为真.

方法感悟 一个命题与它的逆否命题同真同假,所以当一 个命题的真假不易判断时,往往可以判断原命 题的逆否命题的真假,从而判断出原命题的真 假.



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