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2013届高三理科数学(北师大版)一轮复习课时作业(38)空间点、直线、平面之间的位置关系



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课时作业(三十八) [第 38 讲

空间点、直线、平面之间的位置关系]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.下面列举的图形一定是平面图形的是( ) A.有一个角是直角的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.

有三个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 2.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分为( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 3.[2011· 浙江卷] 若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 4.[2011· 江西重点中学模拟] 已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么直线 c 一定( ) A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 能力提升 5.四面体 S-ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点,则 异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( )

图 K38-1 A.90° B.60° C.45° D.30° 6. [2011· 湖北重点中学二联] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 为棱 AB 的中点, M 则异面直线 DM 与 D1B 所成角的余弦值为( ) 15 15 A. B. 6 5 15 15 C. D. 3 10 7.[2011· 四川卷] l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 8.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有( )
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①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直线不可能共面;④其中必有两条 在同一平面内. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 9.图 K38-2 是正方体或正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一 ... 个图是( )

图 K38-2 10.正方体各面所在的平面将空间分成________部分.

图 K38-3 11.[2011· 银川一中五测] 如图 K38-3,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G, H 分别为 DE,AF 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 P-DEF,则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为________. 12.以下四个命题中,正确命题的序号是________. ①不共面的四点中,任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 13.下列命题中正确的是________(填序号). ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共 线; ②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面. 14.(10 分)如图 K38-4,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB, DF 的中点. (1)若 CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长; (2)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线.

图 K38-4

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15.(13 分)已知:如图 K38-5,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 上的点,F、G AE AH CF CG 分别是边 BC、CD 上的点,且 = =λ, = =μ(0<λ、μ<1),试判断 FE、GH 与 AC 的位置 AB AD CB CD 关系.

图 K38-5

难点突破 16.(12 分)已知:在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° ,求证:ABCD 是矩形.

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课时作业(三十八) 【基础热身】 1.D [解析] 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻 折;对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中,某个瞬间出现了有 三个直角的空间四边形. 2.C [解析] 垂直于交线的截面如图,把空间分为 7 部分.

3.B [解析] 在 α 内存在直线与 l 相交,所以 A 不正确;若 α 内存在直线与 l 平行,又∵l?α, 则有 l∥α,与题设相矛盾,∴B 正确,C 不正确;在 α 内不过 l 与 α 交点的直线与 l 异面,D 不正确. 4.C [解析] 若 c 与 a,b 都不相交,则与 a,b 都平行,根据公理 4,则 a∥b,与 a,b 异面 矛盾. 【能力提升】 a 5.C [解析] 取 SB 的中点 G,连接 GE,GF,则 GE=GF= ,∠EFG 为异面直线 EF 与 SA 2 2 所成的角,EF= a,在△EFG 中,∠EFG=45° . 2

6.B [解析] 如图,取 CD 的中点 N,连接 BN,D1N,则 BN∥DM,∠D1BN 就是直线 DM 与 5 D1B 所成角, 设正方体棱长为 1, 在△D1BN 中, 1= 3, BD BN=D1N= , 由余弦定理得 cos∠D1BN 2 5 5 ? 3?2+? ?2-? ?2 ?2? ?2? 15 = = . 5 5 2× 3× 2

7.B [解析] 对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱三条侧棱 所在直线,而不共面;对于 D,直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面. 所以选 B. 8.D [解析] (1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱),也可 能不共点(如正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的棱 AA1,AB,BC),故结论①不正确,也说明必有结论② 不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就 导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同一个平面内,结论③正确; 三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任意两条都异面(如正方体 ABCD- A1B1C1D1 中的棱 AA1,BC,D1C1),故结论④不正确.正确选项 D. 9.D [解析] 对于 A,因为 PS∥MN∥QR,所以图中的四点是共面的;对于 B,如下图,N 也 是棱的中点,且 R 在平面 PQNS 上,故 P、Q、R、S 共面;对于 C,PQ∥MN∥SR,P、Q、R、S 共面;对于 D,容易看出直线 PS 和 RQ 既不平行也不相交,所以 P、Q、R、S 四点不共面.

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10.27 [解析] 分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分. 2 11. [解析] 折成的四面体是正四面体,画出立体图形,根据中点找平行线,把所求的异面直 3 线所成角转化到一个三角形的内角来计算.如图,连接 HE,取 HE 的中点 K,连接 GK,则 GK∥ DH,故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或者其补角.设这个正四面体的棱长为 2,在△PGK 中, 3 7 ? 3?2+? ?2-? ?2 ?2? ?2? 2 3 7 3 PG= 3,GK= ,PK= 12+? ?2= ,故 cos∠PGK= = ,即异面直线 2 3 ?2? 2 3 2× 3× 2 2 PG 与 DH 所成的角的余弦值是 . 3

12.① [解析] 可以用反证法证明,假设有三点共线,则由直线和直线外一点确定一个平面, 得这四点共面;②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确; ③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上. 13.①② [解析] 在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 内,又在平面 α 内,所以这三点 必在平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、R 三点共线,故①正确;在②中,因为 a∥b,所以 a 与 b 确定一个平面 α,而 l 上有 A、B 两点在该平面上,所以 l?α,即 a、b、l 三线共面于 α;同理 a、c、 l 三线也共面,不妨设为 β,而 α、β 有两条公共的直线 a、l,∴α 与 β 重合,即这些直线共面,故② 正确;在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定 7 个平面,故③错. 14.[解答] (1)取 CD 的中点 G,连接 MG,NG.因为四边形 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2,NG= 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF,平面 ABCD∩平面 DCEF=CD,所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG, 所以 MN= MG2+NG2= 6. (2)证明:假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB?平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN, 由已知,两正方形不共面,故 AB?平面 DCEF. 又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF.而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB∥EN. 又 AB∥CD∥EF, 所以 EN∥EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立. 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线. AE AH CF CG 15.[解答] ∵ = =λ, = =μ, AB AD CB CD ∴EH∥BD,FG∥BD. ∴EH∥FG,EH=λ· BD,FG=μ· BD, ①当 λ=μ 时,HG∥AC,EH∥FG,且 EH=FG,∴四边形 EFGH 是平行四边形,∴EF∥GH. 由公理 4 知,EF∥GH∥AC. ②当 λ≠μ 时,EH∥FG 但 EH≠FG, ∴四边形 EFGH 是梯形且 EH、FG 为上、下两底边,∴EF、GH 为梯形的两腰,它们必交于点
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P,P∈直线 EF,P∈直线 HG,又 EF?平面 ABC,HG?平面 ADC, ∴P∈平面 ABC,P∈平面 ADC,∴P 是平面 ABC 和平面 ADC 的公共点. 又∵平面 ABC∩平面 ADC=AC,∴P∈直线 AC, ∴三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 综上所述,当 λ=μ 时,三条直线 EF、GH、AC 互相平行; 当 λ≠μ 时,三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 【难点突破】 16.[解答] 证明:由已知,若证得四边形 ABCD 是平面图形,则四边形 ABCD 是矩形, 下面用反证法证明:A、B、C、D 四点共面. 假设 A、B、C、D 四点不共面,又设 B、C、D 确定的平面为 α,则 A?α.作 AA1⊥α,垂足为 A1, 连接 A1B、A1D,由已知和三垂线定理的逆定理,可得:∠CBA1=∠CDA1=90° ,从而∠DA1B=90° . 2 2 2 又 A1B<AB,A1D<AD,A1B +A1D =BD , 可得:BD2<AB2+AD2?∠DAB≠90° ,这与∠DAB=90° 矛盾. 所以,A、B、C、D 四点共面,从而四边形 ABCD 是矩形.

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