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山东省潍坊市寿光市现代中学2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)



2014-2015 学年山东省潍坊市寿光市现代中学高三 (上)10 月月考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U={﹣2, ﹣1, 0, 1, 2, 3}, M={0, 1, 2}, N={0, 1, 2, 3}, 则 (CUM) ∩N=( A

.{0,1,2} B.{﹣2,﹣1,3} C.{0,3} D.{3} )

2.设 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 3.下列说法正确的是(
2

,则(

)

)
2

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B.若命题 p:?x∈R,x ﹣2x﹣1>0,则命题?p:?x∈R,x ﹣2x﹣1<0 C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 2 D.“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 4.函数 A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D. (0,4) 5.设 a,b∈R,那么“ >1”是“a>b>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设函数 f(x)=xsinx+cosx 的图象在点(t,f(t) )处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t) 的部分图象为( ) ) 的值域是( )

A.

B.

C.

D.
2

7.若 f(x)=﹣ x +bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A.[﹣1,+∞) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1] D. (﹣∞,﹣1)

)

8.已知 tanα=﹣ ,则 A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3 9.函数 f(x)=2 ﹣ A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2)
x

的值为(

)

的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(

)

10.设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值

为 12,则 + 的最小值为( A. B. C.6 D.5

)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.计算. =__________.

12.设

(其中 e 为自然对数的底数) ,则

的值

为__________. 13.不等式 ln(﹣x)+x ﹣1>0 解集是__________. 14.若函数 f(x) (x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,则 f( )+f( )=__________.
2

15.已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的 图象如图所示,给出关于 f(x)的下列命题: x ﹣1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1 ①函数 y=f(x)在 x=2 取到极小值; ②函数 f(x)在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函数; ③当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点; ④如果当 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最小值为 0. 其中所有正确命题是__________(写出正确命题的序号) .

三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分. 16. 设不等式|x﹣ |> 的解集为 A, 函数 g (x) = 的定义域为集合 B. 已知 α: x∈A∩B,

β:x 满足 2x+p≤0.且 α 是 β 的充分不必要条件,求实数 p 的取值范围. 17. 记f (x) =ax ﹣bx+c, 若不等式 f (x) >0 的解集为 (1, 3) , 试解关于 t 的不等式 f (2 +8) 2t <f(2+2 ) . 18.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) ,C(3cosα,3sinα) . (1)若 α∈(﹣π,0) ,且| (2)若 ⊥ ,求
x 2 t

|=|

|,求角 α 的大小; 的值.

19.已知 f(x)=m+loga (a>0,a≠1)的图象过点(8,2) 、 (1,﹣1) (1)求 f(x)的解析式. 2 (2)令 g(x)=f(x )﹣f(x﹣1) ,求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值. 20. (13 分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下的工程只需要建两 端桥墩之间的桥面和桥墩. 经预测一个桥墩的工程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两墩 之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不 考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 21. (14 分)已知函数 f(x)=axlnx 图象上点(e,f(e) )处的切线方程与直线 y=2x 平行 2 (其中 e=2.71828…) ,g(x)=x ﹣tx﹣2. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (Ⅲ)对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围.

2014-2015 学年山东省潍坊市寿光市现代中学高三(上) 10 月月考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U={﹣2, ﹣1, 0, 1, 2, 3}, M={0, 1, 2}, N={0, 1, 2, 3}, 则 (CUM) ∩N=( ) A.{0,1,2} B.{﹣2,﹣1,3} C.{0,3} D.{3} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:先求出 CUM,再求(CUM)∩N. 解答: 解:全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},M={0,1,2},N={0,1,2,3}, 所以 CUM={﹣2,﹣1,3}, (CUM)∩N={3} 故选 D. 点评:本题考查集合的简单、基本运算,属于基础题.

2.设

,则(

)

A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 考点:不等关系与不等式;有理数指数幂的化简求值. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据指数函数,对数函数,幂函数的性质,确定 a,b,c 的取值范围即可判断大小. 解答: 解: , , ,

∴a<0,0<b<1,c>1, 即 c>b>a, 故选:D. 点评:本题主要考查函数值的大小比较,利用指数函数,对数函数和幂函数的性质确定 a, b,c 的取值范围是解决本题的关键,比较基础. 3.下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B.若命题 p:?x∈R,x ﹣2x﹣1>0,则命题?p:?x∈R,x ﹣2x﹣1<0 C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 2 D.“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 考点:四种命题. 专题:简易逻辑. 分析:A,写出它的否命题,即可判定真假;

B,写出命题 p 的否定¬p; C,判定原命题的真假性,即可得出它的逆否命题的真假性; D,由“x=﹣1”得出“x ﹣5x﹣6=0”成立,判定命题是否正确. 2 解答: 解:对于 A,否命题是“若 x ≠1,则 x≠1”,∴A 错误; 2 对于 B,命题 p 的否定¬p:?x∈R,x ﹣2x﹣1≤0,∴B 错误; 对于 C,命题“若 x=y,则 sinx=siny”是真命题,∴它的逆否命题是真命题,∴C 正确; 对于 D,“x=﹣1”时,“x ﹣5x﹣6=0”,∴是充分条件,∴D 错误; 故选:C. 点评:本题通过命题真假的判定,考查了四种命题之间的关系,也考查了一定的逻辑思维能 力,是基础题. 4.函数 A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D. (0,4) 考点:函数的值域. 专题:压轴题. 分析:本题可以由 4 的范围入手,逐步扩充出 解答: 解:∵4 >0,∴ 故选 C. 点评:指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的值域为(0,+∞) . 5.设 a,b∈R,那么“ >1”是“a>b>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:不等式的解法及应用. 分析:a>b>0,可推出 ,而当 ,时,例如取 a=﹣2,b=﹣1,显然不能推出 a> )
x x x 2 2

的值域是(

)

的范围. .

b>0,由充要条件的定义可得答案. 解答: 解:由不等式的性质,a>b>0,可推出 而当 故 ,

,时,例如取 a=﹣2,b=﹣1,显然不能推出 a>b>0. 是 a>b>0 的必要不充分条件.

故选 B.

点评:本题为充要条件的判断,正确利用不等式的性质是解决问题的关键,属基础题. 6.设函数 f(x)=xsinx+cosx 的图象在点(t,f(t) )处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t) 的部分图象为( )

A.

B.

C.

D. 考点:利用导数研究函数的单调性. 分析:先对函数 f(x)进行求导运算,根据在点(t,f(t) )处切线的斜率为在点(t,f(t) ) 处的导数值,可得答案. 解答: 解:∵f(x)=xsinx+cosx ' ' ' ∴f (x)=(xsinx) +(cosx) ' ' ' =x(sinx) +(x) sinx+(cosx) =xcosx+sinx﹣sinx =xcosx ∴k=g(t)=tcost 根据 y=cosx 的图象可知 g(t)应该为奇函数,且当 x>0 时 g(t)>0 故选 B. 点评:本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系.属基础题.
2

7.若 f(x)=﹣ x +bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A.[﹣1,+∞) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1] D. (﹣∞,﹣1)

)

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:先对函数进行求导,根据导函数小于 0 时原函数单调递减即可得到答案. 解答: 解:由题意可知 ,在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立,

即 b<x(x+2)在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立, 由于 y=x(x+2)在(﹣1,+∞)上是增函数且 y(﹣1)=﹣1,所以 b≤﹣1, 故选 C 点评: 本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题. 即导数大于 0 时原函数单调递增, 当导数小于 0 时原函数单调递减.

8.已知 tanα=﹣ ,则

的值为(

)

A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3 考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:原式利用同角三角函数间的基本关系变形后,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵tanα=﹣ ,

∴原式=

=

=

=3.

故选:C. 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
x

9.函数 f(x)=2 ﹣

的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(

)

A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2) 考点:函数零点的判定定理. 专题:计算题. 分析:由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0,解不等式求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0,解得 0<a<3, 故实数 a 的取值范围是(0,3) , 故选 C. 点评:本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题.

10.设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值

为 12,则 + 的最小值为( A. B.

)

C.6 D.5 考点:简单线性规划. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:画出不等式组表示的平面区域,求出直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4, 6)时,观察当目标函数过(4,6)时,取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,要求 + 的最小值,先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值. 解答: 解:不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 = +( )≥ = =( ) .

,当且仅当 a=b= ,取最小值

故选 B.

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 要求能准确地画 出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.计算.

=



考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简所给的式子,可得结果. 解答: 解: ∵ = =

=

=



故答案为:



点评:本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系,属于基础题.

12.设

(其中 e 为自然对数的底数) ,则

的值

为 .

考点:定积分. 专题:计算题. 2 2 分析:根据定积分的运算法则进行计算,将区间(0,e )拆为(0,1) 、 (1,e )两个区间, 然后进行计算;

解答: 解:∵



∴则 = = +2= , 故答案为 . 点评:此题主要考查定积分的计算,这是高考新增的内容,同学们要多加练习. 13.不等式 ln(﹣x)+x ﹣1>0 解集是(﹣∞,﹣1) .
2

+

=

+

=

+

考点:指、对数不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 2 2 分析:把已知不等式变形,得到 ln(﹣x)>﹣x +1,画出函数 y=ln(﹣x)与 y=﹣x +1 的 图象,数形结合得答案. 2 2 解答: 解:由 ln(﹣x)+x ﹣1>0,得 ln(﹣x)>﹣x +1, 2 画出函数 y=ln(﹣x)与 y=﹣x +1 的图象如图,

由图可知,不等式 ln(﹣x)+x ﹣1>0 解集是(﹣∞,﹣1) . 故答案为: (﹣∞,﹣1) . 点评:本题考查对数不等式的解法,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题. 14.若函数 f(x) (x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,则 f( )+f( )= .

2

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:通过函数的奇偶性以及函数的周期性,化简所求表达式,通过分段函数求解即可. 解答: 解:函数 f(x) (x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,

则 f(

)+f(



=f(8﹣ )+f(8﹣ ) =f(﹣ )+f(﹣ ) =﹣f( )﹣f( ) = = = .

故答案为:



点评:本题考查函数的值的求法,分段函数的应用,考查计算能力. 15.已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的 图象如图所示,给出关于 f(x)的下列命题: x ﹣1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1 ①函数 y=f(x)在 x=2 取到极小值; ②函数 f(x)在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函数; ③当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点; ④如果当 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最小值为 0. 其中所有正确命题是①③④(写出正确命题的序号) .

考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:由导数图象可得当﹣1<x<0,2<x<4 时,f′(x)>0,此时函数单调递增, 当 0<x<2,4<x<5 时,f′(x)<0,此时函数单调递减,根据函数的单调性和极值,最值 之间的关系进行判断. 解答: 解:由图象可知当﹣1<x<0,2<x<4 时,f′(x)>0,此时函数单调递增, 当 0<x<2,4<x<5 时,f′(x)<0,此时函数单调递减, 所以当 x=0 或 x=4 时,函数取得极大值,当 x=2 时,函数取得极小值. 所以①正确. ②函数在[0,2]上单调递减,所以②错误. ③因为 x=0 或 x=4 时,函数取得极大值,当 x=2 时,函数取得极小值. 所以 f(0)=2,f(4)=2,f(2)=0, 因为 f(﹣1)=f(5)=1,所以由函数图象可知当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零 点;正确. ④因为函数在[﹣1,0]上单调递增,且函数的最大值为 2, 所以要使当 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2,则 t≥0 即可,所以 t 的最小值为 0,所以④ 正确. 故答案为:①③④. 点评:本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系,考查学生的推理能力,利用数形结合 是解决此类问题的基本方法. 三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分. 16. 设不等式|x﹣ |> 的解集为 A, 函数 g (x) = 的定义域为集合 B. 已知 α: x∈A∩B,

β:x 满足 2x+p≤0.且 α 是 β 的充分不必要条件,求实数 p 的取值范围.

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:先求出关于 p,q 的 x 的范围,设集合 C={x|2x+p≤0},求出 x 的范围,结合 α 是 β 的 充分不必要条件,得到(A∩B)?C,解不等式组即可. 解答: 解:解不等式|x﹣ |> 得:x>2 或 x<﹣1, ∴集合 A=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) , ∵函数 g(x)= 的定义域为集合 B,

∴ ﹣1≥0,解得:0<x≤3, ∴集合 B=(0,3], ∴A∩B=(2,3]; 设集合 C={x|2x+p≤0},则 x∈(﹣∞,﹣ ], ∵α 是 β 的充分不必要条件, ∴(A∩B)?C, 只需满足 3≤﹣ ?p≤﹣6, ∴实数 p 的范围是(﹣∞,﹣6]. 点评:本题考查了充分条件的判断与集合的关系,训练了解不等式的能力,解题时要把握推 理方向,准确运算. 17. 记f (x) =ax ﹣bx+c, 若不等式 f (x) >0 的解集为 (1, 3) , 试解关于 t 的不等式 f (2 +8) 2t <f(2+2 ) . 考点:一元二次不等式的解法. 专题:转化思想;不等式的解法及应用. 分析:根据二次函数与对应不等式的关系,得出 f(x)的单调性与单调区间,再利用 f(x) 的单调性 t 2t t 2t 把不等式 f(2 +8)<f(2+2 )转化为 8+2 >2+2 ,求出该不等式的解集即可. 解答: 解:根据题意,得 f(x)=a(x﹣x1) (x﹣x2)=a(x﹣1) (x﹣3) ,且 a<0, 所以二次函数 f(x)在区间[2,+∞)上是减函数, 又因为 8+2 >8,2+2 ≥2, 所以,由二次函数的单调性得, t 2t 不等式 f(2 +8)<f(2+2 )等价于 t 2t 8+2 >2+2 , 2t t 即 2 ﹣2 ﹣6<0, t 解得 2 <3, 即 t<log23; 所以该不等式的解集为{t|t<log23}.
t 2t 2 t

点评:本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了转化思想的应用问题,是中 档题目. 18.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) ,C(3cosα,3sinα) . (1)若 α∈(﹣π,0) ,且| (2)若 ⊥ ,求 |=| |,求角 α 的大小; 的值.

考点:平面向量数量积的运算;向量的模;弦切互化;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题:计算题. 分析: (1)利用点的坐标求出向量的坐标,根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函数 的关系,据角的范围求出角. (2)利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角 函数,利用三角函数的平方关系求出值. 解答: 解: (1) , ∵ ∴25﹣24cosα=25﹣24sinα ∴sinα=cosα 又 α∈(﹣π,0) , ∴α= (2)∵ . ∴ ,

即(3cosα﹣4)×3cosα+3sinα×(3sinα﹣4)=0 解得 所以 1+2 ∴ 故 = =2sinαcosα=

点评:本题考查向量坐标的求法、向量模的坐标公式、由三角函数值求角、三角函数中的二 倍角公式、平方关系. 19.已知 f(x)=m+loga (a>0,a≠1)的图象过点(8,2) 、 (1,﹣1) (1)求 f(x)的解析式. 2 (2)令 g(x)=f(x )﹣f(x﹣1) ,求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值.
x

考点:基本不等式在最值问题中的应用;对数的运算性质;对数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用对数函数经过的特殊点,求出函数的解析式. (2)化简函数的解析式,构造新函数,利用基本不等式求解函数的最小值即可. x 解答: 解: (1)f(x)=m+loga (a>0,a≠1)的图象过点(8,2) 、得 2=m+loga8,…① x f(x)=m+loga (a>0,a≠1)的图象过点(1,﹣1) ,﹣1=m+loga1…② 解得 m=﹣1,a=2. ∴f(x)=﹣1+log2x. (2)g(x)=﹣1+log2x +1﹣log2(x﹣1)=log2
2



令 h(x)=

=(x﹣1)+

+2≥2

+2=4,所以当且仅当 x﹣1=



即 x=2 时,g(x)min=log24=2. 点评:本题考查的知识点是函数解析式的求法,函数的单调性,函数的最值以及基本不等式 求解最值的应用,难度中档. 20. (13 分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下的工程只需要建两 端桥墩之间的桥面和桥墩. 经预测一个桥墩的工程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两墩 之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不 考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 考点:根据实际问题选择函数类型;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:应用题. 分析: (Ⅰ)设出相邻桥墩间距 x 米,需建桥墩 个,根据题意余下工程的费用 y

为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到 y 的解析式; (Ⅱ)把 m=640 米代入到 y 的解析式中并求出 y′令其等于 0,然后讨论函数的增减性判断 函数的最小值时 m 的值代入 中求出桥墩个数即可. 个

解答: 解: (Ⅰ)相邻桥墩间距 x 米,需建桥墩 则 (Ⅱ)当 m=640 米时,y=f(x)=640×( + )+1024

f′(x)=640×(﹣

+

)=640×

∵f′(2 )=0 且 x>2 时, f′(x)>0,f(x)单调递增, 0<x<2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减 6 ∴f(x)最小=f(x)极小=f(2 )=8704 ∴需新建桥墩 个.
6

6

6

点评: 考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力, 会利用导数研究函数的增减性以及求 函数最值的能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=axlnx 图象上点(e,f(e) )处的切线方程与直线 y=2x 平行 2 (其中 e=2.71828…) ,g(x)=x ﹣tx﹣2. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (Ⅲ)对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最 值. 专题:综合题;压轴题. 分析: (I)根据切线方程与直线 y=2x 平行得到切线的斜率为 2,即可得到 f'(e)=2,求出 函数的导函数把 f'(e)=2 代入即可求出 a 的值得到函数的解析式; (II)令 f′(x)=0 求出 x 的值为 ,由函数定义域 x∈(0,+∞) ,所以在(0, )和( , +∞)上讨论函数的增减性,分两种情况:当 属于[n,n+2]得到函数的最小值为 f( ) ;当 ≤n≤n+2 时,根据函数为单调增得到函数的最小值为 f(n) ,求出值即可; (III)把 g(x)的解析式代入不等式 3f(x)≥g(x)中解出 = ,然后令 h(x)

,求出 h′(x)=0 时 x 的值,然后在定义域(0,+∞)上分区间讨论函数的

增减性,求出 h(x)的最大值,t 要大于等于 h(x)的最大值即为不等数恒成立,即可求出 t 的取值范围. 解答: 解: (I)由点(e,f(e) )处的切线方程与直线 2x﹣y=0 平行, 得该切线斜率为 2,即 f'(e)=2. 又∵f'(x)=a(lnx+1) ,令 a(lne+1)=2,a=1, 所以 f(x)=xlnx. (II)由(I)知 f'(x)=lnx+1, 显然 f'(x)=0 时 x=e 所以函数 当
﹣1



时 f'(x)<0, 上单调递减.

时 f'(x)>0,

所以函数 f(x)在 ① ② 时,

上单调递增, ;

时,函数 f(x)在[n,n+2]上单调递增,

因此 f(x)min=f(n)=nlnn;

所以



(III)对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立, 2 又 g(x)=x ﹣tx﹣2, 2 ∴3xlnx≥x ﹣tx﹣2, 即 设 . ,

则 由 h'(x)=0 得 x=1 或 x=2, ∴x∈(0,1) ,h'(x)>0,h(x)单调递增, x∈(1,2) ,h'(x)>0,h(x)单调递减, x∈(2,e) ,h'(x)>0,h(x)单调递增,



∴h(x)极大值=h(1)=﹣1,且 h(e)=e﹣3﹣2e <﹣1, 所以 h(x)max=h(1)=﹣1. 因为对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立, ∴t≥h(x)max=﹣1. 故实数 t 的取值范围为[﹣1,+∞) . 点评: 考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程, 会利用导数求闭区间上函数的最值, 掌握不等式恒成立时所取的条件.此题是一道综合题.

﹣1



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