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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第6章 第6节 数学归纳法及其应用课件 理 苏教版



固 基 础 · 自 主 落 实

第六节

数学归纳法及其应用(理)

启 智 慧 · 高 考 研 析

提 知 能 · 典 例 探 究

课 后 限 时 自 测

内容 考纲传真 数学归纳法的原理 数学归纳法的简单应 用 √

要求 A

B C



1.数学归纳法证明有关自然数命题的流程图 验证当 n 取 第一个值 n0 (例如 n0=1,2 等)时命题成立 ↓ 假设 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论成立,证明当 n=k+1 时, 命题也成立 ↓ 命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立

2.数学归纳法两步骤间的内在联系 数学归纳法中的步骤(1)是命题论证的基础,步骤(2)是判断命 题的正确性能否递推下去的保证,两者缺一不可.

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n=1 时结论成 立.( )

(2) 所 有 与正 整 数有 关 的数 学 命题 都 必 须用 数 学归 纳 法证 明.( )

(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n=k+1 时,项数都增加了一项.( )

(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+?+2n+2=2n+3-1”, 验证 n=1 时,左边式子应为 1+2+22+23.( )

[ 解析]

(1)根据题中 n 的范围确定 n 的初始值.故(1)错误.

(2)和正整数有关的命题也可以不用数学归纳法证明.故(2)错 误. (3)由 n=k 到 n=k+1 增加的项数不能确定,要由具体题目确 定.故(3)错误. (4)当 n=1 时,指数最大为 1+2=3,因此左边为 1+2+22+ 23.故(4)正确.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

1 2. (教材改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为2n(n -3)条时,第一步检验 n=________.

[解析] 三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验 n= 3.
[答案] 3

1 3.在数列{an}中,a1=3,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3, a4,猜想 an 的表达式为________.

1 [解析] 由 a1=3,Sn=n(2n-1)an, 1 1 得 S2=2(2×2-1)a2,即 a1+a2=6a2,即 a2=15= . 3×5 1 1 由 S3=3(2×3-1)a3,得 a3=35= . 5×7 1 故猜想 an= . ?2n-1??2n+1?
1 [答案] an= ?2n-1??2n+1?

1 1 1 1 4.(2014· 扬州模拟)设 f(n)=1+2+3+4+?+ (n∈N*), 3n-1 则 f(n+1)-f(n)=________.

1 1 1 1 [解析] ∵f(n)=1+2+3+4+?+ , 3n-1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n+1)=1+2+3+?+ + + + . ∴ f(n + 3n-1 3n 3n+1 3n+2 1 1 1 1)-f(n)=3n+ + . 3n+1 3n+2
[答案] 1 1 1 3n+3n+1+3n+2

1 1 1 5.用数学归纳法证明:“1+2+3+?+ n <n(n>1)”, 2 -1 由 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项的项 数是________.
[解析] 1 由 n=k(k>1)到 n=k+1 时, 不等式左端增加的项为2k

1 1 + + k +?+ k+1 共增加(2k 1-1)-(2k-1)=2k 项. 2 +1 2 -1
[答案] 2k

考向 1

用数学归纳法证明等式

sin x 【典例 1】 (2014· 江苏高考)已知函数 f0(x)= x (x>0), 设 fn(x) 为 fn-1(x)的导数,n∈N*. (1)求
?π? π ?π? 2f1?2?+2f2?2?的值; ? ? ? ?
*

(2)证明:对任意的 n∈N ,等式

?π? π ?π? nfn-1?4?+4fn?4?= ? ? ? ?

2 2 都成立.

[解] (1)由已知,得 于是 2sin x x3 , 所以 故

?sin x? cos ? ? f1(x)=f′0(x)= x ′= x ? ?

x sin x - x2 , x 2cos x - x2 +

?cos x? ?sin x? sin ? ? ? ? f2(x) = f′1(x) = x ′ - x2 ′ =- x ? ? ? ?

?π? ?π? 4 2 16 ? ? ? ? f1 2 =-π2,f2 2 =-π+ π3 , ? ? ? ?

?π? π ?π? 2f1?2?+2f2?2?=-1. ? ? ? ?

(2)证明:由已知,得 xf0(x)=sin x,等式两边分别对 x 求导, 得 f0(x)+xf′0(x)=cos x, 即 f0(x)+xf1(x)=cos
? π? ? x=sin?x+2? ?,类似可得 ? ?

2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π), 3f2(x)+xf3(x)=-cos
? 3π? ? x=sin?x+ 2 ? ?, ? ?

4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).
? nπ? ? 下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin?x+ 2 ? ?对所有 ? ?

的 x∈N*都成立.

①当 n=1 时,由上可知等式成立. ②假设当 n=k 时等式成立,即
? kπ ? kfk-1(x)+xfk(x)=sin?x+ 2 ?. ? ?

因为[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kf′k-1(x)+fk(x)+xf′k(x)=(k+1)fk(x) +xfx+1(x),
? ? ? ? kπ ? ? kπ? ? kπ? ?k+1?π? ? ? ?x+ ?′=sin?x+ ?sin?x+ ??′=cos?x+ ?· , ? 2 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?k+1?π? ? ? 所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin?x+ ?. 2 ? ?

因此当 n=k+1 时,等式也成立.

综合①②可知等式 都成立.

? nπ? nfn-1(x)+xfn(x)=sin?x+ 2 ?对所有的 ? ?

n∈N*

?π? π ?π? π 令 x=4,可得 nfn-1?4?+4fn?4? ? ? ? ? ?π nπ? =sin?4+ 2 ?(n∈N*) ? ? ? ?π? π ?π?? 所以?nfn-1?4?+4fn?4??= ? ? ? ?? ?

2 * ( n ∈ N ). 2

【规律方法】 1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两 边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值 n0 是多少. 2.由 n=k 时命题成立,推出 n=k+1 时等式成立,一要找出 等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设, 进行合理变形,正确写出证明过程,不利用归纳假设的证明,就不 是数学归纳法.

【变式训练 1】

1 1 1 设 f(n)=1+2+3+?+n(n∈N*).

求证:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).

[ 证明]

(1)当 n=2 时,左边=f(1)=1,

? 1 ? ? 右边=2?1+2-1? ?=1, ? ?

左边=右边,等式成立.

(2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立,即 f(1)+f(2)+?+f(k-1)=k[ f (k)-1] , 那么,当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k)=k[ f (k)-1] +f(k)
? 1 ? ? ? =(k+1)f(k)-k=(k+1)?f?k+1?- ?-k k + 1 ? ?

=(k+1)f(k+1)-(k+1) =(k+1)[ f (k+1)-1] ,

∴当 n=k+1 时结论仍然成立. 由(1)(2)可知:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[ f (n)-1] (n≥2,n∈ N*).

考向 2

用数学归纳法证明不等式

【典例 2】 (2014· 安徽高考)设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*. (1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px. p-1 c 1-p (2)数列{an}满足 a1>c ,an+1= a+ a . p n p n 证明:an>an+1>c .

[ 解]

(1)用数学归纳法证明.

①当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ②假设当 p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. 则当 p=k+1 时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)· (1+kx)=1 +(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. 所以当 p=k+1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,当 x>-1,x≠0 时,对一切整数 p>1,不等式 (1+x)p>1+px 均成立.

(2)法一:先用数学归纳法证明 an>c . ①当 n=1 时,由题设知 a1>c 成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式 ak>c 成立. p-1 c 1-p 由 an+1= an+ an 易知 an>0,n∈N*. p p
? ak+1 p-1 c -p 1? ?c 则当 n=k+1 时, = + ak =1+ ?ap-1? ?. ak p p p? k ?

? 1 1 1? ?c 由 ak>c >0 得-1<- < ?ap-1? ?<0. p p p? k ? ?a + ? ? ?? ? 1? 1? c ? k 1?p ? ?c ??p ?c ? 由(1)中的结论得? =?1+ ?ap-1?? >1+p·· p-1?= p. ? ? a p? k p? k ?? ? ak ? ? ak ?

因此 ap k+1>c,即 ak+1>c . 1 所以当 n=k+1 时,不等式 an>c 也成立. p

综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>c 均成立.
? an+1 an+1 1? ?c ? 再由 =1+ ?ap-1?可得 <1,即 an+1<an. an p? n ? an

综上所述,an>an+1>c ,(n∈N*).

p-1 c 1-p p-1 p 法二: 设 f(x)= x+ x , x≥c , 则 x ≥c, 并且 f′(x)= p p p p-1? c? c -p ? ? 1 - + (1-p)x = p ?>0,x>c . x p p ? ? ? 由此可得,f(x)在[c ,+∞)上单调递增, 因而,当 x>c 时,f(x)>f(c )=c . ①当 n=1 时,由 a1>c >0,即 ap 1 >c p-1 c 1-p 可知 a2= a+ a = p 1 p 1

? ?? 1? ? ?c ? a1?1+ ?ap-1? ??<a1,并且 a2=f(a1)>c p ? 1 ?? ?

,从而 a1>a2>c .

故当 n=1 时,不等式 an>an+1>c 成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式 ak>ak+1>c 成立, 则当 n=k+1 时,f(ak)>f(ak+1)>f(c ),即有 ak+1>ak+2>c . 所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>an+1>c 均成立.

【规律方法】 1.当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时,若用其他办法不 容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时命题成立证 n =k+1 时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、 分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性 质等放缩技巧,使问题得以简化.

【变式训练 2】

用 数 学 归 纳 法 证 明 对 任 意 n ∈ N* ,

2+1 4+1 2n+1 ?· 2n > n+1. 2 ·4 ·
3 [证明] (1)当 n=1 时,左式=2,右式= 2, 左式>右式,所以结论成立.

2+1 4+1 2k+1 (2)假设 n=k(k≥1,k∈N )时结论成立,即 2 · 4 · ?· 2k
*

> k+1,则当 n=k+1 时, 2+1 4+1 2k+1 2k+3 ?· 2k · 2 ·4 · 2?k+1? 2k+3 2k+3 > k+1· = , 2?k+1? 2 k+1 要证当 n=k+1 时结论成立,

2k+3 2k+3 只需证 ≥ k+2,即证 2 ≥ ?k+1??k+2?, 2 k +1 2k+3 ?k+1?+?k+2? 又 2 = ≥ ?k+1??k+2?成立, 2 2k+3 故 ≥ k+2. 2 k+1 所以,当 n=k+1 时,结论成立, 2+1 4+1 2n+1 由(1)(2)可知,n∈N 时,不等式 2 · 4 · ?· 2n > n+1.
*

考向 3 归纳——猜想——证明(高频考点) 命题视角 考查数学归纳法最常用的题型就是先要求归纳出

规律,进而猜想并证明之.常见命题角度有:(1)有关函数表达式; (2)有关数列的通项公式或求和公式;(3)有关不等式.

【典例 3】 (1)(2014· 陕西高考改编)设函数 f(x)=ln(1+x), g(x) =xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函数. 令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; 2 (2)(2014· 镇江调研)已知数列{an}满足 a1=3,an+1· (1+an)=1. ①试计算 a2,a3,a4,a5 的值; 1 ?2?n-1 ②猜想|an+1-an|与15?5? (其中 n∈N*)的大小关系,并证明你 ? ? 的猜想.

[思路点拨] 学归纳法证明.

(1)先求出 g1(x), g2(x), g3(x)归纳猜想 gn(x)再用数

(2)①利用 an+1· (1+an)=1,及 a1 的值计算出 a2,a3,a4,a5. 1 ?2? ②分别求出当 n=1,2,3,4 时|an+1-an|的值,归纳猜想出与15?5? ? ?
n-1

的大小关系并用数学归纳法证明.

[解]

x 1 +x x (1) 由已知, g1(x) = , g2(x) = g(g1(x)) = = x 1+x 1+ 1+x

x x ,g3(x)= ,?, 1+2x 1+3x x 可得 gn(x)= . 1+nx 下面用数学归纳法证明: x ①当 n=1 时,g1(x)= ,结论成立. 1+x x ②假设 n=k 时结论成立,即 gk(x)= . 1+kx

那么,当 n=k+1 时,gk+1(x)=g(gk(x)) x 1+kx gk?x? x = = x =1+?k+1?x,即结论成立. 1+gk?x? 1+ 1+kx 由①②可知,结论对 n∈N+成立.

3 5 8 13 (2)①由已知计算得 a2=5,a3=8,a4=13,a5=21. 1 1 1 ②由①得|a2-a1|=15,|a3-a2|=40,|a4-a3|=104,|a5-a4|= 1 273. 1 ?2?n-1 1 2 4 8 而 n 分别取 1,2,3,4 时,15?5? 分别为15,75,375,1 875, ? ? 1 ?2?n-1 故猜想|an+1-an|≤15?5? . ? ?

下面用数学归纳法证明以上猜想: ①当 n=1 时已证; 1 ?2?k-1 ②当 n=k>1 时,假设|ak+1-ak|<15?5? . ? ? 2 1 由 a1=3,an+1= ,得 an>0, 1+an 1 2 ∴0<an+1= <1,且 0<a1=3<1. 1+an 1 1 1 2 1 ∴0<an<1,∴2<an+1= <1,且2<a1=3<1.∴2<an<1. 1+an

则当 n=k+1 时.
? 1 ? 1 5 ? ? ∵(1+ak+1)(1+ak)=?1+1+a ?(1+ak)=2+ak>2+2=2, k? ? ? 1 1 ? ? ∴|ak+2-ak+1|=?1+a -1+a ? ? k+1 k? ?

1 ?2?k-1 ? ? |ak+1-ak| 15?5? 1 ?2?k-12 1 ?2?k = < <15?5? 5=15?5? . ?1+ak+1??1+ak? ?1+ak+1??1+ak? ? ? ? ? ∴当 n=k>1 时结论成立.由①②可知,以上猜想成立.

【通关锦囊】 “归纳—猜想—证明”的模式, 是不完全归纳法与数学归纳法 综合应用的解题模式, 这种方法在解决探索性问题、 存在性问题时 起着重要作用, 它的模式是先由合情推理发现结论, 然后经逻辑推 理证明结论的正确性.

【变式训练 3】 (2014· 南京盐城调研)设 f(n)是定义在 N*上的 增函数,f(4)=5,且满足: ①任意 n∈N*,f(n)∈Z;②任意 m,n∈N*,有 f(m)f(n)=f(mn) +f(m+n-1). (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)求 f(n)的表达式.

[ 解]

(1)∵f(1)f(4)=f(4)+f(4),∴f(1)=2.

∵f(n)是单调增函数, ∴2=f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=5. ∵f(n)∈Z,∴f(2)=3,f(3)=4. (2)由(1)可猜想 f(n)=n+1. 证明:∵f(n)单调递增,∴f(n+1)>f(n),又 f(n)∈Z, ∴f(n+1)≥f(n)+1. 首先证明:f(n)≥n+1. ∵f(1)=2,∴n=1 时,命题成立.

假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 f(k)≥k+1. 则 f(k+1)≥f(k)+1≥k+2,即 n=k+1 时,命题也成立. 综上,f(n)≥n+1. 由已知可得 f(2)f(n)=f(2n)+f(n+1), 而 f(2)=3, f(2n)≥2n+1, ∴3f(n)≥f(n+1)+2n+1,即 f(n+1)≤3f(n)-2n-1. 下面证明:f(n)=n+1. ∵f(1)=2,∴n=1 时,命题成立.

假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 f(k)=k+1, 则 f(k+1)≤3f(k)-2k-1=3(k+1)-2k-1=k+2, 又 f(k+1)≥k+2,∴f(k+1)=k+2. 即 n=k+1 时,命题也成立. ∴f(n)=n+1.

熟记 1 种方法

数学归纳法是一种重要的数学思想方法, 主要

用于解决与正整数有关的数学命题. 证明时步骤(1)和(2)缺一不可, 步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据. 勿忘 2 点注意 运用数学归纳法应注意

1.第一步验证 n=n0 时,n0 不一定为 1,要根据题目要求选择合适 的起始值. 2.由 n=k 时命题成立,证明 n=k+1 时命题成立的

过程中,一定要归纳假设,否则就不是数学归纳法.

规范解答之 8

数学归纳法在数列问题中的应用

(14 分)(2012· 安徽高考改编)数列{xn}满足 x1=0,xn+1=
* -x2 + x + c ( n ∈ N ). n n

(1)证明:{xn}是递减数列的充要条件是 c<0; 1 (2)若 0<c≤4,证明数列{xn}是递增数列.

————————— [ 规范解答示例]

———————

(1)充分性:若 c<0,由于 xn+1=-x2 n+xn+c≤xn+c<xn, ∴数列{xn}是递减数列. 必要性:若{xn}是递减数列,则 x2<x1,且 x1=0. 又 x2=-x2 1+x1+c=c,∴c<0 故{xn}是递减数列的充要条件是 c<0. 1 (2)若 0<c≤ ,要证{xn}是递增数列. 4 即 xn+1>xn,也就是证明 xn< c (7 分) (5 分) (2 分)

1 下面用数学归纳法证明当 0<c≤ 时,xn< c对任意 n≥1 成立. 4 1 (ⅰ)当 n=1 时,x1=0< c≤ ,结论成立. 2 (ⅱ)假设当 n=k(k∈N*)时结论成立,即 xk< c. 因为函数 f(x)=-x +x+c
2

(8 分)

? 1? ? 在区间?-∞,2? ?内单调递增, ? ?

所以 xk+1=f(xk)<f( c)= c,这就是说当 n=k+1 时,结论也 成立. 故 xn< c对任意 n≥1 成立. 因此,xn+1=xn-x2 n+c>xn,即{xn}是递增数列. (14 分) (12 分)

——————— [ 构建答题模板]

———————

第一步 利用充要条件的意义,判定{xn}递减?c<0; ? 第二步 运用分析法,将结论转化为判定 xn< c;

? 第三步 验证 n=1 时,结论成立; ? 第四步 假设当 n=k 时,xk< c,证明当 n=k+1 时 xk+1< c.

【智慧心语】 易错提示:(1)第(1)问只判定充分性或必要性,证明不完整. (2)难以将第(2)的结论转化为判定 xn< c;或在证明 n=k+1 时,不能运用函数 f(x)=-x2+x+c 的单调性,导致归纳假设运用 受阻.

防范措施:(1)正确理解充要条件的意义.充要条件必须从充 分性和必要性两个方面判定. 1 (2)善于转化, 从函数的角度理解 xn+1 与 xn 的关系, 抓住 0<c≤4 与 f(x)的单调性,利用归纳假设证明传递性.

3bn+4 【类题通关】 若数列{bn}中, b1=2, bn+1= (n∈N*). 求 2bn+3 b2,b3,试判定 bn 与 2的大小,并加以证明. 3bn+4 [解] 由 b1=2,bn+1= ,得 2bn+3
3×2+4 10 58 b2= = 7 ,b3=41. 2×2+3 经比较有 b1> 2,b2> 2,b3> 2. 猜想 bn> 2(n∈N*). 下面利用数学归纳法证明.

①当 n=1 时,因 b1=2,所以 2<b1. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即 2<bk, ∴0<bk- 2. 3bk+4 当 n=k+1 时,bk+1- 2= - 2 2bk+3 ?3-2 2?bk+?4-3 2? ?3-2 2??bk- 2? = = >0. 2bk+3 2bk+3 ∴bk+1> 2, 也就是说,当 n=k+1 时,结论也成立. 根据①②知 bn> 2(n∈N*).



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