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高一下数学期末试卷含答案



高一数学下期末模拟试题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. 1.如果 a, b 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是( A. a ? b B. a ? b ? 1 C. a ? b
2 2



D.

| a |2 ?| b |2

>
2. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为( A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 ) D. 2?

3.函数 f ( x) ? cos4 x ? sin 4 x 的最小正周期为( A.

? 4

B.

? 2

C.

?
[来源:学科网 ZXXK]

4. 下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体 是三棱锥 B.一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台 C.棱锥的侧棱 长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 5. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 2a cos B ? c ,则 ?ABC 的形状( A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ) )

6. 已知非常数列且各项为正数的等比数列 {an } 中,则( A. a1 +a4 ? a2 +a3 C. a1 +a4 ? a2 +a3 B.

a1 +a4 ? a2 +a3

D. a1 +a4与a2 +a3 无法确定 )

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积( A. 168 B. 180 C. 200 D. 220 8. 在一水平的桌面上放半径为 点到水平桌面的距离为( A.

3 的四个大小相同的球体,要求四个球体两两相切,则最上面的球体的最高 2
3 2



6 ?3

B.

6 ?3 2

C.

6

D.

6?

9. 对 于 使 f ( x) ? M 恒 成 立 的 所 有 常 数 M 中 , 我 们 把 M 的 最 大 值 叫 做 函 数 f ( x ) 的 下 确 界 , 则

f ( x) ?

1 4 1 1 ? ( ? x ? ) 的下确界( ) x 1? x 4 2 16 A. 2 2 B. C. 9 3

D.

10

10. 设等差数列 ?a n ?满足 sin2 a3 cos2 a5 ? cos2 a3 sin2 a5 ? sin(a1 ? a7 ) , a4 ?

k? , k ? Z 且公差 d ? (?1, 0) . 2
)
1

若当且仅当 n ? 8 时,数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是(

A.

[

3? , 2? ] 2

B. (

3? , 2? ) 2

C. [

7? , 2? ] 4

D. (

7? , 2? ) 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知某球的体积为

4? ,则此球的表面积为_____. 3

12.若数列 {an } 满足 an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2, n ? N ? ) , a1 ? 1 ,则数列 {an } 的通项公式为 an ? __________. 1 3.已知某圆锥的轴截面是正三角形, 其边长为如图所示的直观图(斜 二 测 画 法 ) 对 应 的 平 面 图 形 ?ABC 的 BC 边 上 的 高 , 其 中

| A/ O/ |? 2 ,则此圆锥的侧面积为_______.

2 ab 为 a , b 的调和平均数,如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC ? a, BC ? b ,O 是 AB a?b 的中点,以 AB 为直径作半圆,过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D,连接 OD,AD,BD,过点 C 作 OD 的垂线,垂足
14.设 a ? 0, b ? 0, 称 为 E,如:图中的线段 OD 的长度是 a , b 的算术平均数,则线段_____的长度是

a , b 的几何平均数,线段_____的长度是 a , b 的调和平均数.

15. 记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,例如,[3] ? 3 ,[1.2] ? 1 ,[?1.3] ? ?2 。设 m 为正整数,数列 {xn }

xn ? [
满足 x1 ? m , xn ?1 ? [

m ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列命题:

①函数 f ( x) ? [sin x], x ? [ ?

? ?

, ] 为奇函数; ②当 m ? 4 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 4,2,2; 2 2
④当 n ? 1 时, xn ? m ?1 ;

③对数列 {xn } 存在正整数 m 的值,使得数列 {xn } 为常数列; 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号). 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. )

16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (?1, 2), b ? (3, 4) .(1) 若 (2a ? b )//(a ? kb) ,求实数 k 的值; (2) 若向量 ? a 在 b 方向上的投影为 1,求实数 ? 的值.

2

17. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式

x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 (a ? 1) . x ?1

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4cos ? x ? sin ? ? x ?

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 4?

(Ⅰ)求 ? 的值 ;

(Ⅱ) 求 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上的最小值以及此时 x 的值. ? 4? ?

19. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 22 n?1 ? t .

[来源:学科网 ZXXK]

(I)求 t 的值以及 {an } 的通项

公式 an ; (II)记数列 {bn } 满足 bn ? (?1)n an ,试求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 设 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , 若 向 量 a ? b



4 A? B 5 a ? (? ? cos( A ? B), cos 2 ) , b ? ( ,1) .(I)求 tan A ? tan B 的值; 5 2 8 S (II)求 2 ?ABC 的最小值(其中 S?ABC 表示 ?ABC 的面积). c ? a 2 ? b2

3

21. ( 本 小题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Tn , 且 点 (n ,Tn ) 在 函 数 y ?

3 2 1 x ? x 上,且 2 2

? ( n ? N ).(I)求 {bn } 的通项公式; (II)数列 {cn } 满足 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的 an ? 2 ? 3 log 4 bn ? 0

前 n 项和 Sn ;(III)记数列 ?

?1? 1 ,证明: d1 ? d 2 ? ? 的前 n 项和为 Bn ,设 d n ? bn ? Bn 2 ? bn ?

? dn ?

1 . 2

4

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. 1~5 DCCDB 6~10 ABACD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.____ 4? _____; 12_____ an ? 2 ? 3n?1 ?1 ______;

13.______ 8? ____; 14.__CD____DE____; 15.____ ②③④________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. ) 16.解: (I) k ?

1 ; (II) ? ? 1 2

17.解:由题意:

x 2 ? (a ? 1) x ? a ?0 x ?1

?( x ? 1)[ x2 ? (a ? 1) x ? a] ? 0
? ( x ? 1)( x ? 1)( x ? a) ? 0
因为 a ? 1 , 所以原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1或x ? a} 18.解:由题意: f ( x) ? 4cos ? x(

2 2 sin ? x ? cos ? x) 2 2

? 2 sin 2? x ? 2 2 cos2 ? x ? 2 sin 2? x ? 2 cos 2? x ? 2
? 2sin(2? x ? ) ? 2 4 2? ?? (I) T ? ? ? ?1 2?
(II)由(I)可知 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

?
4

)? 2

x ? [0, ] 4 ? 2x ?

?

? 2x ?

?

?

4

?

?
4



3? ? 即 x ? 0或 时 4 4

? 3? ?[ , ] 4 4 4

f ( x)min ? 2 2 .
19.解: (I)

Sn ? 22n?1 ? t , n ? N ?
? a1 ? S1 ? 8 ? t ? a2 ? S2 ? S1 ? 24 ? a3 ? S3 ? S2 ? 96
5



{an } 等比数列,?a22 ? a1a3

即 242 ? (8 ? t ) ? 96 得 t ? 2

? {an } 的首项为 a1 ? 8 ? t ? 8 ? 2 ? 6 ,公比为 q ? 4 的等比数列
?an ? 6 ? 4n?1
bn ? an cos n? ? (?1)n ? 6 ? 4n?1
? ?6 ? 6 ? 4 ? 6 ? 42 ? 6 ? 43 ?
Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ? bn?1 ? bn ? 6 ? 3 ? 6 ? 3 ? 42 ?

(II)

ⅰ当 n 为正偶数时,

? 6 ? 4n ?2 ? 6 ? 4n ?1

? 6 ? 3 ? 4n ?2

?
ⅱ当 n 为正奇数时,

6(4n ? 1) 5

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?

? bn?1 ? bn

? Tn?1 ? an
?? 6(4n ? 1) 5

? 6(4n ? 1) , n正偶数 ? ? 5 综上所述: Tn ? ? . n 6(4 ? 1) ?? ,n为正奇数 ? 5 ?

[来源:学科网 ZXXK]

说明: (I )本题也可以用 Sn ? Aqn ? B(q ? 0,1), A ? B ? 0, AB ? 0 结论(最好证明再用) (II)也可以用 错位相减或者分奇偶分别为等比数列求和 20.解: (I)

4 A? B 5 a ? (? ? cos( A ? B ), cos 2 ) , b ? ( ,1) , 5 2 8
且 a ? b ,? a ? b ? 0 即 a ?b ?

5 4 A? B [? ? cos( A ? B)] ? cos 2 ?0 8 5 2

?5cos( A ? B) ? 4cos( A ? B) ? 0
?5cos A cos B ? 5sin A sin B ? 4cos A cos B ? 4sin A sin B ? 0 ? cos A cos B ? 9sin A sin B ? 0 1 tan A tan B ? 9
6

(II)

1 ab sin C 与余弦定理 2 1 ab sin C S?ABC ab sin C 1 2 ? 2 ? 2 ?? ? ? tan C 2 2 2 2 c ?a ?b c ?a ?b 4ab cos C 4 S?ABC ?
在 ?ABC 中,

tan C ? ? tan( A ? B)

S?ABC 1 tan A ? tan B tan A ? tan B ? tan( A ? B) ? ? 2 2 1 c ?a ?b 4 4(1 ? tan A tan B) 4(1 ? ) 9 2 tan A ? tan B ? 2 tan A ? tan B ? (当且仅当 tan A ? tan B 时,取最小值) 3 S S 3 3 ? 2 ?ABC ? ) ? . 即当且仅当 A ? B 时, ( 2 ?ABC 2 2 2 2 min c ? a ? b 16 c ?a ?b 16 3 2 1 21 解: (I)由题意: Tn ? n ? n 2 2 3 1 ⅰ当 n ? 1 时, a1 ? T1 ? ? ? 1 ⅱ当 n ? 2 时, an ? Tn ? Tn?1 ? 3n ? 2 2 2 ?
2

所以, an ? 3n ? 2 所以 bn ? 4
?n

又因为 an ? 2 ? 3log4 bn ? 0

?

1 4n 1 4
n

(II)因为 cn ? an ? bn ? (3n ? 2)( )

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?
所以 S n ? 1?

? cn

1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? (3n ? 2)( ) n ┈┈┈ ① 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 1 Sn ? 0 ? 1? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2)( ) n ?1 ┈┈② 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由① ? ②得: S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ( ) ] ? (3n ? 2)( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 1 1 4 Sn ? ? 3 16 ? (3n ? 2)( ) n ?1 1 4 4 4 1? 4 2 3n ? 2 1 n ( ) 整理得: Sn ? ? 3 3 4
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(III)

1 ? 4n bn

?1? 4(1 ? 4n ) 4 n ? (4 ? 1) 所以数列 ? ? 的前 n 项和为 Bn ? 1? 4 3 ? bn ?
7

因为 d n ?

1 1 9 ? 4n ? ? 1 16 n bn ? Bn 2 16(4n ? 1) 2 2 ? (4 ? 1) 4n 9

9 ? 4n 9 ? 4n 3 1 1 ? ? ( n?1 ? n )(n ? 2) n 2 n n ?1 16(4 ? 1) 16(4 ? 1)(4 ?1) 4 4 ?1 4 ?1
? d1 ? d 2 ?
即 d1 ? d 2 ?

3 1 1 1 1 ? d n ? d1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? 4 3 15 15 63

?(

1 4
n ?1

1 )] ?1 4 ?1 ?
n

? dn ?

1 3 1 ? ? n 2 4(4 ? 1) 2
1 1 9 ? 4n 3 ? ? ? 2 n 2 1 16 n bn ? Bn 16(4 ? 1) 2 ? 4n 2 ? (4 ? 1) 4n 9

另外:第(III)也可以 d n ?

3 1 [1 ? ( ) n ] 4 ? 1 [1 ? ( 1 ) n ] ? 1 di ? 8 ? 1 2 4 2 i ?1 1? 4
n

8



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