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直线与平面的垂直(1)



普通高中课程标准实验教科书(必修2)数学第一章

直线与平面的垂直(1)

泗洪中学高一数学组 白树忠

直线与平面垂直

问题情境
A

B α

如何定义一条直线与一个平面垂直?

直线与平面垂直

你认

为直线与平面垂直该怎样定义才恰当? A

α

B

AB与平面内任意一条 垂直 任意一条直线 不过点B的直线B1C1

过点B的直线

直线与平面垂直

建构数学

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线 垂足

l

直线 l 的垂面

?

P

由定义知: 线面垂直

线线垂直

直线与平面垂直

l

P

α

注:画直线与平面垂直时,要把直线画成和 表 示平面的平行四边形横边垂直。

直线与平面垂直

1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直.( ? )
l l

2. l ? ? , b ? ? ? l ? b

(? )

直线与平面垂直

想一想

过空间一点有几条直线和已知平面垂直? 答:有且只有一条
点A到平面 ?的距离

.
?

A

B

?

.

A

直线与平面垂直

想一想

过空间一点有几个平面与已知直线垂直? 答:有且只有一个
a A a

?

?

A

直线与平面垂直

例1: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面,那么另一条也垂直于这个平面。 已知: a//b,a 求证: b ⊥ α 证明: 设

⊥α

a

m 是 ? 内的任意一条直线.
m

b

a ?? ? ? ? ? a ? m ? ?? b ? m m ??? a // b ? 故 b ??

直线与平面垂直

能否通过与有线条直线垂直来判别线面垂直?

?

先试验一条直线?
两 条 直 线

直线与平面垂直

过ΔABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折 后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)

思考: (1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面 a A 垂直?
A

B
B D C

D
C

a

直线与平面垂直

建构数学

2、线面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
a

a?m a?n n?m ? A n ?? m ??

? a ??

A

? m

n

线面垂直 线线垂直 线不在多,相交则行

直线与平面垂直

例2:已知:空间四边形ABCD,AB=AC, A DB=DC,连接AD. 求证:BC⊥AD
B

D

O
C

直线与平面垂直

练习: 在正方体ABCD-A’B’C’D’中. 求证:BD⊥平面ACC’A’ .
D’ A’ C’

B’

D B

C

A

直线与平面垂直

小结
直接法
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线,那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线

直线与平面 垂直的判定

间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面,那么 另一条也垂直 于同一个平面。

定义法

此直线垂直于这个平面

直线与平面垂直

课后作业
?课本p34练习:3

p36习题:5、7

直线与平面垂直

课后探究:
如图,PA⊥圆O所在平面,AB是圆O的直径, C是圆周上一点,则图中有几个直角三角形?
P

A C

O

B



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