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高一数学三角函数的诱导公式


三角函数的诱导公式

能否再把 0? ~360?间的角的三角函数求值,化为 我们熟悉的 0? ~ 90? 间的角的三角函数求值问题呢?

如果能的话,那么任意角的三角函数求值,都可 以化归为锐角三角函数求值,并通过查表方法而得到 最终解决,本课就来讨论这一问题.

设 0 ? ? ? ? 90?,对于任意一个0? 到360? 的角? , 以下四种情形中有且仅有一种成立.
? ? ??, 当? ? 0 , 90 ? ? ? ? 180 ?180 ? ?, 当? ? 90 , ??? ? ? ? 180 ? ? , 当 ? ? 180 , 270 ? ? ?360? ? ?, 当? ? 270?, 360 ?

? ? ? ?

?

?

? ?

诱导公式二、三的推导过程
已知任意角? 的终边与单位圆相交于点 P?x,y ? ,
请同学们思考回答点 P 关于 三个点的坐标间的关系.
? y ? ,关于 y 轴对称 点P?x,y ? 关于 x 轴对称点 P 1 ?x,
? y? . 点 P2 ?? x,y ? ,关于原点对称点 P3 ?? x,

x 轴、y 轴、原点对称的

演示课件

公式二:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan ?

我们再来研究角? 与 ? ? 的三角函数值之间的关系, 如图,利用单位圆作出任意角? 与单位圆相交于点P?x,y ?, 角 ? ? 的终边与单位圆相交于点 P?,这两个角的终边关于

x 轴对称,所以 P??x, ? y?



演示课件

公式三:

sin?? ?? ? ? sin ?

cos?? ?? ? cos?

例题讲解
例1

求下列三角函数值:
(1) sin 225 ;
?

? cos ? 1290 (2)

?

?



11 ? ? (3)cos ? 240 12? ;(4)sin ? ? ? ? . ? 10 ?
?

?

?

例2

cos 180? ? ? ? sin ? ? 360? 化简: . ? ? sin ? ? ? 180 ? cos ? 180 ? ?

?

?

? ? ? ?

?

?

公式四:

cos?? ? ? ? ? ? cos?

sin ?? ? ? ? ? sin ?

例题讲解
例3

求下列各三角函数:
? ? 13 ? cos ? 1665 (1) ? ? ;(2)sin? ? ? ?. ? 4 ?

诱导公式小结
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式.
? ? ? k ? 2 ? 概括如下: ? k ? Z? , ? ? , ? ? ? ,

的三角函数值,等于 ? 的同名函数值, 前面加上一个把? 看成锐角时原函数值的符号, 简化成“函数名不变,符号看象限”的口诀.

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一

任意正角的 三角函数

用公式一

0 到 360 的角
o
o

用公式 二或四

的三角函数

锐角三 角函数

例4

填写下表

?
sin ?

?

?
3

2? 3

4? 3
3 ? 2

3 ? 2

cos?

1 2

1 ? 2

3 2

5? 3
3 ? 2

7? 3
3 2

1 ? 2

1 2

1 2

练习反馈
1 (1)已知 cos ?? ? ? ? ? ? ,求 tan?? ? 9?? 的值. 2

3 ?? ? ? 5? ? (2)已知 cos? ? ? ? ? ,求 cos? ? ? ?的值. ?6 ? 3 ? 6 ?

公式五:

sin(

?
2

? ? ) ? cos ?
? ? ) ? cot ?

cos(

?
2

? ? ) ? sin ?

tan(

?
2

cot(

?
2

? ? ) ? tan ?

公式六:

2 ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 ? tan( ? ? ) ? ? cot ? 2

sin(

?

? ? ) ? cos ?

诱导公式总结:
口诀:奇变偶不变,符号看象限 意义:k ? ? ? ? (k ? Z)的三角函数值

2 1 )当k为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 2)当k为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号;

1 1、已知 cos(75 ? ? ) ? ,其中? 是第三象限角, 3 求 cos(105? ? ? ) ? sin(? ? 105? )的值.
?

2、已知A、B、C是?ABC的三个内角, 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3? +C (2)tan ? ? tan 4 4

1 3、已知 tan ? ? ,求值 3 sin 3 (?? )cos(2? ? ? ) tan(2? ? ? ) 3? 3? sin(? ? 2? )cos(? ? ) ? tan(? ? ? ) tan( ? ? ) 2 2
4、已知A、B、C是?ABC的三个内角, 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3? +C (2)tan ? ? tan 4 4

;

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160条

很多,不厌其烦地说道,“这几年啤酒厂效益还算不错,企业人数不断扩大,进了不少人,目前共有七百多人。部门有单位办公室、财 务科、生产科、质量科、供应科、物管科、总务科、销售科、人保科、宣教科、党委、工会、能计科、技改办、医务室、杂工组,还有 幼儿园和计划生育办公室,反正该设的部门都设了,也许是为了和管理相关部门对接的方便。”“呵!人还真不少,为什么还要到外面 去招人?”马启明不解地问道。张钢铁不是一般的健谈,而是相当健谈,对马启明的提问都能做出圆满地回答。马启明也尽量想从张钢 铁那里了解啤酒厂的过去、现在。不是有一句话,忘记历史就等于背叛,为了更好地开创未来嘛。“你们是大学生,是技术人员,厂里 很需要你们这些人,目前厂内有文凭的人还真不多。你们来的那天,厂长、总工都请你们吃饭,这说明啥?说明厂子对你们重视,好好 干吧。你们将来大有用武之地。”“张主任,这个厂年产啤酒是多少?”马启明紧接着又问道,面对马启明接二连三的提问,张钢铁谈 性更浓了,可以说是汹涌澎拜了。他立刻答道:“当初每年只有3000吨啤酒,现在每年啤酒产量大概是3万多吨。八十年代,花开啤酒 在轻工部举办的全国啤酒竞赛中还获得了金奖,这在当时,真的是天大的荣誉。”张钢铁沉浸在美好的记忆当中,喜悦和自豪之情溢于 言表。马启明激情被点燃了,脑海中突然灵光一动,迸出一个想法并脱口而出:“花开啤酒,雄鹰!”当初牛顿被苹果砸到头的时候, 也是这样的吗!“花开啤酒,雄鹰,你说的是什么杲梓?”张钢铁有点丈二高的和尚——摸不着头脑。看着张钢铁不解的表情,马启明 突然笑了:“我也不知怎地‘呼’地一下子感到花开啤酒就像一只展翅翱翔的雄鹰。”张钢铁仔细地想了一下,笑着说道:“对对对, 花开啤酒就像一只雄鹰,在天空中翱翔的雄鹰,这个比喻比得好,花开啤酒就像雄鹰一样。”说着,他用欣喜的目光看着马启明,心想 看来马启明没有把书念到狗肚里,这比喻打得贴切生动。马启明也迷茫地望着他,显而易见,刚才“杲梓”两字在他的脑子里还是一片 空白。“杲梓是什么意思?”马启明问道。“杲梓是我们这个地方方言,就是东西的意思。言归正传,说到花开啤酒在全国啤酒竞赛中 获得金奖的事,就不能不提到一个人,就是我们厂的总工程师、高级工程师、我国第一代啤酒专家、啤酒界的技术权威冯力雄。有一次 我陪他出去参加全国性的啤酒技术研讨会,他在大会上做的专题报告,题目到现在我还记得,叫做《啤酒生产新技术与装备发展与展 望》。演讲时整个会场鸦雀无声,会后向他请教的人挤得密密匝匝,那场面至今还历历在目,全国啤酒研讨会呀!”张钢铁看了一眼马 启明、自豪地说。马启明也注意到,他在



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