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必修2红对勾2-3-16



红对勾系列丛书

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第16课时 直线与平面垂直的判定

2.3 第16课时

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>
1.掌握直线与平面垂直的定义.

2.掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定
理证明直线与平面垂直.

2.3 第16课时

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一、选择题(每小题5分,共30分)
1.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与

平面α的位置关系是(
A.平行

)
B.垂直

C.在平面α内 D.无法确定

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解析: 若平面 α 内的这两条直线相交,则直线 l 与平
面α垂直,若平面α内的两条直线平行,则直线l与平面α 可能平行或在α内. 答案:D

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2 . 如 图 1 , 三 棱 锥 P—ABC 中 , PA⊥ 平 面 ABC ,
∠ BAC=90°,PA=AB,则直线 PB与平面 ABC所成的 角是( )

A.90° B.60° C.45° D.30°
图1

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解析:∵PA⊥平面ABC,∴PB在平面ABC的射影是
AB. ∴∠PBA 是 直 线 PB 与 平 面 ABC 所 成 的 角 . 又 在 △PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,∴∠PBA=45°. ∴直线PB与平面ABC所成的角是45°.故选C. 答案:C

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3. 已知直线 a、 b 和平面 α, 下列推理错误的是 ( A. a⊥ α? ? a⊥ b ? ?
?? a⊥ b b? α? ? ?? a∥ α b⊥ α ? ?

)

B.

a⊥ α? ?

?? b⊥α a∥ b ? ?

C.

或 a? α

D.

a∥ α ? ?

?? a∥ b b? α ? ?

答案:D

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4 .如图 2 , BC 是 Rt△ABC 的斜边, AP⊥平面 ABC ,
PD⊥BC于D点,则图中共有直角三角形的个数是( A.8 C.6 B.7 D.5 )

图2
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解 析 : 所 给 图 形 中 的 △ PAC 、 △ PAD 、 △ PAB 、
△PCD、△PBD、△ACD、△ADB、△ABC均为直角三 角形,所以共有8个直角三角形. 答案:A

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5.a、b是异面直线,P为空间一点,下列命题正确
的个数有( )

①过点P总可以作一条直线与a、b都垂直 ②过点P总可以作一条直线与a、b都垂直相交 ③过点 P 总可以作一条直线与 a 、 b 之一垂直与另一 条平行 ④过点P总可以作一平面与a、b同时垂直

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⑤过点 P 总可以作一平面与 a 、 b 之一垂直与另一条
平行 A.0个 C.2个 答案:B B.1个 D.3个

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6.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线
m垂直的平面( ) B.至多有一个 D.不存在

A.有且只有一个 C.有一个或无数多个

解析:当异面直线垂直时有1个,当异面直线不垂直 时有0个. 答案:B

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二、填空题(每小题5分,共15分)
7.?ABCD的对角线交点为O,点P在?ABCD所在平

面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置
关系是________. 解析:∵PA=PC,O是AC的中点. ∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD=O, ∴PO⊥平面ABCD. 答案:垂直
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8.如图3,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线A1B
与平面BC1D1所成角的正弦值为________.

图3

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解析:连接AD1,过点A1作A1M⊥AD1于点M,连接
BM, ∴∠A1BM即为A1B与平面BC1D1所成的角.

图4
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2 A1M⊥AD1, 设正方体棱长为 1, 则 A1M= , 2 A1B= 2, A1M 1 ∴sin∠A1BM= = . A1B 2

1 答案: 2

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9.如图5所示,将平面四边形ABCD沿对角线AC折 成空间四边形,当平面四边形满足________时,空间四

边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一种
条件即可,不必考虑所有可能情况)

图5
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解析: 在平面四边形中,设 AC 与 BD 交于 E ,假设
AC⊥BD , 则 AC⊥DE , AC⊥BE. 折 叠 后 , AC 与 DE , AC与BE依然垂直,所以AC⊥平面BDE.所以AC⊥BD. 若四边形 ABCD 为菱形或正方形,因为它们的对角 线互相垂直,仿上可证AC⊥BD. 答案:AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)

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三、解答题(共45分)
10 .( 本小题 15分)有一根旗杆高 12 m ,在它的顶端

处系两条长 13m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固
定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和 旗杆底端相距 5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直, 为什么?

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解: 如图 6 所示,设地面为平面 α , PO 表示旗杆,
PA、PB表示两条绳子,A、B、O三点不共线. ∵PO=12,PA=13,OA=5,∴PO2+OA2=PA2.

图6
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∴∠POA=90°,即OP⊥OA.
同理,可证OP⊥OB.

又∵OA∩OB=O,∴PO⊥α.
故由此能断定旗杆与地面垂直.

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11 . ( 本 小 题 15 分 ) 如 图 7 所 示 , 在 斜 边 为 AB 的
Rt△ABC 中,过点 A 作 PA⊥平面 ABC , AM⊥PB 于 M , AN⊥PC于N.求证: (1)BC⊥平面PAC; (2)PB⊥平面AMN.

图7

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证明:(1)∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
∵△ABC是直角三角形,AB为斜边,

∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(2)由(1)知BC⊥平面PAC,∴BC⊥AN. 又∵AN⊥PC,∴AN⊥平面PBC. ∴AN⊥PB.又∵PB⊥AM,AM∩AN=A, ∴PB⊥平面AMN.

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12.(本小题15分)如图8,DC⊥平面ABC,EB∥DC,

AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为
AE,AB的中点. (1)证明PQ∥平面ACD; (2)求AD与平面ABE 所成角的正弦值.

图8

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解析:(1)证明:∵P,Q分别为AE,AB的中点,
∴PQ∥EB.

又DC∥EB,因此PQ∥DC,
从而PQ∥平面ACD. (2)解:如图9,连接CQ,DP.

图9

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∵ Q 为 AB 的中点,且 AC= BC, ∴ CQ⊥ AB. ∵ DC⊥平面 ABC, EB∥DC, ∴ EB⊥平面 ABC. ∴ CQ⊥ EB,故 CQ⊥平面 ABE. 1 由 (1)有 PQ∥ DC,又 PQ= EB= DC, 2

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∴四边形 CQPD 为平行四边形. 故 DP∥ CQ. ∴ DP⊥平面 ABE.

∴∠ DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角. 5 在 Rt△ DPA 中,AD= 5,DP= 1,sin∠ DAP= . 5 5 ∴ AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 . 5

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