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四川省成都市第七中学实验学校2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题



成都七中实验学校高 2016 级高一上半期考试数学试题
满分:150 分 时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。)

1.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} , A ? ?2, 4,6? , B ? {1, 2,3, 5} , 则 A? 等于 (CU B) A. {4,6} ( ) C. {2, 4,6} D. {2}

2, 3, 4, 5, 6} B. {1,

2.集合 M ? ?x |﹣ 2 ? x ? 2?,N ? ? y | 0 ? y ? 2? .给出下列四个图形,其中能表 示以 M 为定义域,N 为值域的函数关系是 ( )

3. 在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 ( 3.98 2.00 ) D. y ? log2 x ( ) D.(0,1) )
?x

则最佳体现这些数据关系的函数模型是 A.y=2x
3

B.y=x2-1
x?2

C.y=2x-2

?1? 4. 函数 f ( x) ? x ? ? ? ?2?

的零点所在的区间为 C.(2,3)

A.(1,2)

B.(3,4)

5. 下列函数中既是偶函数又在 (0, ??) 上是增函数的是 ( A. y ? x ?1 B. y ? x3 C. y ? ? x2 ? 1

D. y ? 2

6. 已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b

(

)

D. b ? c ? a

7. 函数 y ? loga x(a>0,a ? 1) 的图象如右图所示, 则下列函数图象正确的是 ( )

y ? a? x

y ? xa

?2 x ? 1, x ? 1 8. 已知函数 f ( x) ? ? ,则函数 f(x)的零点为 ?1 ? log 2 x, x ? 1

( D.0

)

1 A. 2,0

B.-2,0

1 C. 2

9. 设 f ( x) 满足下列条件: (1)f (?1) ? 0 ; (2)f ( x) 奇函数 ; (3)f ( x) 在 ? 0, ??? 上是增函数,则不等式
f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 x

(

)

A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
2

B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1) )

? ?2 x ? 8ax ? 3, x ? 1 10. 函数 f ( x) ? ? 在 R 上单调递减, 则 a 的取值范围是 ( log x , x ? 1 ? ? a
A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

C. ? , ? ?2 8?

?1 5?

D. ? ,1? ?8 ?

?5 ?

11. 若直角坐标平面内的两个不同点 M, N 满足条件: ①M, N 都在函数 y=f(x) 的图象上,②M,N 关于原点对称,则称点对[M,N]为函数 y=f(x)的一对“友 好点对”.(注:点对[M,N]与[N,M]为同一“友好点对”)

?log x, x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? 23 ,此函数的“友好点对”有 ?? x ? 4 x, x ? 0
A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对

(

)

12. 已知 f ? x ? ? ? x? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ??3.5? ? ?4 ,? 2.1? ? 2 ,给定 以下结论:① 函数 y ? f ? x? 与 y ? x ? 1 的图象无交点;② 函数 y ? f ? x? 与

y ? lg x 的图象只有一个交点;③ 函数 y ? f ? x ? 与 y ? 2x ?1 的图象有两个交
点;④ 函数 y ? f ? x ? 与 y ? x2 的图象有三个交点.其中正确的有 ( A. 1 个; B. 2 个; C. 3 个; D. 4 个. )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分。 )

13.已知 A=? x x ? 1? , B ? ? x x ? 2? ,则 A ? B ? ________ 14. 当 x ? 0 时, 函数 y ? (a ? 8) x 的值恒大于 1, 则实数 a 的取值集合是________. 15. 已知函数 y ? f ( x) 是 y ? 2 x 的反函数,则函数 y ? f (6 x ? x 2 ) 的递增
区间为 .

16.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 ,且当 x∈[0,1]时, f(x)=x,则方程 F ( x) ? f ? x ? ? log4 x 的零点的个数是


三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(10 分) (1)已知集合 A ? ? x 1 ? x ? 3? ,函数 ( g x) ? 2x ? a 的值域为集合 B . 若 A ? B , 求 a 的取值范围. (2)计算: 27 3 ? 18. (12 分) 已知 f ( x) ?
2 ? m ,m 常数, m ? R . 3 ?1
x

2

?

3

?125

?

2

? 2log2 3 ? log 2

1 8

(1)若函数 y ? f ( x) 是奇函数,求 m 的值; (2)当 m ? 1 时,写出函数 f ( x) 的值域;

19.(12 分) 已知函数 f ( x)=loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3)(0 ? a ? 1).
(1)求函数 y ? f ( x ) 的定义域; (2)求函数 y ? f ( x ) 的零点.

20. (12 分) 某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生 产,已知投资生产这两种产品的有关数据如表: (单位:万美元)

年固定 成本 A 产品 B 产品

每件产 品成本

每件产品 销售价

每年最多可 生产的件数

20 40

m 8

10 18

200 120

其中年固定成本与年生产的件数无关 ,m 是待定常数, 其值由生产 A 产品 ..............
8] ,另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 2 万美 的原材料决定,预计 m ? [6,

元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件 数 x 之间的函数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案. 21. (12 分) 已知函数 f ( x) ? log 2
1? x . 1? x

(1)判断并证明 f ( x) 的奇偶性; (2)若关于 x 的方程 .. f ? x ? ? log2 ? x ? k ? 有实根,求实数 k 的取值范围; (3)问方程 .. f ? x ? ? x ? 1 是否有实根?如果有,设为 x0 ,请求出一个长度
1 为 的区间 ? a, b ? ,使 x0 ? ? a, b ? ;如果没有,请说明理由. 8

(注:区间 ? a, b ? 的长度为 b ? a )

22. (12 分) 已知函数 ( 在区间 [2, 3] 上有最大值 4 和最小值 1. g x) ? ax2 ﹣ 2ax ? 1 ? ( b a>0) 设 f ( x) ?
g ( x) . x

(1)求 a、 b 的值; (2)若不等式 ( ﹣, 1 1] 上恒成立,求实数 k 的取值范围; f 2x) - k ? 2x ? 0 在 x ? [ (3) 若( f | 2x﹣ 1 |) ?k?

2 求实数 k 的取值范围. ﹣ 3k ? 0 有三个不同的实数解, 2 ?1
x

成都七中实验学校高 2016 级高一上半期考试数学试题
满分:150 分 时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。)

1.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} , A ? ?2, 4,6? , B ? {1, 2,3, 5} , 则 A? 等于( A ) (CU B) A. {4,6}
2, 3, 4, 5, 6} B. {1,

C. {2, 4,6}

D. {2}

2.集合 M ? ?x |﹣ 2 ? x ? 2?,N ? ? y | 0 ? y ? 2? .给出下列四个图形,其中能表 示以 M 为定义域,N 为值域的函数关系是 ( B )

3. 在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 ) D.y=log2x 3.98 2.00

则最佳体现这些数据关系的函数模型是( A.y=2x 答案: B.y=x2-1

C.y=2x-2

D 根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;

根据 x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除 B,C; 将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D.
?1? 4. 函数 f ( x) ? x ? ? ? ?2?
3 x?2

的零点所在的区间为( A ) C.(2,3) D.(0,1) A )

A.(1,2)

B.(3,4)

5. 下列函数中既是偶函数又在 (0, ??) 上是增函数的是 ( A. y ? x ?1 B. y ? x3 C. y ? ? x2 ? 1

D. y ? 2? x

6. 已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( B A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b

)

D. b ? c ? a

7.函数 y ? loga x(a>0,a ? 1) 的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 ( B )

【答案】

B 由题图可知 y=logax 过点(3,1),

∴loga3=1,∴a=3. ?1?x 对 A,y=?3? 在 R 上为减函数,错误; ? ? 对 B,y=x3,符合; 对 C,y=-x3 在 R 上为减函数,错误; 对 D,y=log3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误.
?2 x ? 1, x ? 1 8. 已知函数 f ( x) ? ? ,则函数 f(x)的零点为( ?1 ? log 2 x, x ? 1

)

1 A. 2,0

B.-2,0

1 C. 2

D.0

答案: D 当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0; 1 当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x=2.又因为 x>1, 所以此时方程无解.综上,函数 f(x)的零点只有 0.
? ?2 x ? 8ax ? 3, x ? 1 R 9. 函数 f ( x) ? ? 在 上单调递减,则 a 的取值范围是( C ) log x , x ? 1 ? ? a
2

A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

C. ? , ? ?2 8?

?1 5?

D. ? ,1? ?8 ?

?5 ?

10. 设 f ( x) 满足下列条件: (1) f (?1) ? 0 ; (2) 对定义域的任意的x 均有 f ( x) ? ? f (? x) ;
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

(3) 对任意的x1, x2 ? ? 0, ??? 均有 则不等式

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( x

) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案: D f(x)为奇函数, 所以不等式 化为
f ( x) ? f (? x) ?0 x

f(x) x <0,

即 xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示. 所以 xf(x)<0 的解集为(-1,0)∪(0,1). 11. 若直角坐标平面内的两个不同点 M, N 满足条件: ①M, N 都在函数 y=f(x) 的图象上;②M,N 关于原点对称.则称点对[M,N]为函数 y=f(x)的一对“友 好点对”.(注:点对[M,N]与[N,M]为同一“友好点对”)

?log x, x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? 23 ,此函数的“友好点对”有( ? x ? 4 x , x ? 0 ?
A.0 对 答案:C B.1 对 C.2 对 D.3 对

)

由题意,当 x>0 时,将 f(x)=log3x 的图象关于原点对称后可知,

g(x)=-log3(-x)(x<0)的图象与 x≤0 时 f(x)=-x2-4x 的图象存在两个交 点,如图所示,故“友好点对”的数量为 2,故选 C.

12. 已知 f ? x? ? ? x? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ??3.5? ? ?4 , ? 2.1? ? 2 ,给定 以下结论:① 函数 y ? f ? x? 与 y ? x ? 1 的图象无交点;② 函数 y ? f ? x? 与

y ? lg x 的图象只有一个交点;③ 函数 y ? f ? x? 与 y ? 2x ?1 的图象有两个交
点;④ 函数 y ? f ? x ? 与 y ? x2 的图象有三个交点.其中正确的有 ( A. 1 个; B. 2 个; C. 3 个; D. 4 个. C )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分。 )

13. 当 x ? 0 时, 函数 y ? (a ? 8) x 的值恒大于 1, 则实数 a 的取值集合是________. 答案: 由题意知,a-8>1,解得 a>9. (9,+∞)

14. 已知函数 y ? f ( x) 是 y ? 2 x 的反函数,则函数 y ? f (6 x ? x 2 ) 的递增
区间为 .

? 0, 3? or ? 0, 3?

15.如图所示,开始时桶 1 中有 a 升水,如果桶 1 向桶 2 注水,桶 1 中剩余的水符 合指数衰减曲线 y1 ? a ? e? nt ( n 为常数,t 为注水时间) ,那么桶 2 中的水就是 两桶 y2 ? a ? a ? e?nt .如果由桶 1 向桶 2 中注水 5 分钟时, 中的水相等,那么经过___15____分钟桶 1 中的水只有
a 。 8

16.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 , 且当 x∈[0,1]时,f(x)=x, 则方程 F ( x) ? f ? x ? ? log3 x 的零点的个数是
4 ;

答案:画出周期函数 f(x)和 y=log3|x|的图象,如图所示, 由图知方程 f(x)=log3|x|的解的个数为 4.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(1)已知集合 A ? ? x 1 ? x ? 3? ,函数 ( g x) ? 2x ? a 的值域为集合 B . 若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围. 解: A=[1,3) ,B=(a,+∞) , 因 A∪B=B,∴A?B, ,∴a<1, 则 a 的取值范围是(﹣∞,1) . (2)计算: 27 ?
= =9﹣25﹣3× (﹣3) =﹣7;
2 3

?

3

?125

?

2

? 2log2 3 ? log 2

1 8

18.已知函数 f ( x)=loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3)(0 ? a ? 1).
(1)求函数 y ? f ( x ) 的定义域; (2)求函数 y ? f ( x ) 的零点.

19.已知 f ( x) ?

2 ? m ,m 是实常数, 3 ?1
x

(1)当 m ? 1 时,写出函数 f ( x) 的值域; (2)当 m ? 0 时,判断函数 f ( x) 的奇偶性,并给出证明;

解:(1)当 m=1 时,

,定义域为 R, , ,

即函数的值域为(1,3). (2)f(x)为非奇非偶函数. 当 m=0 时, 因为 f(﹣1)≠f(1),所以 f(x)不是偶函数; 又因为 f(﹣1)≠﹣f(1),所以 f(x)不是奇函数; 即 f(x)为非奇非偶函数. ,

20. B 两种产品中只选择一种进行投资生产, 某企业为打入国际市场, 决定从 A、 已知投资生产这两种产品的有关数据如表: (单位:万美元)
年固定 成本 A 产品 B 产品 每件产 品成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数

20 40

m 8

10 18

200 120

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数, 其值由生产 A 产品
8] ,另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 2 万美 的原材料决定,预计 m ? [6,

元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件 数 x 之间的函数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案.
解: (1)y1=10x﹣(20+mx)=(10﹣m)x﹣20,0<x≤200,且 x∈N y2=18x﹣(8x+40)﹣ 0.05 x = ?0.05 x +10x﹣40,0<x≤120 且 x∈N
2 2

(2)∵6≤m≤8

∴10﹣m>0

∴y1=(10﹣m)x﹣20 为增函数 又 0≤x≤200,x∈N ∴x=200 时,生产 A 产品有最大利润(10﹣m)× 200﹣20=1980﹣200m(万美元) y2= ?0.05 x +10x﹣40=﹣0.05(x﹣100)2+460
2

0≤x≤120,x∈N

∴x=100 时,生产 B 产品有最大利润 460(万美元) ∴(y1)max﹣(y2)max=1980﹣200m﹣460=1520﹣200m 当 6≤m<7.6 时,(y1)max﹣(y2)max>0 当 m=7.6 时,(y1)max﹣(y2)max=0 当 7.6<m≤8 时,(y1)max﹣(y2)max<0 ∴当 6≤m<7.6 投资 A 产品 200 件可获得最大利润 当 7.6<m≤8 投资 B 产品 100 件可获得最大利润 m=7.6 生产 A 产品与 B 产品均可获得最大年利润.

21. 已知函数 f ( x) ? log 2

1? x . 1? x

(1)判断并证明 f ( x) 的奇偶性; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? log2 ? x ? k ? 有实根,求实数 k 的取值范围; (3)问方程 f ? x ? ? x ? 1 是否有实根?如果有,设为 x0 ,请求出一个长度
1 为 的区间 ? a, b ? ,使 x0 ? ? a, b ? ;如果没有,请说明理由. 8

(注:区间 ? a, b ? 的长度为 b ? a ) 解: (1)由
1? x ? 0 得-1<x<1, 1? x

所以函数 f(x)的定义域为(-1,1); 因为 f(-x)+f(x)=log2

(2')

1? x 1? x 1? x 1? x ? +log2 =log2 =log21=0, 1? x 1? x 1? x 1? x

所以 f(-x)=-f(x),即 f(x)是奇函数。 (2)方程 f(x)=log2(x-k)有实根,也就是方程 解,所以实数 k 属于函数

(4')
1? x 1? x =x-k 即 k=x在(-1,1)内有 1? x 1? x

y=x-

1? x 2 =x+1在(-1,1)内的值域。 1? x 1? x

(6')

2 2 令 x+1=t,则 t∈(0,2),因为 y=t- 在(0,2)内单调递增,所以 t- ∈(-∞,1)。 t t

故实数 k 的取值范围是(-∞,1)。 (3)设 g(x)=f(x)-x-1=log2
1? x -x-1(-1<x<1)。 1? x

(8')

5 625 ? 8 ? 23 ,且 y=log2x 在区间(0,+∞)内单调递增, 因为 ( ) 4 ? 3 81 5 5 5 3 所以 log2 ( ) 4 <log223,即 4log2 <3,亦即 log2 < 。 3 3 3 4 1 5 3 于是 g(- )=log2 - <0。 4 3 4 3 11 5 5 又∵g(- )=log2 - >1- >0 8 5 8 8 1 3 由①②可知,g(- )· g(- )<0, 4 8 3 1 所以函数 g(x)在区间(- ,- )内有零点 x0。 8 4 3 1 即方程 f(x)=x+1 在(- ,- )内有实根 x0。 8 4

① ②

(9') (10')

(12')

1 3 1 又该区间长度为 ,因此,所求的一个区间可以是(- ,- )。 8 8 4
(答案不唯一)

(14')

思路提示: 用“二分法”逐步探求, 先算区间(-1,1)的中点 g(0)=-1<0(1'), 由于 g(x)在(-1,1) 内单调递减,于是再算区间 (-1,0)的中点 g(-

1 1 1 )=log23- >0(2'),然后算区间 (- ,0)的中点 2 2 2

g(-

1 1 1 3 )<0(3'),最后算区间(- ,- )的中点 g(- )>0(4') 4 2 4 8

3] 上有最大值 4 和最小值 1. 22.已知函数 ( 在区间 [2, g x) ? ax2 ﹣ 2ax ? 1 ? ( b a>0)

设 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a、 b 的值;
﹣, 1 1] 上恒成立,求实数 k 的取值范围; (2)若不等式 ( f 2x) - k ? 2x ? 0 在 x ? [

(3)若 ( f | 2x﹣ 1 |) ?k?

2 ﹣ 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. 2 ?1
x

解:(1)函数 g(x)=ax2﹣2ax+b+1=a(x﹣1)2+1+b﹣a, 因为 a>0,所以 g(x)在区间[2,3]上是增函数, 故 ,即 ,解得 .所以 f(x)=x+ ﹣2(4 分)

(2)由已知可得 f(x)=x+ ﹣2, 所以,不等式 f(2x)﹣k?2x≥0 可化为 2x+
2

﹣2≥k?2x,

可化为 1 ? ?

1 ?1? ?1? ﹣ 2t ? 1 . ? 2 ? ? x ? ? k , 令 t= x ,则 k ? t 2 x ? 2 ?2 ? ?2 ?

因 x∈[﹣1,1],故 t∈[ ,2].故 k≤t2﹣2t+1 在 t∈[ ,2]上恒成立.

2t ? 1 ,因为 t∈[ ,2],故 h(t)min=h(1)=0, 记 h(t)= t ﹣
2

所以 k 的取值范围是(﹣∞,0]. (4 分) (3)方程 ( f | 2x﹣ 1 |) ?k?

2 ﹣ 3k ? 0 可化为: 2x ? 1

|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,|2x﹣1|≠0, 令|2x﹣1|=t,则方程化为 t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0), ∵方程 f(|2k﹣1|)+k? ∴由 t=|2x﹣1|的图象知, t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),有两个根 t1、t2, 且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1. 记 h(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k), ﹣3k=0 有三个不同的实数解,



,或

∴k>0.(12 分)



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