9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 理



【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前 n 项和 理

1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d

,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果 A=

a+b
2

,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.

4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N ),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N )是公差为 md 的等差数列. 5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
* * *

n?a1+an?
2

或 Sn=na1+

n?n-1? d.
2

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n.
2

?

2?

数列{an}是等差数列?Sn=An +Bn(A、B 为常数). 7.等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最__大__值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最__小__值. 【思考辨析】

2

1

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 若 一个数列 从第二项起 每一项与 它的前一 项的 差都是常 数,则这 个数 列是等差 数 列.( × ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N ,都有 2an+1=an+an+2.( √ ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的.( √ ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.( × (5)数列{an}满足 an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.( × ) (6) 已知数列 {an} 的通项公式是 an = pn +q( 其中 p,q 为常数 ),则数列 {an} 一定是等差数 列.( √ ) )
*

1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n= ____________________________________. 答案 6 解析 设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1+a9=a4+a6=-6,且 a1=-11, ∴a9=5,从而 d=2. ∴Sn=-11n+n(n-1)=n -12n, ∴当 n=6 时,Sn 取最小值. 2.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=2a8-3a4,则 答案 3 10
2

S8 =________. S16

解析 由已知得 a1=2a1+14d-3a1-9d, 5 S8 8a1+28d ∴a1= d,又 = , 2 S16 16a1+120d 5 S8 3 将 a1= d 代入化简得 = . 2 S16 10 3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=________. 答案 88 11?a1+a11? 11?a4+a8? 解析 S11= = =88. 2 2 4.设数列{an}是等差数列,若 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+?+a7=________. 答案 28 解析 ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,

2

∴a1+a2+?+a7=7a4=28. 5.(2014·北京)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________时,{an}的 前 n 项和最大. 答案 8 解析 因为数列{an}是等差数列,且 a7+a8+a9=3a8>0,所以 a8>0.又 a7+a10=a8+a9<0, 所以 a9<0.故当 n=8 时,其前 n 项和最大.

题型一 等差数列基本量的运算 例 1 (1)在数列{an}中,若 a1=-2,且对任意的 n∈N 有 2an+1=1+2an,则数列{an}前 10 项 的和为________. (2)已知在等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 10 项和 S10=________. 5 答案 (1) (2)210 2 1 解析 (1)由 2an+1=1+2an 得 an+1-an= , 2 1 所以数列{an}是首项为-2,公差为 的等差数列, 2 10×?10-1? 1 5 所以 S10=10×(-2)+ × = . 2 2 2 (2)因为 a2=7,a4=15,所以 d=4,a1=3, 1 故 S10=10×3+ ×10×9×4=210. 2 思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d,然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,
*

an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.
(1)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=________. (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是________. 3 2 答案 (1)5 (2)2 解析 (1)∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3, ∴a1+a3+a5=3a3=3,得 a3=1, 5?a1+a5? ∴S5= =5a3=5. 2

S3 S2

3

(2)∵Sn= 得

n?a1+an?
2 2

,∴ =

Sn a1+an S3 S2 ,又 - =1, n 2 3 2

a1+a3 a1+a2
2 -

=1,即 a3-a2=2,

∴数列{an}的公差为 2. 题型二 等差数列的判定与证明 3 1 1 * * 例 2 已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N ),数列{bn}满足 bn= (n∈N ). 5 an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 因为 an=2-
* bn= (n∈N ), an-1

1

an-1

(n≥2,n∈N ),

*

1

所以 bn+1-bn= = 1 1

1 1 - an+1-1 an-1

1 an 1 - = - =1. an-1 an-1 an-1 ?2- ?-1

an

又 b1=

1

a1-1

5 =- . 2

5 所以数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2 7 (2)解 由(1)知 bn=n- , 2 1 2 则 an=1+ =1+ . bn 2n-7 2 设 f(x)=1+ , 2x-7 7 7 则 f(x)在区间(-∞, )和( ,+∞)上为减函数. 2 2 所以当 n=3 时,an 取得最小值-1,当 n=4 时,an 取得最大值 3. 引申探究 3 例 2 中,若条件变为 a1= ,nan+1=(n+1)an+n(n+1),探求数列{an}的通项公式. 5 解 由已知可得 即

an+1 an = +1, n+1 n

an+1 an 3 - =1,又 a1= , n+1 n 5
4

?an? a1 3 ∴? ?是以 = 为首项,1 为公差的等差数列, 1 5 ?n?

an 3 2 ∴ = +(n-1)·1=n- , n 5 5
2 2 ∴an=n - n. 5 思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数 n 都有 an+1-an 等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2an+1=an+an+2 后,可递推得出 an+2-an+1=an+1-

an=an-an-1=an-1-an-2=?=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:得出 an=pn+q 后,得 an+1-an=p 对任意正整数 n 恒成立,根据定义判定 数列{an}为等差数列. (4)前 n 项和公式法:得出 Sn=An +Bn 后,根据 Sn,an 的关系,得出 an,再使用定义法证明 数列{an}为等差数列. (1)若{an}是公差为 1 的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是________. ①公差为 3 的等差数列 ②公差为 4 的等差数列 ③公差为 6 的等差数列 ④公差为 9 的等差数列 1 2 1 1 (2)在数列{an}中, 若 a1=1, a2= , = + (n∈N*), 则该数列的通项为______________. 2 an+1 an an+2 1 答案 (1)③ (2)an=
2

n

解析 (1)∵a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2) =(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2) =2+2×2=6, ∴{a2n-1+2a2n}是公差为 6 的等差数列. (2)由已知式 1 2

an+1 an an+2

1 1 = + 可得

an+1 an an+2 an+1
1 即 an= .

1 1 1 1 1 1 1 1 - = - ,知{ }是首项为 =1,公差为 - =2-1=1 的等差数列,所以 =n,

an

a1

a2 a1

an

n

题型三 等差数列的性质及应用 命题点 1 等差数列的性质 例 3 (1)(2015·广东)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8=________. (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. 答案 (1)10 (2)60

5

解析

(1)因为{an}是等差数列,所以 a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5

=25,即 a5=5,a2+a8=2a5=10. (2)∵S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列,且 S10=10,S20=30,S20-S10=20, ∴S30-30=10+2×10=30,∴S30=60. 命题点 2 等差数列前 n 项和的最值 例 4 在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 取 得最大值,并求出它的最大值. 解 ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 ∴d=- . 3

? 5? 方法一 由 an=20+(n-1)×?- ? ? 3?
5 65 =- n+ . 3 3 得 a13=0. 即当 n≤12 时,an>0,当 n≥14 时,an<0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值, 12×11 ? 5? 且最大值为 S12=S13=12×20+ ×?- ? 2 ? 3? =130. 方法二 Sn=20n+ 5 2 125 =- n + n 6 6 5? 25?2 3 125 =- ?n- ? + . 2? 6? 24 ∵n∈N ,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 方法三 由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即 a13=0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 引申探究 例 4 中,若条件“a1=20”改为 a1=-20,其他条件不变,求当 n 取何值时,Sn 取得最小值, 并求出最小值. 解 由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0,
*

n?n-1? ? 5? ·?- ?
2

? 3?

6

∴a13=0.又 a1=-20,∴a12<0,a14>0, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最小值, 13?a1+a13? 最小值 S12=S13= =-130. 2 思维升华 (1)等差数列的性质: ①项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d?

am-an =d(m≠n),其几何意义是点(n, m-n

an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
②和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,则

a.S2n=n(a1+a2n)=?=n(an+an+1); b.S2n-1=(2n-1)an.
(2)求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法: ①函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=an +bn,通过配方或借助图象求二次函 数最值的方法求解. ②邻项变号法:
? ?am≥0, a.当 a1>0,d<0 时,满足? ?am+1≤0 ? ?am≤0, ? b.当 a1<0,d>0 时,满足? ? ?am+1≥0
2

的项数 m 使得 Sn 取得最大值 Sm;

的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.

(1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5+a7=4,a6+a8=-2,则当 Sn 取最大 值时,n 的值是________. (2)设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,Sn 为前 n 项和,若 S6=5a1+10d,则 Sn 取最大值时,

n 的值为________.
(3)已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为________. 答案 (1)6 (2)5 或 6 (3)110 解析 (1)依题意得 2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,因此 在该数列中,前 6 项均为正数,自第 7 项起以后各项均为负数,于是当 Sn 取最大值时,n= 6. (2)由题意得 S6=6a1+15d=5a1+10d,所以 a6=0,故当 n=5 或 6 时,Sn 最大. (3)因为等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,代入求和公式得,

n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ d=20n- ×2
2 2

? 21?2 ?21?2 2 =-n +21n=-?n- ? +? ? , 2? ?2? ?
又因为 n∈N ,所以 n=10 或 n=11 时,Sn 取得最大值,最大值为 110.
7
*

6.等差数列的前 n 项和及其最值 典例 (1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前 10 项的和 S10=

________. (2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则 S110=________. (3)等差数列{an}中,已知 a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 n 项和 Sn 的最大值为________. 思维点拨 (1)求等差数列前 n 项和,可以通过求解基本量 a1,d,代入前 n 项和公式计算, 也可以利用等差数列的性质:a1+an=a2+an-1=?; (2)求等差数列前 n 项和的最值,可以将 Sn 化为关于 n 的二次函数,求二次函数的最值,也 可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项. 解析 (1)由题意得 a3+a8=9, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×9 所以 S10= = = =45. 2 2 2 (2)方法一 设数列{an}的公差为 d,首项为 a1, 10×9 ? ?10a + 2 d=100, 则? 100×99 ? ?100a + 2 d=10,
1 1

1 099 ? ?a = 100 , 解得? 11 ? ?d=-50.
1

110×109 所以 S110=110a1+ d=-110. 2 ?a11+a100?×90 方法二 因为 S100-S10= =-90, 2 所以 a11+a100=-2, ?a1+a110?×110 所以 S110= 2 = ?a11+a100?×110 =-110. 2
? ?a4+a7=a5+a6<0, ?a5>0, ?

(3)因为?

所以?

? ?a5>0, ?a6<0, ?

所以 Sn 的最大值为 S5. 答案 (1)45 (2)-110 (3)S5 温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前 n 项和 Sn 的最值时,要注意到 n∈N ; (2)利用等差数列的性质求 Sn,突出了整体思想,减少了运算量.
8
*

[方法与技巧] 1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于 a1,d 的方程组进行求解. 2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前 n 项和公式法判定一 个数列是否为等差数列. 3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量. 4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a,a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d; (3)a-d,a+d,a+3d 等,可视具体情况而定. [失误与防范] 1.当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式是 n 的一次函数,当公差 d=0 时,an 为常数. 2.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数,且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a8=6+a11,则 S9 的值等于________. 答案 54 解析 根据题意及等差数列的性质,知 2a8-a11=a5=6,根据等差数列的求和公式,知 S9=

a1+a9
2

2a5 ×9= ×9=6×9=54. 2

2.(2015·北京改编)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是________. ①若 a1+a2>0,则 a2+a3>0; ②若 a1+a3<0,则 a1+a2<0; ③若 0<a1<a2,则 a2> a1a3; ④若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0. 答案 ③ 解析 设等差数列{an}的公差为 d,若 a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于

d 正负不确定,因而 a2+a3 符号不确定,故①错;若 a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)
-d, 由于 d 正负不确定, 因而 a1+a2 符号不确定, 故②错; 若 0<a1<a2, 可知 a1>0, d>0,a2>0,
2 2 a3>0,所以 a2 a1a3,故③正确;若 a1<0,则(a2 2-a1a3=(a1+d) -a1(a1+2d)=d >0,所以 a2>

-a1)·(a2-a3)=d·(-d)=-d ≤0,故④错.

2

9

3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=________. 答案 5 解析 ∵数列{an}为等差数列,且前 n 项和为 Sn, ∴数列? ?也为等差数列.
?n? ?Sn?



Sm-1 Sm+1 2Sm -2 3 + = ,即 + =0, m-1 m+1 m m-1 m+1

解得 m=5,经检验为原方程的解. 4.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈N ),若 b3=-2,b10=12,则
*

a8=________.
答案 3 解析 设{bn}的公差为 d, ∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2. ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6. 7×6 ∴b1+b2+?+b7=7b1+ d 2 =7×(-6)+21×2=0. 又 b1+b2+?+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+?+(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0, ∴a8=3. 5 5.已知数列{an}满足 an+1=an- ,且 a1=5,设{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 取得最大值 7 的序号 n 的值为________. 答案 7 或 8 解析 5 5 由题意可知数列 {an} 是首项为 5 ,公差为- 的等差数列,所以 an = 5- (n - 1) = 7 7

40-5n ,该数列前 7 项是正数项,第 8 项是 0,从第 9 项开始是负数项,所以 Sn 取得最大值 7 时,n=7 或 8. 6.(2015·常州模拟)已知数列{an}中,a1=1 且 答案 1 4 1 1 1 * = + (n∈N ),则 a10=________. an+1 an 3 1

解析 由已知得 1 故 a10= . 4

a10 a1

1 1 = +(10-1)× =1+3=4, 3

7.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2-4,则 an=________.
10

2

答案 2n-1 解析 设等差数列的公差为 d, ∵a3=a2-4,∴1+2d=(1+d) -4, 解得 d =4,即 d=±2. 由于该数列为递增数列,故 d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 8.设数列{an}的通项公式为 an=2n-10(n∈N ),则|a1|+|a2|+?+|a15|=________. 答案 130 解析 由 an=2n-10(n∈N )知{an}是以-8 为首项, 2 为公差的等差数列, 又由 an=2n-10≥0 得 n≥5,∴n≤5 时,an≤0,当 n>5 时,an>0,∴|a1|+|a2|+?+|a15|=-(a1+a2+a3+
* * 2 2 2

a4)+(a5+a6+?+a15)=20+110=130.
1 9.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:? ?成等差数列; ?Sn?

(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0, 1 1 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 - =2,

Sn Sn-1

?1? 1 1 又 = =2,故? ?是首项为 2,公差为 2 的等差数列.

S1 a1

?Sn?

1 1 (2)解 由(1)可得 =2n,∴Sn= . Sn 2n 当 n≥2 时, 1 1 n-1-n 1 an=Sn-Sn-1= - = =- . 2n 2?n-1? 2n?n-1? 2n?n-1? 1 当 n=1 时,a1= 不适合上式. 2 1 ? ?2,n=1, 故 a =? 1 - ? ? 2n?n-1?,n≥2.
n

10.等差数列{an}中,设 Sn 为其前 n 项和,且 a1>0,S3=S11,则当 n 为多少时,Sn 最大? 3×2 11×10 2 解 方法一 由 S3=S11 得 3a1+ d=11a1+ d,则 d=- a1. 2 2 13

d? d 2 ? a1 49 2 从而 Sn= n +?a1- ?n=- (n-7) + a1, 2 2 13 13 ? ?
11

又 a1>0,所以- <0.故当 n=7 时,Sn 最大. 13 方法二 由于 Sn=an +bn 是关于 n 的二次函数,由 S3=S11,可知 Sn=an +bn 的图象关于 n = 3+11 a1 =7 对称.由方法一可知 a=- <0,故当 n=7 时,Sn 最大. 2 13
2 2

a1

2 方法三 由方法一可知,d=- a1.要使 Sn 最大, 13 则有?
?an≥0, ? ? ?an+1≤0,

? 2 ? a +?n-1??- a ?≥0, ? ? ? 13 ? 即? ? 2 ? a +n?- a ?≤0, ? ? ? 13 ?
1 1 1 1

解得 6.5≤n≤7.5,故当 n=7 时,Sn 最大. 方法四 由 S3=S11,可得 2a1+13d=0, 即(a1+6d)+(a1+7d)=0, 故 a7+a8=0,又由 a1>0,S3=S11 可知 d<0, 所以 a7>0,a8<0,所以当 n=7 时,Sn 最大. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈N ).若 <-1,则下列说法正确 的是________. ①Sn 的最大值是 S8 ②Sn 的最小值是 S8 ③Sn 的最大值是 S7 ④Sn 的最小值是 S7 答案 ④ 解析 由条件得 <
*

a8 a7

Sn Sn+1 n?a1+an? ?n+1??a1+an+1? ,即 < ,所以 an<an+1,所以等差 n n+1 2n 2?n+1? a8 a7

数列{an}为递增数列.又 <-1,所以 a8>0,a7<0,即数列{an}前 7 项均小于 0,第 8 项大 于零,所以 Sn 的最小值为 S7. 3 12. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=-3, ak+1= , Sk=-12, 则正整数 k=________. 2 答案 13 3 21 解析 Sk+1=Sk+ak+1=-12+ =- , 2 2

12

3? ? ?k+1??-3+ ? 2? ?k+1??a1+ak+1? ? 又 Sk+1= = 2 2 21 =- ,解得 k=13. 2

Sn 2n-3 a9 13. 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7


a3

b8+b4

的值为________.

答案

19 41

解析 ∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵

a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 + = + = = . b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 2b6 b6 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 = = = = , T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41

a6 19 ∴ = . b6 41
14. 已知数列{an}是首项为 a, 公差为 1 的等差数列, bn= 成立,则实数 a 的取值范围为________. 答案 (-8,-7) 1 * 解析 依题意得 bn=1+ ,对任意的 n∈N ,都有 bn≥b8,即数列{bn}的最小项是第 8 项,于 1+an * , 若对任意的 n∈N , 都有 bn≥b8

an

an

? ?a8<0, 1 1 是有 ≥ .又数列{an}是公差为 1 的等差数列, 因此有? an a8 ?a9>0, ?

即?

? ?a+7<0, ?a+8>0, ?

由此解得

-8<a<-7,即实数 a 的取值范围是(-8,-7). 15.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求通项 an; (2)求 Sn 的最小值; (3)若数列{bn}是等差数列,且 bn= 解 (1)因为数列{an}为等差数列, 所以 a3+a4=a2+a5=22. 又 a3·a4=117, 所以 a3,a4 是方程 x -22x+117=0 的两实根, 又公差 d>0,所以 a3<a4,
2

Sn ,求非零常数 c. n+c

13

所以 a3=9,a4=13, 所以?
?a1+2d=9, ? ?a1+3d=13, ?

所以?

?a1=1, ? ?d=4. ?

所以通项 an=4n-3. (2)由(1)知 a1=1,d=4, 所以 Sn=na1+

n?n-1?
2

×d=2n -n

2

? 1?2 1 =2?n- ? - . ? 4? 8
所以当 n=1 时,Sn 最小, 最小值为 S1=a1=1. (3)由(2)知 Sn=2n -n, 所以 bn= 2n -n , n+c n+c =
2

Sn

2

1 6 15 所以 b1= ,b2= ,b3= . 1+c 2+c 3+c 因为数列{bn}是等差数列, 所以 2b2=b1+b3, 即 6 1 15 ×2= + , 2+c 1+c 3+c
2

所以 2c +c=0, 1 所以 c=- 或 c=0(舍去), 2 1 经验证 c=- 时,{bn}是等差数列, 2 1 故 c=- . 2

14



相关文档:


更多相关文章:
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 理_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 文
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 文_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 理_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 文
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 文_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 理
【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 理 求数列前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列前 n 项和公式 n?a1+an...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6....数列的通项公式. 5.已知数列{an}的前 n 项和 ...构造等差数列;当出现 an=xan-1+y 时,构...
【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和习题
等比数列及其前n项和习题_数学_高中教育_教育专区。...2017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 3 讲 ...【步步高】(江苏专用)20... 暂无评价 13页 1下载...
【高优指导】2017高考数学一轮复习 考点规范练30 等比数列及其前n项和 理(含解析)北师大版
【高优指导】2017高考数学一轮复习 考点规范练30 等比数列及其前n项和 理(含...2 2.在正项等比数列{an}中,a2,a48 是方程 2x -7x+6=0 的两个根,则 ...
【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第40课 等比数列 文
【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 ...3.(必修5P58练习6改编)若对于实数x,有an=x ,则数列{an}的前n项和Sn= n...
【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第39课 等差数列 文
【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 ...2 ? n. 2 2 2 Sn= =na1+ d= n + 3.等差数列的其他性质 a?c (1)...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图