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椭圆离心率求法



离心率的五种求法

离心率的五种求法
椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,双曲线的离心率 e ? 1 ,抛物线的离心率 e ? 1 . 一、直接求出 a 、 c ,求解 e 已知圆锥曲线的标准方程或 a 、 c 易求时,可利用率心率公式 e ?

x2 y2 变式:如图所示,A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两个端点,F2 是右焦点,且 AB⊥BF2, a b
求椭圆的离心率.

c 来解决。 a

5 -1 答案: 2

y

例 1 若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为 _______

B

x
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

2 答案: 2

A

例 3:设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。 解: e ?

变式: 若椭圆的短轴长为 6, 焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1, 则椭圆的离心率为________. x2 y2 变式:已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直 a b → → 线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB, 则椭圆的离心率是________. 答案:

c 2c 2c 2c 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 a 2a PF1 ? PF2 2 2c ? 2c 2 ?1

x2 y2 变式:已知 A 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一个动点,直线 AB、AC 分别过焦点 F1、F2,且与椭 a b 圆交于 B、C 两点,若当 AC 垂直于 x 轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1,求该椭圆的离心率. 解:设|AF2|=m,则|AF1|=3m, ∴2a=|AF1|+|AF2|=4m. 又在 Rt△AF1F2 中, |F1F2|= |AF1|2-|AF2|2=2 2m. 2c |F1F2| 2 2m 2 ∴e= = = = . 2a 2a 4m 2

1 2

二、构造 a 、 c 的齐次式,解出 e 根据题设条件,借助 a 、 b 、 c 之间的关系,构造 a 、 c 的关系 (特别是齐二次式),进而得到关于 e 的一元方程,从而解得离心率 e 。 例 2(2010 年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离 心率是____ 答案:

变式:已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,求椭圆离 心率 e 的取值范围
答案: [ ,1)

1 2

3 5
四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4:设椭圆
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x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 且 a2 b2

离心率的五种求法

垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

.

解:如图所示, AB 是过 F1 且垂直于 x 轴的弦,∵ AD ? l1 于 D ,∴ AD 为 F1 到准线 l1 的距离,

x2 y 2 变式:曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )的两个焦点为 F1 、 F2, 若 P 为其上一点,且 a b

1 AB 1 ? 2 ? 根据椭圆的第二定义, e ? AD AD 2 AF1
变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则 该椭圆的离心率为_______________

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为______________ 1 答案: ? e ? 1 3 ???? ? ???? ? 变式:已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则 椭圆离心率的取值范围是____________
2 答案: (0, ) 2
变式:若以椭圆 C :

2 2 2 解: e ? ? ? AD 1 2
变式:椭圆
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过左焦点 F1 且倾斜角为 60? 的直线 l 交椭圆于 A,B 两 2 a b

AF2

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点 F 为圆心, a 为半径的圆与椭圆的右准线交 a2 b2

于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是________________ 答案:

点,若 F1 A ? 2 BF1 ,求椭圆离心率 e。
答案:

2 3

5 ?1 ? e ?1 2
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左、右焦点,若在其右准线上存在点 P , a2 b2

五、构建关于 e 的不等式,求 e 的取值范围

变式:设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

例 5:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1、F2,长轴两端点为 A、B,若椭 a2 b2

使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆的离心率的取值范围是__________

圆上存在一点 Q,使 ∠AQB=120?,求椭圆离心率 e 的取值范围。 答案:
6 ? e ?1 3
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1、F2,若椭圆上存在一点 Q, a2 b2

答案:

3 ? e ?1 3
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆上存在点 P 使 a2 b2

变式:已知椭圆 C :

变式:设椭圆

a c ? ,则该椭圆的离心率的取值范围是__________________ sin PF1F2 sin PF2 F1
答案: 2 - 1 ? e ? 1

使∠F1QF2=120?,求椭圆离心率 e 的取值范围。
3 ? e ?1 答案: 2

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