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高考数学难点突破



难点 21

直线方程及其应用

直线是最简单的几何图形,是解析几何最基础的部分,本章的基本概念;基本公式;直 线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达 到熟练掌握、灵活运用的程度,线性规划是直线方程一个方面的应用,属教材新增内容,高 考中单纯的直线方程问题不难,但将直线方程与其他知识综合的问题是学生

比较棘手的. ●难点磁场 (★★★★★)已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c. ●案例探究 [例 1]某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约 经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜 角为α (90°≤α <180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(a>b). 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳? 命题意图: 本题是一个非常实际的数学问题, 它不仅考查了直线的有关概念以及对三角 知识的综合运用, 而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力, 属★★★★★ 级题目. 知识依托:三角函数的定义,两点连线的斜率公式,不等式法求最值. 错解分析:解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问题转化成解析几何 问题求解;二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当,或选择求 sinACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法:欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取最大值,欲求角的最值,又需求角 的一个三角函数值. 解: 建立如图所示的直角坐标系, 为镜框边, 为画的宽度, AO AB O 为下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x>0),欲使看 画的效果最佳,应使∠ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知:A、B 两点坐标分别为(acosα ,asinα )、 (bcosα ,bsinα ),于是直线 AC、BC 的斜率分别为: kAC=tanxCA=

a sin? , a cos? ? x b sin? k BC ? tan xCB ? . b cos? ? x k ? k AC (a ? b) ? x sin? (a ? b) ? sin? 于是 tanACB= BC ? ? 2 ab 1 ? k BC ? k AC ab ? (a ? b) x cos? ? x ? x ? (a ? b) ? cos? x
由于∠ACB 为锐角,且 x>0,则 tanACB≤

( a ? b) ? sin? 2 ab ? ( a ? b) cos ?

,当且仅当

ab =x,即 x

x= ab 时,等号成立,此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C( ab ,0),因此,学生距离镜框 下缘 ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳. [例 2]预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的总数尽 可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行? 命题意图: 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用, 本题

主要考查找出约束条件与目标函数、 准确地描画可行域, 再利用图形直观求得满足题设的最 优解,属★★★★★级题目. 知识依托:约束条件,目标函数,可行域,最优解. 错解分析:解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件,若从图形 直观上得出的最优解不满足题设时,应作出相应地调整,直至满足题设. 技巧与方法:先设出桌、椅的变数后,目标函数即为这两个变数之和,再由此在可行域 内求出最优解. 解:设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件

?50 x ? 20 y ? 2000 200 ? ?y ? x ?x ? 7 ?50 x ? 20 y ? 2000 ? ? 为? 由? , 解得? y ? 1 .5 x y?x ? ? ? y ? 200 ? ? x ? 0, y ? 0 7 ? ?
∴A 点的坐标为(

200 200 , ) 7 7

? x ? 25 ?50 x ? 20 y ? 2000 ? , 解得? 由? 75 y ? 1.5 x ? ?y ? 2 ?
∴B 点的坐标为(25,

75 ) 2 200 200 75 , ),B(25, ), 7 7 2

所以满足约束条件的可行域是以 A(

O(0,0)为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为(25,

75 ),但注意到 x∈N,y∈N*,故取 y=37. 2
故有买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择. [例 3]抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平行于抛物线对 称轴的方向射出, 今有抛物线 y2=2px(p>0).一光源在点 M(

41 ,4)处, 由其发出的光线沿平行 4

于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点 P,折射后又射向抛物线上的点 Q,再折射后,又沿 平行于抛物线的轴的方向射出,途中遇到直线 l:2x-4y-17=0 上的点 N,再折射后又射回 点 M(如下图所示)

(1)设 P、Q 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),证明:y1?y2=-p2; (2)求抛物线的方程; (3)试判断在抛物线上是否存在一点, 使该点与点 M 关于 PN 所在的直线对称?若存在, 请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由.

命题意图:对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相 结合的综合性题目,考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力,属★★★★★★级 题目. 知识依托:韦达定理,点关于直线对称,直线关于直线对称,直线的点斜式方程,两点 式方程. 错解分析:在证明第(1)问题,注意讨论直线 PQ 的斜率不存在时. 技巧与方法:点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键. (1)证明:由抛物线的光学性质及题意知 光线 PQ 必过抛物线的焦点 F( 设直线 PQ 的方程为 y=k(x- 由①式得 x= 定理,y1y2=-p2. 当直线 PQ 的斜率角为 90°时,将 x=

p ,0), 2


p ) 2

1 p 2p y+ ,将其代入抛物线方程 y2=2px 中,整理,得 y2- y-p2=0,由韦达 k k 2 p 代入抛物线方程,得 y=±p,同样得到 y1?y2= 2

-p2. (2)解:因为光线 QN 经直线 l 反射后又射向 M 点,所以直线 MN 与直线 QN 关于直线 l 对称,设点 M(

41 ,4)关于 l 的对称点为 M′(x′,y′),则 4

? y? ? 4 1 ? ? ?1 ? 41 2 51 ? x? ? ? ?x? ? ? 4 解得 ? 4 ? ? y ? ? ?1 ? x ? ? 41 ? ? 4 ? 4 ? y ? ? 4 ? 17 ? 0 2? ? 2 2 ?
直线 QN 的方程为 y=-1,Q 点的纵坐标 y2=-1, 由题设 P 点的纵坐标 y1=4,且由(1)知:y1?y2=-p2,则 4?(-1)=-p2, 得 p=2,故所求抛物线方程为 y2=4x. (3)解:将 y=4 代入 y2=4x,得 x=4,故 P 点坐标为(4,4) 将 y=-1 代入直线 l 的方程为 2x-4y-17=0,得 x= 故 N 点坐标为(

13 , 2

13 ,-1) 2

由 P、N 两点坐标得直线 PN 的方程为 2x+y-12=0, 设 M 点关于直线 NP 的对称点 M1(x1,y1)

? y1 ? 4 ? ( ?2) ? ?1 ? 41 1 ? ? x1 ? ? ?x ? 4 则? 解得? 1 4 ? x ? 41 ? y1 ? ?1 ? 1 ? 4 ? y1 ? 4 ? 12 ? 0 2? ? 2 2 ?

又 M1(

1 1 ,-1)的坐标是抛物线方程 y2=4x 的解,故抛物线上存在一点( ,-1)与点 M 4 4

关于直线 PN 对称. ●锦囊妙计 1.对直线方程中的基本概念,要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问 题;直线平行和垂直的条件;与距离有关的问题等. 2.对称问题是直线方程的一个重要应用,中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关 于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具. 3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域,实际上是二元一次不等式(组) 表示的平面区域.求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或最小值时, t=ax+by,则此直线往右(或 设 左)平移时,t 值随之增大(或减小),要会在可行域中确定最优解. 4.由于一次函数的图象是一条直线,因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往 往借助直线方程进行,考查学生的综合能力及创新能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)设 M=

10 2000 ? 1 10 2001 ? 1 , N ? 2002 ,则 M 与 N 的大小关系为( 10 2001 ? 1 20 ?1

)

A.M>N B.M=N C.M<N D.无法判断 2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对 二、填空题 3.(★★★★)直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差 最大,则 P 点坐标是_________. 4.(★★★★)自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直 线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在直线方程为_________. 5.(★★★★)函数 f(θ )=

sin? ? 1 的最大值为_________,最小值为_________. cos ? ? 2

6.(★★★★★)设不等式 2x-1>m(x2-1)对一切满足|m|≤2 的值均成立,则 x 的范围为 _________. 三、解答题 7.(★★★★★)已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过 点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 8.(★★★★★)设数列{an}的前 n 项和 Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,…),a、b 是常数且 b≠0. (1)证明:{an}是等差数列. (2)证明: n, 以(a (3)设 a=1,b=

Sn -1)为坐标的点 Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上, 并写出此直线的方程. n

1 ,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、P2、P3 都落在圆 2
参考答案

C 外时,r 的取值范围. 难点磁场

证明:设线段的方程为 y=f(x)=(bc-1)x+2-b-c,其中|b|<1,|c|<1,|x|<1,且-1<b<1. ∵f(-1)=1-bc+2-b-c=(1-bc)+(1-b)+(1-c)>0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0 ∴线段 y=(bc-1)x+2-b-c(-1<x<1)在 x 轴上方, 这就是说, 当|a|<1,|b|<1,|c|<1 时, 恒有 abc+2>a+b+c. 歼灭难点训练 一、1.解析:将问题转化为比较 A(-1,-1)与 B(102001,102000)及 C(102002,102001) 连线的斜率大小,因为 B、C 两点的直线方程为 y= 即 M>N. 答案:A 2.解析:设三角形的另外两边长为 x,y,则

1 x,点 A 在直线的下方,∴kAB>kAC, 10

?0 ? x ? 11 ? ?0 ? y ? 11 ? x ? y ? 11 ?
点(x,y)应在如右图所示区域内 当 x=1 时,y=11;当 x=2 时,y=10,11; 当 x=3 时,y=9,10,11;当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11. 以上共有 15 个, 对调又有 15 个, x,y 再加上(6, , 7) 6) (7, , (8,8) ,(9,9) ,(10,10) 、(11,11)六组,所以共有 36 个. 答案:C 二、3.解析:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交 点即为所求的 P 点. 答案:P(5,6) 4.解析:光线 l 所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切. 答案:3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 5.解析:f(θ )= 答案:

sin? ? 1 表示两点(cosθ ,sinθ )与(2,1)连线的斜率. cos? ? 2

4 3

0

6.解析:原不等式变为(x2-1)m+(1-2x)<0,构造线段 f(m)=(x2-1)m+1-2x,-2≤m≤2, 则 f(-2)<0,且 f(2)<0.

7 ?1 3 ?1 ?x? 2 2 三、7.(1)证明:设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题设知 x1>1,x2>1,? 点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).
答案: 因为 A、 在过点 O 的直线上, B 所以

log8 x1 log8 x2 ? ,又点 C、 的坐标分别为(x1,log2x1) D 、 x1 x2

(x2,log2x2). 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则

kOC ?

log2 x1 3 log8 x1 log2 x2 3 log8 x2 ? , kOD ? ? x1 x1 x2 x2

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上. (2)解:由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 ∴x2=x13 将其代入

log8 x1 log8 x2 ? ,得 x13log8x1=3x1log8x1, x1 x2

由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 ). 9.(1)证明:由条件,得 a1=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]=a+2(n-1)b. 因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b. 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列.

Sn S na ? n(n ? 1)b ? 1) ? ( 1 ? 1) ?a (n ? 1)b 1 1 a (2)证明:∵b≠0,对于 n≥2,有 n ? ? ? an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2(n ? 1)b 2 (

Sn 1 -1)(n=1,2,…)都落在通过 P1(a,a-1)且以 为斜率的直线上.此直 2 n 1 线方程为 y-(a-1)= (x-a),即 x-2y+a-2=0. 2 1 1 n?2 (3)解:当 a=1,b= 时,Pn 的坐标为(n, ),使 P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆 C 2 2 2
∴所有的点 Pn(an, 外的条件是

?(r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ?(r ? 1) ? (r ? ) ? r 2 ? ?(r ? 3) 2 ? (r ? 1) 2 ? r 2 ?
由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r<

?(r ? 1) 2 ? 0 ? 17 ? 即?r 2 ? 5r ? ?0 4 ? ?r 2 ? 8r ? 10 ? 0 ?

① ② ③

5 5 - 2 或 r> + 2 2 2

由不等式③,得 r<4- 6 或 r>4+ 6 再注意到 r>0,1<

5 5 - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 2 2 5 - 2 )∪(4+ 6 ,+∞). 2

故使 P1、 2、 3 都落在圆 C 外时, 的取值范围是(0, P P r 1)∪(1,



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