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最新人教版高中数学必修2第一章《空间几何体的直观图》


1.2.3

空间几何体的直观图

问题导学 一、画水平放置的平面图形的直观图 活动与探究 1 如下图所示,水平放置的梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB= 30° ,AD=3 cm,试画出它的直观图.

迁移与应用 1.如图所示为水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐标为(2,2), 则在用斜二测画法画出的它的直观图中, 顶点 B′到 x′轴的距离为__________, 直观图 A′B′C′O′ 的面积为____________.

2.用斜二测画法画出如图所示水平放置的△ABC 的直观图.

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面 多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. (2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较 容易, 但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上, 就需要我们经过这 些点作坐标轴的平行线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定. (3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同. 2 (4)由直观图画法可知直观图面积是原图形面积的 . 4 二、将直观图还原为平面图形 活动与探究 2 如图所示,梯形 A1B1C1D1 是平面图形 ABCD 的直观图.若 A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1, 2 A1B1= C1D1=2,A1D1=O′D1=1.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的面积. 3

迁移与应用

1.如图,A′B′∥O′y′,B′C′∥O′x′,那么,直观图所示的平面图形是(

)

A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 2.如图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图,将其恢复成原图形.

由直观图还原为平面图形的关键是找与 x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于 x′轴的 线段还原时长度不变,平行于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍,由此确 定图形的各个顶点,顺次连接即可. 三、画空间几何体的直观图 活动与探究 3 如图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图.

迁移与应用 根据给出的空间几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

(1)画几何体的直观图时,应先弄清几何体的结构特征,再运用斜二测画法画出直观图. (2)画空间几何体的直观图时,比画平面图形的直观图增加了一个 z′轴,表示竖直方向, 且 z′轴方向上的线段,方向与长度都与原来保持一致. 当堂检测 1. 在原来的图形中, 两条线段平行且相等, 则在斜二测直观图中对应的两条线段( ) A.平行且相等 B.平行不相等 C.相等不平行 D.既不平行也不相等 2.如图,B′C′∥x′轴,A′C′∥y′轴,则下面直观图所表示的平面图形是( )

A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 3.有下列结论: ①角的水平放置的直观图一定是角; ②相等的角在直观图中仍然相等; ③相等的线段在 直观图中仍然相等;④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.其中结论 正确的是__________.(填序号) 4.水平放置的△ABC 的直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′=2,则 AB 边上的中线的 实际长度为__________.

5.如下图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基 本技能的要领部分写下来并进行识记.

答案:

课前预习导学 【预习导引】 1.(1)45° 135° 水平面 (2)x′轴 y′轴 (3)保持原长度不变 一半 预习交流 1 (1)提示:平行投影. (2)提示:将直观图还原成平面图的过程是由平面图到直观图问题的逆过程.解决由直 观图还原为平面图的问题,要注意画法步骤中有关规则的逆向转换,比如:直观图中 x′轴与 y′轴的夹角为 45° (或 135° ),则需还原成 90° ,与 y′轴平行的线段还原时应为原线段长度的 2 倍,且保持与 y 轴平行. 2.90° 不变 预习交流 2 提示:不一定唯一.作直观图时,由于选轴不同,所画直观图就不一定相 同. 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析:利用斜二测画法作该梯形的直观图. 画法:(1)在梯形 ABCD 中,以边 AB 所在的直线为 x 轴,点 A 为原点,建立平面直角 坐标系 xAy,画出对应的 x′轴、y′轴,使∠x′A′y′=45° . (2)过 D 点作 DE⊥x 轴,垂足为 E,在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm,A′E′=AE=AD· cos 30° 3 3 1 3 = 3(cm),DE=AD· sin 30° = (cm).过 E′作 E′D′∥y′轴,使 E′D′= ED= cm,再过点 D′ 2 2 2 4 作 D′C′∥x′轴,且使 D′C′= CD=2 cm. (3)连接 A′D′,B′C′,并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线,则四边形 A′B′C′D′就是梯形 ABCD 的直观图.

2 2 2 2.画法:(1)在△ABC 中,以 A 为原点,边 AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xAy,画出对应的 x′轴、y′轴,使∠x′A′y′=45° . (2)过 C 作 CD⊥x 轴于点 D,在 x′轴上取 A′B′=AB,A′D′=AD.过 D′作 D′C′∥y′轴,并 1 取 D′C′= DC. 2 (3)连接 A′C′,B′C′,并擦去 x′轴、y′轴及 D′C′,则△A′B′C′就是△ABC 的直观图. 迁移与应用 1.

活动与探究 2 思路分析:逆用斜二测画法还原图形,再求出原图形的高,进而求出原 图形的面积. 解:如图,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.

在过点 D 作的 y 轴的平行线上截取 DA=2D1A1=2. 在过点 A 作的 x 轴的平行线上截取 AB=A1B1=2. 连接 BC,即得到了原平面图形. 由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底长度分别为 AB=2,CD=3,高 2+3 AD=2.所以原图形的面积为 S= ×2=5. 2 迁移与应用 1.C 2.画法:(1)画直角坐标系 xCy,在 x 轴上取 CA=C′A′,如图①; (2)在原题图中, 过 B′作 B′D′∥y′轴, 交 x′轴于 D′, 在 x 轴上取 CD=C′D′, 过 D 作 DB∥y 轴,并使 DB=2D′B′; (3)连接 AB,BC,则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形,如图②.

活动与探究 3 思路分析:由三视图知,该几何体是六棱台.用斜二测画法画出上、下 底面,连接对应的顶点即得直观图. 画法:(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画两底面.由三视图知该几何体是底面为正六边形的六棱台,用斜二测画法画出底 面 ABCDEF, 在 z 轴上截取 OO′, 使 OO′等于三视图中的相应高度. 过 O′作 Ox 的平行线 O′x′, Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画出底面 A′B′C′D′E′F′. (3)成图.连接 A′A,B′B,C′C,D′D,E′E,F′F,整理得到三视图表示的几何体的直观 图,如图②.

迁移与应用 解:由三视图可知该空间几何体是一圆台, 下面画出它的直观图. 画法:(1)画轴.如图(1),画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点 O,使∠xOy=45° ,∠xOz

=90° .

(2)画圆台的两底面,画出底面⊙O,假设交 x 轴于 A,B 两点,在 z 轴上截取 O′,使 OO′等于三视图中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′ 画出底面⊙O′,设⊙O′交 x′轴于 A′,B′两点. (3)成图.连接 A′A,B′B,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,即得到给出的三视 图所表示的几何体的直观图(如图(2)). 【当堂检测】 1.A 2.D 3.①④ 4.2.5 5.画法:(1)画轴.如下图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° .

(2)画圆台的两底面,利用椭圆模板,画出底面⊙O.在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等于三 视图中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画出上底面 ⊙O′(与画⊙O 一样). (3)画圆锥的顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图中相应的高度. (4)成图.连接 PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.


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