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2016年5月宁德市第二次质检理科数学试题



2016 年宁德市普通高中毕业班质量检查

理科数学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 4 至 6 页,满分 150 分. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准 考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每

小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题 卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题 (1)已知复数 z ? 1 ? i ,则 的值等于 z ?1 ( A) i (B) ?i ( C) 1 (D) ?1 2 (2)设全集 U ? {0,1, 2} , A ? {x | x ? ax ? b ? 0} ,若 U A ? {0,1} ,则实数 a 的值为 ( A) 2 (B) ?2 ( C) 4 (D) ?4 (3)阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入的 n ? 3 ,则输出的结果为

z ?1

( A) 6 ( B) 7 ( C) 8 ( D) 9 (4) Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S2 , S4 , S3 成等差数列,则数列 ?an ? 的公比 q 等于 ( A)

1 2

( B) 2

(C) ?2

( D) ?

1 2

(5)已知双曲线的离心率为 3 ,一个焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则该双曲线的方程可以是 y2 y2 y 2 x2 y 2 x2 ( A) x 2 ? ( B) x 2 ? ( C) ( D) ?1 ?1 ? ?1 ? ?1 4 2 2 4 4 2

-1-

?2 x ? y ? 4, ? x ? y ? 1, (6)设 x , y 满足条件 ? ? x ? 2 y ? 2, 且 z ? x ? y ? a ( a 为常数)的最小值为 4 ,则实数 a 的值为 ?
5 ( B) 2 ( C) 4 ( D) 5 3 (7)现有 A, B 两个箱子, A 箱装有红球和白球共 6, B 箱装有红球 4 个、白球 1 个、黄球 1 个.现甲从 A 箱 中任取 2 个球, 乙从 B 箱中任取 1 个球. 若取出的 3 个球恰有两球颜色相同, 则甲获胜, 否则乙获胜. 为 了保证公平性, A 箱中的红球个数应为 ( A) 2 ( B) 3 ( C) 4 ( D) 5

( A)

?? ? ? (8)已知命题 p : y ? sin ? x ? ? 在 ? 0, ? ? 上是减函数;命题 q :“ a = 3 ”是“直线 x ? 为曲 ? 2? ? 线 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一条对称轴”的充要条件.则下列命题为真命题的是 ( A) p ? q ( B) ? p ? ? q ( C) ? p ? q ( D) p ? ? q (9)在空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,0,0), (2,1,1),(0,1,1).若画该四面体三视图时,正视图以 zOy 平面为投影面,则 得到的侧视图是

(A) (B) ( C) (D) o 2 (10)过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 45 的直线交 C 于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆被
x 轴截得的弦长为 16 3 ,则 p 的值为

( A) 8

( B) 8 3

(C) 12

(D) 16

(11)已知四面体 ABCD 的一条棱长为 a ,其余各棱长均为 2 3 ,且所有顶点都在表面积为 20? 的球面上, 则 a 的值等于 ( A) 3 3 ( B) 2 5 ( C) 3 2 ( D) 3 3 2 (12)已知点 A(1,1) ,点 P 在曲线 f ( x) ? x ? 3x ? 3x (0 ? x ? 2) 上,点 Q 在直线 y ? 3x ? 14 上,
M 为线段 PQ 的中点,则 AM 的最小值为

( A)

2 10 5

( B)

10 2

(C) 10

( D)

7 10 5

-2-

2016 年宁德市普通高中毕业班质量检查

理科数学
第 II 卷
注意事项: 第 II 卷共 3 页,须用黑色签字笔在答题卡上书写作答.若在试卷上作答,答案无效.

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题

? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? (13)已知 ?ABC 为等边三角形, BA 在 BC 方向上的投影为 2, AD ? 3DC ,则 BD ? AC ? ___. 2 (14) (1 ? 2 x)( x ? )5 展开式中 x 的系数为 . x ?? x 2 ? a, x ? 0, ? (15)已知函数 f ( x) ? ? 1 ? x 若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 恰有两个零点,则实数 a 的取 , x ? 0. ? 2( x ? 1) ? 值范围是 . a a1 a2 9 4n ?1 (16)若数列 ?an ? 满足 ? ? L ? n ? ? n ,且对任意的 n ? N* , 存在 m ? N* , 使得不 1 3 2n ? 1 4 5 等式 an ? am 恒成立,则 m 的值是 . 三、解答题 (17) 如图,在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? b(sin C ? cos C ) . (Ⅰ)求 ?ABC ; ? (Ⅱ)若 ?A= , D 为 ?ABC 外一点, DB ? 2 , DC ? 1 ,求四边形 ABDC 面积的最大值. 2
A

B D

C

-3-

(18) 某职业学校有 2000 名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了 100 名学生,并将统 计结果绘成直方图如右:

(Ⅰ)试估计该校学生在校月消费的平均数; (Ⅱ)根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额 x (元)和服务部可获得利润 y (元) ,满 足关系式:

?20, 200 ? x ? 400, ? y ? ?40, 400 ? x ? 800, 根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答下列问题: ?80, 800 ? x ? 1200. ?
2 ,用于资助在校月消费低于 400 元的学生,那么受资助的学 9

(ⅰ)对于任意一个学生,校服务部可获得的利润记为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望. (ⅱ)若校服务部计划每月预留月利润的 生每人每月可获得多少元?

-4-

(19) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AD // BC , PA ? 3 , AD ? 4 , AC ? 2 3 , ?ADC ? 60? , ??? ? ??? ? E 为线段 PC 上一点,且 PE ? ? PC . (Ⅰ)求证: CD ? AE ; (Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 PAD ,直线 AE 与平面 PBC 所成的角的正弦值为
3 3 ,求 ? 的值. 8

-5-

(20)已知点 F (1, 0) ,点 P 在圆 E : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16 上,线段 PF 的垂直平分线交 PE 于点 M . 记点 M 的轨 迹为曲线 ? . 过 x 轴上的定点 Q(m, 0)(m ? 2) 的直线 l 交曲线 ? 于 A, B 两点. (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)设点 A 关于 x 轴的对称点为 A ' ,证明:直线 A ' B 恒过一个定点 S ,且 OS ? OQ =4.

-6-

a (21)已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? ln x . 2 (Ⅰ)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求证: (2a ? 1) f ( x) ? 3ea ?3 .

-7-

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 已知⊙ A 和⊙ B 的公共弦 CD 与 AB 相交于点 E , CB 与⊙ A 相切, ⊙ B 半径为 2 , AE ? 3 . (Ⅰ)求弦 CD 的长; (Ⅱ) ⊙ B 与线段 AB 相交于点 F ,延长 CF 与⊙ A 相交于点 G ,求 CG 的长.. (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 6cos ? , 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C : ? ( ? 为参数 ) , ? y ? 3sin ?
以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若点 A, B 为曲线 C 上的两点,且 OA ? OB ,求 OA ? OB 的最小值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? a (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? x 的解集; 1 (Ⅱ)当 x ? ? 时,不等式 f ( x) ? t 2 ? 2t ? 3 ? 0 对任意 t ? R 恒成立,求实数 a 的取值 2 范围.

-8-

2016 年宁德市普通高中毕业班质量检查

参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. (1)A(2)D(3)B(4)D(5)C(6)B(7)D(8)C (9)C(10)A(11)C(12)B 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 20 分. (13) 4 (14)40 (15) (0, ??) ? {? 1} (16) 5 4 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,∵ a ? b(sin C ? cos C ) , ∴ sin A ? sin B (sin C ? cos C ) ,……1 分 ∴ sin(? ? B ? C ) ? sin B (sin C ? cos C ) ,∴ sin( B +C ) ? sin B (sin C ? cos C ) ,……………2 分 ∴ sin B cos C ? cos B sin C ? sin B sin C ? sin B cos C , ……………………………… 3 分 ∴ cos B sin C ? sin B sin C ,又∵ C ? (0, ?) ,故 sin C ? 0 ,………………………4 分 ∴ cos B ? sin B ,即 tan B ? 1 .……………………………………………5 分 ? 又 B ? (0, ?) ,∴ B ? .……………………………………………6 分 4 (Ⅱ)在 ?BCD 中, DB ? 2 , DC ? 1 ,∴ BC 2 =12 ? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? cos D ? 5 ? 4 cos D .…7 分 ? ? 又 A= ,由(Ⅰ)可知 ?ABC ? ,∴ ?ABC 为等腰直角三角形,………8 分 2 4 1 1 1 5 S?ABC ? ? BC ? ? BC ? BC 2 ? ? cos D , ……………………………… 9 分 2 2 4 4 1 又 S?BDC ? ? BD ? DC ? sin D ? sin D , ……………………………………10 分 2 5 5 ? ∴ S四边形ABDC ? ? cos D ? sin D ? ? 2 sin( D ? ) . ……………………11 分 4 4 4 ?? 5 ∴当 D = 时,四边形 ABDC 的面积有最大值,最大值为 ? 2 .………12 分 4 4 (18) 解:(Ⅰ)学生月消费的平均数 1 1 3 1 1 x?( ? 300 ? ? 500 ? ? 700 ? ? 900 ? ? 1100) ? 200 ……2 分 4000 1000 1000 2000 4000 ? 680 …………………………………………4 分 (Ⅱ) (ⅰ)月消费值落入区间 ? 200, 400 ? 、 ? 400,800 ? 、 ?800,1200? 的频率分别为 0.05、 0.80、0.15;……………………………5 分 因此 P (? ? 20) ? 0.05 , P (? ? 40) ? 0.80 , P (? ? 80) ? 0.15 即 ? 的分布列为 20 40 80 0.05 0.80 0.15 P …………………………………………………7 分 ………………6 分

?

………………9 分 (ⅱ)服务部的月利润为 45 ? 2000 ? 90000 (元) ……………………………10 分 受资助学生人数为 2000 ? 0.05 ? 100 …………………………………………11 分 2 每个受资助学生每月可获得 90000 ? ? 100 ? 200 (元) …………………12 分 9 19.解: (Ⅰ)在 ?ADC 中, AD ? 4 , AC ? 2 3 , ?ADC ? 60? , AD sin ?ADC ? 1 ,??ACD ? 900 即 DC ? AC .… 3 分 由正弦定理得: sin ?ACD ? AC ? PA ? 平面 ABCD , ? DC ? PA . ………………………… 4 分 ? CD ? 面PAC .………………………… 又 AC I PA ? A , 5分 ? AE ? 面PAC ,? CD ? AE . ………………………… 6 分
-9-

? 的数学期望值 E (? ) ? 20 ? 0.05 ? 40 ? 0.80 ? 80 ? 0.15 ? 45

(Ⅱ)? PA ? 平面 ABCD , ? PA ? AB , PA ? AD .? ?BAD 即为二面角 B ? PA ? D 的平面角. ? 平面 7分 PAB ? 平面 PAD , ??BAD ? 900 .………………………… 以 A 为 原 点 , 以 AB, AD, AP 所 在 直 线 分 别 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 , 则

A(0,0,0), B( 3,0,0), C ( 3,3,0), P(0,0,3) , PB ? ( 3,0,?3), BC ? (0,3,0) . 8 分
设 E ( x0 , y 0 , z 0 ) ,由 PE ? ? PC 即 ( x0 , y0 , z0 ? 3) ? ? , ( 3, 3, ? 3) uuu v 得 x0 ? 3? , y0 ? 3? , z0 ? 3 ? 3? ,? AE ? ( 3? ,3? ,3 ? 3? ). …………………… 9 分 uuv uuu v 设平面 PBC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ), 则 n ? PB, n ? BC , uuv ? ? 3x ? 3z ? 0, ?n ? PB ? 0, ? ? ? uuu 即? 令 x ? 3 ,得 n ? ( 3,0,1). ………… 10 分 v ? ?3 y ? 0, ?n ? BC ? 0, ? 设直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则 uuu r 3? ? 3 ? 3? n ? AE 3 3 3 ……11 分 sin ? ? ? ? uuu r ? 2 2 2 2 8 , 2 21? ? 18? ? 9 n ? AE 2 3? ? 9? ? (3 ? 3? )

11 .…………… 12 分 21 3 20.解: (Ⅰ)由题意可知, MP ? MF ,∴ ME ? MF ? 4 ,……………………1 分

?? ?1或

∵ ME ? MF ? EF ,∴点 M 的轨迹是以点 F (1, 0) 和 E (?1, 0) 为焦点, 2a ? 4 的椭圆, 2 分

x2 y 2 ? ? 1 . ………4 分 4 3 (Ⅱ)由椭圆的对称性可得,定点 S 必在 x 轴上. ………………………5 分 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 直 线 A ' B 与 x 轴 的 交 点 为 S ( s, 0) 则 A '( x1 , ? y1 ) , ??? ? ??? SA ' ? ( x1 ? s, ? y1 ) , SB ? ( x2 ? s, y2 ) ,
∴ b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,…………3 分 ∴曲线 ? 的方程为

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 12 ? 0 ,…………………6 分 3 ? y ? k ( x ? m), ? ? 8k 2 m x1 +x2 ? , ? ? 3 ? 4k 2 2 2 ………………7 分 ? ? 0 ,即 (4 ? m )k ? 3 ? 0 , ? 2 2 ? x x ? 4k m ? 12 . 1 2 ? 3 ? 4k 2 ? 当 k ? 0 时,由 A ', B, S 三点共线,可得 ( x1 ? s ) y2 ? ( x2 ? s ) y1 ? 0 , 即 k ( x1 ? s )( x2 ? m) ? k ( x2 ? s )( x1 ? m) ? 0 ,………………………………………8 分
4k 2 m 2 ? 12 8k 2 m ? ( s ? m ) ? 2 sm ? 0 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 6 sm ? 24 4 4 ? 0 ,……………10 分 ∴ ∴ s = ,即 S ( , 0) , ………………11 分 m 3 ? 4k 2 m 4 k ? 0 时,直线 A ' B 与 x 轴重合,过点 S ( , 0) . m 4 4 综上述,直线 A ' B 恒过一个定点 S ( , 0) ,且 OS ? OQ ? ? m =4. ……12 分 m m 1 (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?ax ? (a ? 1) ? ………………………………………1 分 x 2 (ax ? 1)( x ? 1) ax ? (a ? 1) x ? 1 ,………………………………………2 分 ?? ?? x x ∵ x ? 0 , a ? ?1 , ∴①当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,
2 x1 x2 ? ( s ? m)( x1 ? x2 ) ? 2 sm ? 0 ,∴ 2 ?

故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ;………3 分 1 1 1 ②当 ?1 ? a ? 0 时, ? ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? ? ;令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? ? , a a a
- 10 -

1 1 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (? , ??) ,单调递减区间为 (1, ? ) ; 4 分 a a 1 ③当 a ? 0 时, ? ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , a 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) , 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ; 1 当 ?1 ? a ? 0 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0,1) 和 (? , ??) , 单 调 递 减 区 间 为 a 1 (1, ? ) .…………………………………………………………………………5 分 a (Ⅱ)∵ a ? 1 ,故由(Ⅰ)可得函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) , 1 ∴ f ( x) 在 x ? 1 时取得极大值,并且也是最大值,即 f ( x) max ? a ? 1 .……6 分 2 1 又 2a ? 1 ? 0 ,∴ (2a ? 1) f ( x) ? (2a ? 1)( a ? 1) .…………… 7 分 2 1 (2a ? 1)( a ? 1) (2a 2 ? 9a ? 7) (a ? 1)(2a ? 7) 2 ? g ( a ) ? ? ?? 设 g (a) ? ,则 ,……8 分 2e a ?3 2e a ?3 ea ?3 7 7 所以 g (a) 的单调递增区间为 (1, ) ,单调递减区间为 ( , +?) ,………… 9 分 2 2 3 6? 7 9 所以 g (a) ? g ( ) ? 1 4 ? ,………………………………………10 分 2 2 e 2 e 9 9 ? 2 e ? 3 ,∴ ? ? 3 ,……11 分 2 e 3
∴ g (a) ? 3 ,又? e a ?3 ? 0 ? (2a ? 1) f ( x) ? 3e a ?3 .………12 分 (23)解: (1)依题意曲线 C 的普通方程为 ∵x?

? cos? , y ? ? sin ?

x2 y2 ? ? 1 .…………2 分 36 9

,……3 分
2

∴曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

36 .…5 分 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

(说明:方程写成 ? 2 cos 2 ? ? 4 ? 2 sin 2 ? ? 36 同样得分)

( (2)由椭圆的对称性,设点 A, B 的极坐标分别为 , ? 2,? ? (?1,?)
|OA | | ? OB | ? ?1 × ?2 ? 则 6 cos ? ? 4sin ?
2 2

?
2

) ,其中 ? ? ?0, ) ……6 分
2

?

?

……7 分 cos(? ? ) ? 4sin(? ? ) 2 2
2

6

?

2

?

9 4 ? sin 2 2? 4 ? 72 |OA| | ? OB| 当且仅当 sin 2 2θ = 1 即 ? ? , 取到最小值 .…………10 分 4 5 (24)解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ? x , …………1 分

?

6 1 ? 3 sin 2 ?

?

6 1 ? 3cos 2?

?

36 4 ? 9 sin 2 ? cos 2 ?

?

36

?

72 …9 分 5

1 1 ,不等式化为 2 x ? 2 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? ? ;…………2 分 2 2 1 1 当 ? ? x ? 1 ,不等式化为 2 x ? 0 ,解得 ? ? x ? 0 ; …………3 分 2 2
当x??
- 11 -

当 x ? 1 ,不等式化为 2 ? 0 ,无解; 所以 f ( x) ? x 解集为 ?x | ?1 ? x ? 0?.…………5 分 (2) ∵当 x ? ?

…………4 分

1 时 f ( x) ? ?2 x ? 1 ? (a ? x) ? ? x ? a ? 1 , 2
2

1 1 ∴ f ( x)min ? f (? ) ? ? ? a . …………6 分 2 2
∵ t ? 2t ? 3 ? (t ? 1) ? 2 ? 2 , …………7 分
2

要使当 x ? ? 则当 x ? ?

1 2 时 f ( x) + t ? 2t ? 3 ? 0 对任意 t ? R 恒成立, 2

1 时 f ( x) + 2 ? 0 恒成立,…………9 分 2

1 ∴ ? ? a ? 2 ? 0 ,又由已知 a ? 0 2 3 ∴ 0 ? a ? .…………10 分 2

- 12 -



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