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2015-2016学年高中数学 1.3.1二项式定理与二项展开式学案 新人教A版选修2-3



2015-2016 学年高中数学 1.3.1 二项式定理与二项展开式学案 新人 教 A 版选修 2-3

基 础 梳 理 1.二项式定理. n 0 n 1 n-1 k n-k k n n * (a+b) =Cna +Cna b+…+Cna b +…+Cnb (n∈N ). (1)这个公式所表示的定理叫做二项式定理. n (2)展开式:等号右边的多项式叫做(a+

b) 的二项展开式,展开式中一共有(n+1)项. k (3)二项式系数:各项的系数 Cn(k∈0,1,2,…,n)叫做二项式系数.

2.二项展开式的通项. n k n-k k (1)通项公式:(a+b) 展开式的第 k+1 项 Tk+1=Cna b (k=0,1,2,…,n)称为二项 展开式的通项公式. n n (2)(a-b) 的通项将-b 看成 b 代入二项式定理中,得到(a-b) 展开式中第 k+1 项为 n-k k Tk+1=(-1)kCk b (k=0,1,2,…,n). na

自 测 自 评 1.(2014·高考四川卷)在 x(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数为(C) A.30 B.20 C.15 D.10 6 2 2 6 3 解析:(1+x) 展开式中,含 x 项的系数为 C6,所以 x(1+x) 展开式中,含 x 项的系数 2 为 1·C6=15.故选 C. 3 2 1 2.设 S=(x-1) +3(x-1) +3(x-1) +1,则 S 等于(C)
6 3

1

A.(x-1) B.(x-2) 3 3 C.x D.(x+1) 3 3 解析:S=[(x-1)+1] =x . 故选 C. 5 ? 2 2? 3.(2013·江西卷)?x - 3? 展开式中的常数项为(C)

3

3

?

x?

A.80 B.-80 C.40 D.-40 解析:Tr+1=C5(x )
r
2 5-r

?- 23? =(-2)rCrx10-5r,令 10-5r=0 得 r=2. ? x? 5 ? ?
2 2

r

所以有常数项为 T3=C5(-2) =40.

二项式(a+b) 展开式的通项中,因 a 与 b 的顺序颠倒而出错

n

? x- 2 ?n ? 【典例】 ? 3 2? 展开式中第三 项的系数比第二项的系数大 162,则含 x 的一次 ? x? ?
方 的 项 ________________________________________________________________________. 1 2 2 解析:据题意有:Cn·2 -(-Cn·2)=162,即 2n(n-1)+2n=162,∴n=9. 2 ?r 9-r? 9-r 2r 9-r 2r r r ?- ? =Cr 则 Tr+1=C9( x) - 由 - =1,∴r=3. 9·(-2) ·x 3 ? 2 3 2 3 2? 是

?

x?

∴T4=(-1) ·2 ·C9x=-672x. 【易错剖析】1.本题中若 x与 3
n n

3

3

3

2

的顺序颠倒,项随之发生变化,导致出错;

x2

2.二项式(a+ b) 与(b+a) 的展开式相同,但通项公式不同,对应项也不相同,在遇 到类似问题时,要注意区分.

基 础 巩 固 1.设 P=1+5(x+1)+10(x+1) +10(x+1) +5(x+1) +(x+1) ,则 P 等于(B) 5 5 A.x B.(x+2) 5 5 C.(x-1) D.(x+1) 0 1 2 2 5 5 5 5 解析:P=C5+C5(x+ 1)+C5(x+2) +… +C5(x+1) =(x+1+1) =(x+2) .故选 B. 2.在?
2 3 4 5

? x 2 ?6 - ? 的二项展开式中,x2 的系数为(C) 2 x? ?

2

15 A.- 4

15 3 B. C.- 4 8
r

D.

3 8

解析:∵Tr+1=C6?
r

? x?6-r ?- 2 ?r ·? ? ? x? ?2? ?

=C6(-1) 2 x (r=0,1,2,…,6), 令 3-r=2 得 r=1. 3 2 1 1 -4 ∴x 的系数为 C6(-1) ·2 =- ,故选 C. 8 3.(2015·湖北卷)已知的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二 项式系数和为(D) 12 11 10 9 A.2 B.2 C.2 D.2 3 7 3 n-3 n-3 7 解析:由题意 Cn=Cn,又因为 Cn=Cn ,所以 Cn =Cn,得 n=10,所以,奇数项的二项 1 10 9 0 2 4 6 8 10 式系数和为 C10+C10+C10+C10+C10+C10= ×2 =2 .故选 D. 2 3 3 3 3 ? 的展开式中, 4. 在(1+x) +(1+ x) +? x 的系数为________(用数字作答). ?1+ x? 解析:x 的系数为 C3C2+C3C1+C3=3 +3+1=7. 答案:7 能 力 提 升 2?n ? 5.在? x+ ? 的展开式中,常数项为 60,则 n 等于(B)
1 2 2 1 3

r 2r-6 3-r

?

x?

A.3

B.6
r n

C.9

D.12

解析:Tr+1 =C ( 令

n-3r n-r 2 r ? ? r r x) ?x? =2 Cnx 2 . ? ?

n-3r
2
r r

=0,则 n=3r.

∴2 C3r=60,试验知 r=2,∴n=6. 5 2 5 6.(2013·湛江一模)若(x+1) =a0+a1(x-1)+a2(x-1) +…+a5(x-1) ,则 a0=(B) A.1 B.32 C.-1 D.-32 5 5 0 5 1 4 5 5 解析:因为(x+1 ) =[2+(x-1)] =C52 +C52 (x-1)+…+C5(x-1) , 5 2 5 0 5 又(x+1) =a0+a1(x-1) +a2(x-1) +…+a5(x-1 ) ,故 a0=C52 =32,故选 B. 6 ? 2 b? 3 2 2 7.(2014·高考山东卷)若?ax + ? 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a +b 的最小值为

?

x?

________. 6 r ? 2 b? r 2 6 -r?b? 6-r r r 12-3r 解析:?ax + ? 展开式的通项为 Tr+1=C6(ax ) ? ? =a b C6x ,令 12-3r=3,得

?

x?

?x?

2 2 2 2 r=3,所以由 a6-3b3C3 6=20,得 ab=1,从而 a +b ≥2ab=2,当且仅当 a=b 时,a +b 的最

小值为 2.

3

答案:2 8 2 7 8.(2014·高考新课标卷Ⅰ)(x-y)(x+y) 的展开式中 x y 的系数为________(用数字 填写答案). 8 r 8-r r 7 7 7 解析:(x+y) 展开式通项为 Tr+1=C8x y ,0≤k≤8,当 r=7 时,T8=C8xy =8xy ;当 2 6 2 6 8 2 7 7 2 6 k=6,T7=C6 8x y =28x y ,故(x-y)(x+y) 的展开式中 x y 项为 x·8xy +(-y)·28x y = 2 6 -20x y .所以所求系数为-20. 答案:-20

?3 1 ?n ? ? 展开: x - 9.将二项式 ? 3 ? 2 x? ?
(1)若展开式中含有常数项,求最小的正整数 n; (2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式的常数项. 解析:(1)通项公式为

n-r 1 r n-2r r r? 1?r ? ? Tr+1=C x 3 ?- ? x- =Cn?- ? x 3 ,
r n

? 2?

3

? 2?



n-2r
3
*

=0,得 n=2r.

∵n∈N ,r∈N,∴n 的最小值为 2.

?3 1 ?n ? ? 的展开式的前三项系数的绝对值为 1,1n,n(n-1),∴2×1n=1 x - (2)∵ ? 2 8 2 3 ? 2 x? ?


n(n-1)
8
2



∴n -9n+8=0.∴n=8 或 n=1(舍去). 设展开式中的常数项为第 r+1 项,

r 8-2r ?- 1 ?r 8-2r ? 1? ? =Cr ∴Tr+1=C8( x) ·? =0,得 r=4, 3 ,令 8?- ? ·x 2 ? 2 3 x? 3 ? ? ? ?
r

3

8- r

4 ? 1? 35 4 ∴展开式中的常数项为 T5=C8·?- ? = . 8 ? 2? 10.求(x +3x+2) 的展开式中 x 的系数. 分析:转化为二项式问题或利用组合知识. 2 5 5 5 0 5 1 4 5 5 0 5 解析:法一 ∵(x +3x+2) =(x+2) ·(x+1) =(C5x +C5x ·2+…+C5·2 )(C5x + 1 4 5 4 4 5 5 5 4 C5x +…+C5),展开后 x 项为 C5x·2 ·C5+C5·2 ·C5x=240x. 2 5 ∴(x +3x+2) 展开式中 x 的系数为 240. 2 5 2 5 法二 ∵(x +3x+2) =[x +(3x+2)] , r 2 5-r r 设 Tr+1=C5(x ) (3x+2) , r k r-k k 在(3x+2) 中,设 Tk+1=Cr(3x) 2 , 2 5-r k r-k k r k r-k k 10-r-k Tr+1=Cr Cr(3x) 2 =C5Cr3 2 x , 5(x ) 依题意可知 10-r-k=1,即 r+k=9. * 又 0≤k≤r≤5,r,k∈N ,∴r=5,k=4. 5 4 4 ∴Tr+1=C5·C5·3·2 ·x=240x.
2 5

4

∴(x +3x+2) 展开式中 x 的系数为 240. 2 5 2 法三 把(x +3x+2) 看成 5 个 x +3x+2 相乘,每 个 因式各取一项相乘得到展开式中 1 4 4 的一项,x 项可由 1 个因式取 3x,4 个因式取 2 得到,C53x·C4·2 =240x. 2 5 故(x +3x+2) 展开式中 x 的系数为 240. 点评:三项式求特定项的思路有: (1)分解因式法:通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后再用二项式定理分别展 开. (2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开. (3)利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成,注意 最后应把各个同类项相合并.

2

5

5



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