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北京师范大学附属实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题



北师大附属实验中学
2014-2015 学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷(文科一卷) 班级 姓名 学号 分数

试卷说明: 1、本试卷考试时间为 120 分钟,总分为 150 分;试卷一 100 分,试卷二 50 分; 2、试卷共 4 页,一卷共三道大题,17 道小题;二卷共两道大题,8 道小题. 命题人:高二数学备课组 审题人:姚玉平

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一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每题只有一个正确答案, 请将正确答案的序号涂在答题卡上) 1. 已知两条相交直线 a , b , a // 平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 A. b ? 平面 ? C. b // 平面 ? A. 0 A. x ? ?1 C. x ? ?1 或 5x ? 12 y ? 55 ? 0 B. ? 8 B. b ? 平面 ? D. b 与平面 ? 相交,或 b // 平面 ? C. 2 D. 10

2.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 3.过点 M (?1,5) 作圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的切线,则切线方程为 B. 5x ? 12 y ? 55 ? 0 D. x ? ?1 或 12 x ? 5 y ? 55 ? 0

4.设 m, n 表示两条不同的直线,?、? 表示两个不同的平面,则下列命题中不正确 ... 的是 A. m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? C. m ? ? , n ? ? ,则 m / / n 5.已知 A. C. ,则线段 B. m / / n , m ? ? ,则 n ? ? D. m / /? , ? ? ? ? n ,则 m / / n 的垂直平分线的方程是 B. D.

6.在△ABC 中, AB ? 4, BC ? 3, ?ABC ? 90? ,若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则 所形成的几何体的体积是 A. 36? B. 28? 7.某正三棱柱的三视图如图所示, 该正三棱柱的表面积是 A. 6 ? 3 B. 12 ? 3 C. 20? D. 16?

其中正(主)视图是边长为 2 的正方形,

C. 12 ? 2 3

D. 24 ? 2 3

8.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 为 2 的点 C 的个数为 A.4 B.3 C.2

的图象上,则使得 D.1

的面积

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 平行线 和 的距离是 .

10.棱锥的高为 16cm,底面积为 512 cm2 ,平行于底面的截面积为 50 cm2 ,则截面 与底面的距离为 .

11.平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 ,球心 O 到平面 ? 的距离为 2 ,则此球的 表面积为 .
4 3

12.如图,若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个 矩形所在平面互相垂直, 则 cos? : cos? ? .

?
?

2

13. 若圆 C 的半径为 1, 其圆心与点(1,0)关于直线

y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为_______.
14. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至 少存在一点 , 使得以该点为圆心 ,1 为半径的圆与圆 C 有公共点 , 则 k 的最大值是 _ .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分,写出必要的解答过程) 15.在平面直角坐标系 xOy 内有三个定点 A(2, 2), B(1, 3), C(1, 1) ,记 ?ABC 的 外接圆为 E .
(Ⅰ)求圆 E 的方程;

(Ⅱ)若过原点 的直线 l 与圆 相交所得弦的长为 2 ,求直线 l 的方程.

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 °,平 面 PAB ? 平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点.
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: AB ? PE ; A C B O为A 17. 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 底面 AA1 ? 底面 ABCD , AC AABCD 为菱形, 1 1 D A E A P A



B1D1




?






A1

D1 O B1

C1

AA1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60 .
(Ⅰ)求证: A1C1

? 平面 B1BDD1 ;
D A B C

(Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ;

(Ⅲ)设点 M 在 ?BC1D 内(含边界),且
OM ? B1D1 ,说明满足条件的点 M 的轨

迹,并求 OM 的最小值. 2014-2015 学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷(文科二卷) 四、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将正确答案填在横线上) 18.已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 A,B 两点,
2 2

且 ?ABC 为等边三角形,则实数 a ? _________. 19. 空间四边形 ABCD 中,若 AB ? BC ? CD ? DA ? BD ? 1 ,则 AC 的取值范围是 _________. 20.从直线 别是 上的点向圆 做切线,则切线长的最小值为_________. , 腰长为 4 的等腰三角形, . 分 21. 已知正三棱锥 的每个侧面是顶角为

上的点,则 ?AEF 的周长的最小值为

22.设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的 取值范围是________. 五、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分,写出必要的解答过程) 23.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC, AC ? AA1 ,E , F 分 别是棱 BC、CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: AB ⊥平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF //平面 ABC1 ,
C1 B1 F D E B A1



确定点 D 的位置,并说明理由;

C

A

(Ⅲ)证明: EF ? AC 1 .

24. 已知圆 象限,半径为 2 .
(Ⅰ)求圆 的方程;

关于直线

对称,圆心 在第二

(Ⅱ)是否存在直线 与圆 相切,且在 轴、 轴上的截距相等?若存在,写出满足

条件的直线条数(不要求过程) ;若不存在,说明理由. 25.已知点 P(2, 0) 及圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0
(Ⅰ)设过 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M , N 两点,当 MN ? 4 时,求以 MN 为直径的

圆的方程;
(Ⅱ) 设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A ,B 两点, 是否存在实数 a , 使得过点 P(2, 0)

的直线 l2 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 北师大实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二文科数学期 中试卷答题纸 班级 一卷 一.选择题:请将正确答案的序号涂在机读卡上 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 12. 三.解答题 15. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 内有三个定点 A(2, 2), B(1, 3), C(1, 1) , 记 ?ABC 的外 接圆为 E .
(Ⅰ)求圆 E 的方程;

姓名

学号

分数_________

; ;

10. 13.

; ;

11 . 14.

; ;

(Ⅱ)若过原点 的直线 l 与圆 相交所得弦的长为 2 ,求直线 l 的方程.

16. (本题满分 10 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 °,平 面 PAB ? 平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点.
( Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: AB ? PE ; A D A E A C A P A

B A

17. (本题满分 10 分) ABCD ,底面 ABCD 为菱形, O 为 在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AA 1 ? 底面
? AC 1 1与B 1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60 . 1D 1 交点,已知 AA

(Ⅰ)求证: A1C1

? 平面 B1BDD1 ;

(Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ; (Ⅲ)设点 M

在 ?BC1D 内(含边界),且 OM ? B1D1 ,说明满足条件的点 M 的轨
D1 A1 O B1 C1

迹,并求 OM 的最小值.

D A B

C

二卷 四.填空题(每小题 4 分,共 20 分) 18. 21. 五.解答题 23. (本题满分 10 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 ? 底面 ABC ,AB ? AC, AC ? AA1 ,E , F 分 别是棱 BC, CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: AB ⊥平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF //平面 ABC1 ,试确定点 D 的位置,并说

; ;

19. 22.

; .

20.



明理由;
(Ⅲ)证明: EF ? AC 1 .

C1 B1 F D E B

A1

C

A

北师大实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二文科数学期中试卷答题纸 班级 24. (本题满分 10 分) 姓名 学号 分数_________

已知圆 二象限,半径为 2 .
(Ⅰ)求圆 的方程;

关于直线

对称 , 圆心 在第

(Ⅱ)是否存在直线 与圆 相切,且在 轴、 轴上的截距相等?若存在,写出满足

条件的直线条数(不要求过程) ;若不存在,说明理由.

25. (本题满分 10 分) 已知点 P(2, 0) 及圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0
(Ⅰ)设过 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M , N 两点,当 MN ? 4 时,求以 MN 为直径的

圆的方程;
(Ⅱ) 设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A ,B 两点, 是否存在实数 a , 使得过点 P(2, 0)

的直线 l2 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

北师大附属实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二年级文科数学期中试卷参考答案 一卷 一.选择题 1-8: D B 二.填空题 9.2 ; 10. 11 ; 11. 12? ; 12.
5 ; 2
2 2 ) =1 ; 13. x + ( y -1

C D

B D

C A
4 3

14.

三.解答题 15. 解: (Ⅰ) 设 ?ABC 的外接圆 E 的圆心 D(a, b) , 半径为 r(r>0). 则 E 为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 .
?(2 ? a)2 ? (2 ? b)2 ? r 2 由题意,得 ?(1 ? a)2 ? (3 ? b)2 ? r 2 , ? ?(1 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 ?

?a ? 1 解得 ? ?b ? 2 , ?r ? 1 ?

所以 E: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 …………………5 分

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx 或 x ? 0 (舍). 如图,设 l 与圆 E 相交于点 M,N,过圆心 D 作直线 l 的垂线,垂足为 P, 所以 | MN |? 2 | PN |? 2 ,即 | PN |? 2 , 2 在 Rt ?DPN 中, | DN |? 1 , | PN |? 所以 | DP |? | DN |2 ? | PN |2 ?

2 , 2

y D N P . O M

l

2 , 2

又因为圆 E 的圆心到直线 l 的距离 | DP |?

| k ?2| k ?1
2

所以 | DP |?

| k ?2| k 2 ?1

?

2, 2

x

解得 k ? 1 或 k ? 7 , 故直线 l 的方程为 y ? x 或 y ? 7 x .

…………………10 分

16. 解: (Ⅰ)因为 D , E 分别为 AB , AC 中点, 所以 DE ∥ BC , 又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . (Ⅱ)连结 PD , 因为 DE ∥ BC ,又 ?ABC ? 90 °, 所以 DE ? AB . 又 PA ? PB , D 为 AB 中点, 所以 PD ? AB . 所以 AB ? 平面 PDE , 所以 AB ? PE . …………………10 分
B A D A A E A C A P A

…………………5 分

17. 解:(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? 底面 A1B1C1D1 . 又 A1C1 ? 底面 A1B1C1D1 , 所以 BB1 ? AC 1 1. 因为 A1B1C1D1 为菱形, 所以 AC 1 1 ?B 1D 1 .而 BB 1?B 1D 1 ?B 1, 所以 A1C1 ? 平面 B1BDD1 . …………3 分 (Ⅱ)连接 AC ,交 BD 于点 E ,连接 C1E . 依题意, AA1 ∥ CC1 , 且 AA1 ? CC1 , AA1 ? AC , 所以 A1 ACC1 为矩形. 所以 OC1 ∥ AE . 1 1 又 OC1 ? A1C1 , AE ? AC , AC 1 1 ? AC , 2 2 所以 OC1 = AE ,所以 AOC1E 为平行四边形, 则 AO ∥ C1E . 又 AO ? 平面 BC1D , C1E ? 平面 BC1D , 所以 AO ∥平面 BC 1 D . …………………6 分
D E A B D1 O A1 B1 M C C1

(Ⅲ)在 ?BC1D 内,满足 OM ? B1D1 的点 M 的轨迹是线段 C1E ,包括端点. 分析如下:连接 OE ,则 BD ? OE . 由于 BD ∥ B1D1 ,故欲使 OM ? B1D1 ,只需 OM ? BD ,从而需 ME ? BD . 又在 ?BC1D 中, C1D ? C1B ,又 E 为 BD 中点,所以 BD ? C1E . 故 M 点一定在线段 C1E 上. 当 OM ? C1E 时, OM 取最小值. …………………………8 分

在直角三角形 OC1E 中, OE ? 1 , OC1 ? 所以 OM min ? 二卷 四.填空题
18. ? 3 ; 19. 0, 3 ;

3 7 , C1 E ? , 2 2

OC1 ? OE 21 . ? C1E 7

…………………………10 分

?

?

20.

21.

22.[-1,1]

五.解答题 23. 解: (I)? A1 A ? 底面 ABC ,
? A1 A ? AB ,

? AB ? AC , A1 A ? AC ? A ,

? AB ? 面 A1 ACC1 .

…………3 分

(II) ? 面 DEF //面 ABC1 ,面 ABC ? 面 DEF ? DE ,面 ABC ? 面 ABC1 ? AB ,
? AB // DE , ?在 ?ABC 中 E 是棱 BC 的中点, ? D 是线段 AC 的中点.

…………6 分
C1 B1 F D E B A1

(III) ? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 A1 A ? AC
?侧面 A1 ACC1 是菱形,

由(1)可得 AB ? A1C ,
? AB ? AC1 ? A ,
? A1C ? 面 ABC1 , ? A1C ? BC1 .

C

A

又 ? E , F 分别为棱 BC , CC1 的中点,
?EF // BC1 ,
? EF ? AC1 .
2 2

…………10 分

D? ? E? D 2 ? E 2 ? 12 ? D E? ? 24. 圆配方得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? ,圆心 ? ? ,? ? ,直线过圆心,半径 2? ? 2? 4 ? 2 2? ?

为 2,

? D E ? ? ?1 ? 0 ? ?D ? 2 ? 2 2 ?? 2 ,? ? 2 ?E ? ?4 ? D ? E ? 12 ? 2 ? 4 ?
? 圆 C 的方程 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 …………7 分
2 2

假设存在这样的直线 当截距为 0 时,设直线的斜率为 k ,直线方程 y ? kx ,圆心到直线的距离等于半径

?k ?2 k 2 ?1

? 2 ,解之得 k ? 2 ? 6
x y ? ? 1, 即x ? y ? a ,根据圆心到直线的距离等于半径得 a a

当截距不为 0 时,设直线方程

?1 ? 2 ? a 12 ? 12

? 2 ,解之得 a ? ?1或a ? 3

因此这样的直线存在,分别是 y ? (2 ? 6 ) x, x ? y ? 1 ? 0, x ? y ? 3 ? 0 .

…………10 分 25.(Ⅰ)? 弦长 | MN |? 4, 半径r ? 3 ,而弦心距 d ? r 2 ? (
又? | CP |? 5 ,? P 为 MN 中点 则以 MN 为直径的圆的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

MN 2 ) ? 5 2

…………6 分

(Ⅱ)把直线 ax ? y ? 1 ? 0 即 y ? ax ? 1 .代入圆 C 的方程, 消去 y ,整理得 (a2 ? 1) x2 ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 . 由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两点,故 ? ? 36(a ?1)2 ? 36(a2 ? 1) ? 0 , 即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 则实数 a 的取值范围是 ( ??, 0) .

设符合条件的实数 a 存在,由于 l2 垂直平分弦 AB ,故圆心 C (3, ? 2) 必在 l2 上. 所以 l2 的斜率 kPC ? ?2 ,而 k AB ? a ? ?

1 1 ,所以 a ? . 2 k PC

由于

1 ? (??, 0) ,故不存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB . 2

…………10 分

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