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黑龙江省大庆铁人中学2014届高三4月月考数学(文)试题 Word版含答案


考场座位号

黑龙江省大庆铁人中学 2013-2014 学年度高三下学期 4 月月考数学试题(文科) 2014.4 考试时间:120 分钟 总分:150 分

①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? ; ②若 a , b 异面, a ? ? , b ? ? , a / / ? , b / /? ,则 ? / / ? ; ③若 ?

班级

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分,在每题给出的四个选项中,只有 一个是正确的) 1.已知 A ? x ? R | x 2 ? 1 ? 0 , B ? ?x ? Z | log2 ( x ? 3) ? 2?,则 (CR A) ? B ? ( (A) [?1,1] (B) (?3,?1) (C)

? ? a , ? ? ? b , ? ? ? c ,且 a / / b ,则 c / / ? ;

姓名

?

?



④若 a , b 为异面直线, a / /? , b / /? , c ? a , c ? b ,则 c ? ? . (A) ①②④ (B) ②④ (C) ②③④ (D) ③④ )

??1, 0,1?


( D)

?0,1?

1 ? 2i 2. i 是虚数单位,复数 Z ? ,则 Z =( 2?i
(A)

8.下列关于函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? (A) 函数 f ( x ) 在区间 ( ?

?
3

) ? 1 的命题正确的是(

5

(B) 2

(C)

5 5

(D) 1

3. 某程序框图如图所示,若 a ? 3 ,则该程序运行后,输出的 x 的值为( ) (A) 33 ( B) 31 ( C)29 ( D) 27 4.某几何体的三视图如右图 ,(其中侧视图中的圆弧是半圆 ), 则该几何体的表面积为 (A) 92 ? 14? (B) 82 ? 14? (C) 92 ? 24? (D) 82 ? 24? 5 . 若 等 比 数 列

, ) 上单调递增 6 3 k? 5 ? ? (k ?Z ) (B) 函数 f ( x ) 的对称轴方程是 x ? 2 12
(C) 函数 f ( x ) 的对称中心是( k? ?

? ?

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

?

6

,0 ) (k ?Z )

(D) 函数 f ( x ) 以由函数 g ( x) ? 2cos 2 x ? 1 向右平移
2 6

? 个单位得到 6

4

?an?
)

中 满 足 a4 ? a8 ? ?3 , 则

正视图

侧视图

a6 ( a2? 2 a6?
(A)

( a1) 0 ? (B) 3

4

?3

π π ) , f ( ?1) , ( f ? )的 大 小 关 系 为 11 3 π π π π (A) f (? ) ? f (?1) ? f ( ) ( B) f (?1) ? f (? ) ? f ( ) 3 11 3 11 π π π π (C) f ( ) ? f (?1) ? f (? ) ( D) f (? ) ? f ( ) ? f (?1) 11 3 3 11 10.在 ?ABC 中,角 A,B,C 对应边分别是 a,b,c, a ? 5 , b ? 8 , C ? 60? ,
? 9. 已 知 函 数 f ( x ) xs i n x 则 f( ,
则 BC ? CA? | CA ? CB | 等于( (A) ?13 (B) 27 ) (C) 20 3 ? 5 (D) ?20 3 ? 5

(C)

6

(D)

9

5 俯视图 第5题图

? x ? 2 ? 0, ? 6.已知 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 ? 0, ,设 ( x, y) 表示的平面区域为 M ,在区域 M 内任 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
取一点 ,则此点到直线 y ? x ? 2 的距离大于 2 的概率为( (A) )

1 4

(B)

3 4

(C)

1 2

( D)

1 9

x2 y 2 11.双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点为 F1 , F2 ,若 P 为其上的一点,且 a b ) | PF1 |? 2 | PF2 | ,则双曲线离心率的取值范围为( (A) (1,3) (B) (1,3] (C) (3, ??) (D) [3, ??)
12. 关于 x 的方程 e
x ?1

? kx ? 0 (其中 e 是自然对数的底数)的有三个不同实根,则 k 的

7.设 a, b, c 是三条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,则下列命题正确题是(
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 1 页( 共 6 页)

) 取值范围是
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 2 页( 共 6 页)

考场座位号

(A) { k | k > e } { k | k ?1}
2

(B) { k | k > e }

2

2

(C) { k | k ? 1 }

(D)

班级

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在 题中横线上) 13. 若 ? 为锐角,且 cos(? ?

分组 [10,15) [15, 20) [20, 25) [25,30) 合计 .

频数 10 25 m 2

频率 0.25 n p 0.05 1

名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和 频率分布直方图如下:

M

姓名

?
6

)?

3 ? ,则 sin(2? ? ) ? 5 3

14. 21 ?1 ? 2, 22 ?1? 3 ? 3? 4, 23 ?1? 3? 5 ? 4 ? 5 ? 6, 24 ?1? 3? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8, …依此 类推,第 n 个等式为 15. 下列说法: ①“ ?x ? R, 使2x ? 3n ”的否定是“ ?x ? R, 使2x ? 3 ” ; ②若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5xy ,则 3x ? 4 y 的最小值为 .

⑴求出表中 M 、 p 、 m 、 n 的值; ⑵补全频率分布直方图;若该校高一学生有 360 人,试估计他们参加社区服务的次数在区间 ?15, 20? 内的人数; ⑶在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加 社区服务次数在区间 ? 20, 25? 内的概率.

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

28 ; 5

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC, PD ? 底面 ABCD ,

③命题“函数 f ( x)在x ? x0 处有极值,则 f '( x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题; ④ f ( x)是(-?,0) (0,+?)上的奇函数, x ? 0 时的解析式是 f ( x) ? 2x ,则 x ? 0 时的解析式为 f ( x) ? ?2? x. 其中正确的说法是 ______________
?

1 ∠ADC=90°,BC= AD=1, PD=CD=2,Q 为 AD 的中点. 2
(Ⅰ) 若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC, 是否存在实数 t, 使得 PA//平面 BMQ, 若存在,

给出证明并求 t 的值,若不存在,请说明理由;

P

16.球 O 的球面上有三点 A, B, C ,且 BC ? 3, ?BAC ? 30 ,过 A, B, C 三点作球 O 的截面, (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求三棱锥 P ? BMQ 的体积. 球心 O 到截面的距离为 4,则该球的体积为________________ 三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17~22 每题各 12 分,22~24 三选一 10 分,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是一个公差小于 0 的等差数列,且满足 a3 a7 ? ?27, a2 ? a8 ? 6 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,在由所有前 n 项和 Sn 组成的数列 ?Sn ? 中,哪一项最大, 最大项是多少? 18(本小题满分 12 分) 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 M 名学生作为样本, 得到这 M
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 3 页( 共 6 页)
频率 组距

M D C B

Q A 20. (本小题满分 12 分) l
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 4 页( 共 6 页)

y

F

?1 O

1

x

考场座位号

如图,已知 F (1 , 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q , 且 QP ? QF ? FP ? FQ .

班级

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M . (1)已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值; (2)求 MA ? MB 的最小值.

22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 CA、BD 的延长线相交 于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证:(1) ? DEA ?? DFA ; (2) AB ? BE ? BD ? AE ? AC .
2

姓名

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 ? cos( ? ?

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

?
4

) ? 2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建

立直角坐标系.在直角坐标系下, 曲线 C1 的参数方程为 ? 21. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? e ? a( x ? 1)
x

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , 把曲线 C1 y ? 2 sin ? ?

上所有点的横坐标压缩到原来的

1 (纵坐标不变)得到曲线 C 2 . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间;

(1)写出直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 2 的普通方程; (2) 若点 Q 是 曲线 C 2 上任意一点,求点 Q 到直线 l 的最大值.

a (2) 设 g ( x) ? f ( x) ? x , 且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )(x1 ? x2 ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点, e 若对任意的 a ? ?1 ,直线 AB 的斜率大于常数 m ,求实数 m 的取值范围

24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若不等式 || a ? b | ? | a ? b ||?| a | f ( x) ( a ? 0 , a ? R , b ? R )恒成立,求实数 x 的范围.

22,23,24 为选修题目,三题选择一个作答,如果三题都答,则按第一题评分。
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 5 页( 共 6 页) 高三下学期考试数学(文科)试卷 第 6 页( 共 6 页)

频率 组距

考场座位号 一、CDBAD 班级 二、13. BCBAB BD

参考答案

2014.4

姓名

24 ; 14. 2 n ?1? 3 ? ...? (2n ? 1) ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ...? 2n ; 25 100? 15. ④ ; 16. 3

参加在社区服务次数在区间 [15, 20) 内的人数为 360 ? 0.625 ? 225 人. ⑶在样本中,处于 [20, 25) 内的人数为 3,可分别记为 A, B, C ,处于 [25,30) 内的人 为 2 , 可 分 别 记 为 a, b . 从 该 5 名 同 学 中 取 出 2 数 人 的 取 法 有

0

1

1

2

2

3

次数

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d .由题可知, d ? 0

( A, a),( A, b),( B, a) ( B, b),(C, a),(C, b),( A, B),( A, C),( B, C),( a, b) 共 10 种;至多一人 所以至多一人 [20, 25) 内的情况有 ( A, a),( A, b),( B, a),( B, b),(C, a),(C, b),(a, b) 共 7 种, 7 参加社区服务次数在区间 ? 20,25? 内的概率为 . P 10
19.(本小题满分 12 分) 解: (1)存在 t=1 使得 PA//平面 BMQ,理由如下: 连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN , 因为∠ADC=90°,Q 为 AD 的中点 所以 N 为 AC 的中点 当 M 为棱 PC 的中点,即 PM=MC 时,MN 为 ?PAC 的中 D C B M

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

? a2 ? a8 ? 6 ? a3 ? a7 ? a2 ? a8 ? 6
故 a3 , a7 是方程 x ? 6 x ? 27 ? 0 的两个根
2

又 a3 a7 ? ?27,

? d ? 0 解得 a3 ? 9, a7 ? ?3
所以 d ?

a7 ? a3 4

? ?3 , a1 ? 15

所以 an ? ?3n ? 18, n ? N (2)由(1)可知, Sn ? 15n ?

n(n ? 1) 3 33 3 11 363 (?3) ? ? n 2 ? n ? ? (n ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 8

位线 故 MN // PA ,又 MN ? 平面 BMQ A 所以 PA//平面 BMQ (2)由(1)可知,PA//平面 BMQ 所以, P 到平面 BMQ 的距离等于 A 到平面 BMQ 的距离
所以 VP? BMQ ? VA? BMQ ? VM ? ABQ

Q

所以当 n ? 5 或 n ? 6 时, Sn 取得最大值,最大值为 S5 ? S6 ? 45

故在由所有前 n 项和 Sn 组成的数列 ?Sn ? 中,第 5 项或者第 6 项最大,最大项是 S5 ? 45 或 取 CD 中点 K ,连接 MK,所以 MK//PD 且 MK= 2 PD=1 者 S6 ? 45 18(本小题满分 12 分) 解:⑴由题可知

1

又 PA ? 底面 ABCD ,所以 MK ? 底面 ABCD
1 AD=1, PD=CD=2,所以 AQ ? 1, BQ ? 2 2 1 1 1 所以 VP? BMQ ? VA? BMQ ? VM ? ABQ = ? AQ ? BQ ? MK = 3 2 3
又 BC= 20. (本小题满分 12 分)

10 25 m ? 0.25 , ? n, ? p ,. M M M 又 10 ? 25 ? m ? 2 ? M ,解得 M ? 40 , n ? 0.625 , m ? 3 , p ? 0.075 . ⑵由(1)可知, [15, 20) 组的频率与组距之比为0.125. 则频率分布直方图如下:

,y) ,由 QP QF ? FP FQ 得: 解法一: (Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1
0.125
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 7 页( 共 6 页) 高三下学期考试数学(文科)试卷 第 8 页( 共 6 页)

考场座位号

( x ? 1, 0) (2, ? y) ? ( x ?1,y) (?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4x .
(Ⅱ) (1)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) .

所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4 x . (Ⅱ) (1)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 则:

?2 ? 0 .

班级 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 , ? 姓名 联立方程组 ?

? ?

2? ?, m?

MA MB

??

?1 AF ?2 BF

.????①

? y 2 ? 4 x,

? x ? my ? 1,

,消去 x 得: y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m)2 ? 12 ? 0 , y Q P B O A M F

过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A 1, B 1, 则有:

MA MB

? y1 ? y2 ? 4m, ? ? y1 y2 ? ?4.
由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得:

?

AA1 BB1

?

AF BF

.????②

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

由①②得: ? x

AF ?1 AF ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ? ?2 BF BF

2 2 y1 ? ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: m m

(Ⅱ) (2)解:由解法一, MA MB ?
2 ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? yM ( y1 ? y2 ) ? yM

?

1 ? m2

?

2

y1 ? yM y2 ? yM

2 2 , ?2 ? ?1 ? , ?1 ? ?1 ? my1 my2
? ?1 ? ?2 ? ?2 ? 2?1 1 ? ? ? ? m ? y1 y2 ?

? (1 ? m2 ) ?4 ?

2 4 ? 4m ? 2 m m

2 y1 ? y2 ? ?2 ? m y1 y2
2 4m ? 0. ? ?2 ? m ?4
解法二: (Ⅰ)由 QP QF ? FP FQ 得: FQ ( PQ ? PF ) ? 0 ,

4 ? ? ? (1 ? m2 ) ? 4 ? 2 ? m ? ?
? 4(2 ? m 2 ?
2

? ? 1 2 1 )≥ 4? 2 ? 2 m ? 2 2 ? ? ? 16 . m m ? ?
1 ,即 m ? ?1 时等号成立,所以 MA MB 最小值为16 . m2

当且仅当 m ?

?( PQ ? PF ) ( PQ ? PF ) ? 0 ,

? PQ ? PF ? 0 ,
? PQ ? PF .
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 9 页( 共 6 页)

2

2

21. (本小题满分 12 分)

高三下学期考试数学(文科)试卷

第 10 页( 共 6 页)

考场座位号

解: (1) f ( x) ? e x ? a( x ? 1) 的定义域 R,

? f , ( x) ? e x ? a
班级 当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? a ? 0 在 x ? R 上恒成立,即 f ( x) 的单调递增区间为 R
, x

22.证明:(1)连结 AD ,因为 AB 为圆的直径,所以 ?ADB ? 90? , 又 EF ? AB , ?AFE ? 90? , … 则 A, D, E , F 四点共圆 ∴ ?DEA ? ?DFA …
F A C O B E D

姓名

当 a ? 0 时,令 f , ( x) ? e x ? a ? 0 ,解得 x ? ln a
, x 令 f ( x) ? e ? a ? 0 ,解得 0 ? x ? ln a

(2)由(1)知, BD ? BE ? BA ? BF , … 又 ?ABC ∽ ?AEF ∴

AB AC , 即 AB ? AF ? AE ? AC ? AE AF



所以, f ( x) 的单调递增区间是 (ln a,??) ,单调递减区间是 (0, ln a) 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 R 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (ln a,??) ,单调递减区间是 (0, ln a)

∴ BE ? BD ? AE ? AC ? BA ? BF ? AB ? AF ? AB ? ( BF ? AF ) ? AB 2 23.解 (1) 将直线 l 的极坐标方程为 ? cos( ? ? 将曲线 C1 的参数方程为 ?

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

?
4

) ? 2 化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ;

? x ? 2 cos? 2 2 ( ? 为参数)化为普通方程为 x ? y ? 4 , ? y ? 2 sin ?

y2 1 2 ?1 把曲线 C1 上所有点的横坐标压缩到原来的 (纵坐标不变)得到曲线 C 2 : x ? 2 4 y2 ? x ? cos? ? 1 参数方程为 ? (2)将 C 2 : x ? ( ? 为参数) 4 ? y ? 2 sin ?
2

因为点 Q 是曲线 C 2 上任意一点,故设 Q(cos? ,2 sin ? ) 所以 Q 到直线 l 的距离 d ?

cos? ? 2 sin ? ? 2 2

?

? 5 sin(? ? ? ) ? 2 2

(其中 tan ? ?

1 ) 2

故当 sin(? ? ? ) =1 时, d 取得最大值,最大值为

10 ? 2 2

?2 x ? 3 ( x ? 2) ? 24.解:(1) f ( x) ? ?1 (1 ? x ? 2) , ?3 ? 2 x ( x ? 1) ?
(2) 由 a ? b ? a ? b ? 2 a ,… 得 2 | a |? a f ( x) ,由 a ? 0 ,得 2 ? f ( x) , 解得 x ?

所以解集 [0,3]

1 5 或x? 2 2
高三下学期考试数学(文科)试卷 第 12 页( 共 6 页)

高三下学期考试数学(文科)试卷

第 11 页( 共 6 页)

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