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解析几何最值问题的解法
上海市松江一中 陆珲 解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点, 也是数学竞赛和高考 的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线,所以通常情况下, 解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似,常用下面几种方 法: 1、化为二次函数,求二次函数的最值; 2、化为一元二次方程,利用△; 3、利用不等式; 4、利用函数的单调性和有界性; 5、利

用几何法。 在解此类问题时,以上方法也可能会混合运用。同时,恰当利用解析 几何中二次曲线定义和性质,或利用参数方程,或建立适当的坐标系,也 可以简化问题,方便解题。 例题 1: 如图已知 P 点在圆 x2 ? ( y ? 4)2 ? 1上移动,
Q 点在椭圆

x2 ? y 2 ? 1上移动,求 | PQ | 的最大值。 9

[分析:如图先让 Q 点在椭圆上固定,显然 PQ 通 过圆心 O1 时 | PQ | 最大,因此要 | PQ | 的最大值, 只要求 | O1Q | 的最大值。] 解:设 Q 点坐标 ( x, y ) ,则 | O1Q |2 ? x2 ? ( y ? 4)2 ①, 因 Q 点在椭圆上,故
x2 ? y2 ? 1 9



把②代入①得 | O1Q |2 ? 9(1 ? y 2 ) ? ( y ? 4)2 ? ?8( y ? )2 ? 27
Q 点在椭圆上移动,??1 ? y ? 1

1 2 1 ? y ? ? 时, | OQ 1 |min ? 27 ? 3 3 2

? | PQ |min ? 3 3 ?1

说明: 此解法就是典型的运用化为二次函数, 通过求二次函数的最值来解 决问题。 但是在利用二次函数求最值时, 不能机械地套用最值在顶点处取 得的模式,首先要求出定义域,然后再看顶点是否在定义域内,若在,则 可套用,若不在,则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。 例题 2:如图,定长为 3 的线段 AB 的两端在抛物线 y 2 ? x 上移动,且线段 中点为 M ,求点 M 到 y 轴的最短距离,并求此时点 M 的坐标。 [分析:点 M 到 y 轴的最短距离,即求点 M 横坐标的最小值。] 解法一:化为一元二次方程,利用△ 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y) 则
? x1 ? x2 ? 2 x ? ? y1 ? y2 ? 2 y ? 2 ? y1 ? x1 ? 2 ? y2 ? x2 ?( x ? x ) 2 ? ( y ? y ) 2 ? 9 ? 1 2 1 2
① ② ③ ④ ⑤

2 ③④代入⑤,整理得 ( y1 ? y2 ) 2 ? ?( y1 ? y2 ) ? 1? ? ? 9 ,即 2 ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? ?( y1 ? y2 ) ? 1? ??9

⑥ ⑦

由①③④得 y12 ? y22 ? x1 ? x2 ? 2x
( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? 2x

②代入上式得 2 y1 y2 ? 4 y2 ? 2x

⑧ ⑨

②⑦⑧代入⑥并整理得 16 y 4 ? (4 ?16x) y 2 ? 9 ? 4 x ? 0
y ? R ,? △ ? (4 ?16 x)2 ? 64(9 ? 4 x) ? 0 ,即 (4 x ? 5)(4 x ? 7) ? 0

4 x ? 7 ? 0,? x ?

5 5 2 ,将 x ? 代入⑨得 y ? ? 4 4 2 5 4

所以 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离是 ,相应的点 M 的坐标为 ( ,
5 2 ( ,? ) 4 2

5 2 )或 4 2

说明: 此类解法是学生比较容易掌握的方法, 解题时将未知的元素都进行 适当的假设, 并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次 方程,利用△计算。在运用此法时,不仅要判断方程是否有解,还应注意 方程解的特点, 如正负根等, 此时可进一步应用方程的根与系数的关系 (韦 达定理)等进行讨论和判断。同时,此类解法字母较多,计算量大,解题 时应更加仔细。 解法二:利用不等式 同解法一,得⑨,整理得 (16 y 2 ? 4) x ? 16 y 4 ? 4 y 2 ? 9 ,
x ? y2 ? 9 16 y 2 ? 4 9 1 9 1 5 ? ? ? ?2 ? ? 2 2 16 y ? 4 16 16 y ? 4 4 16 4 4

以下同前。 说明:利用不等式性质( a, b ? R? , a ? b ? 2 ab, a ? b 时等号成立)的解法也是 比较常用的解题方法, 但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质 的特点, 在进行计算式变形时目的要明确, 同时等号成立是变量的取值要 关注到位。若题设条件无法在 a ? b 时取得 值,则应利用函数的单调性和有界性求得 值。 解法三:几何法 最 最

如 图 设

A(m2 , m), B(n2 , n)

, 则 以

AB

为 直 径 的 圆 为

( x ? m2 )( x ? n2 ) ? ( y ? m)( y ? n) ? 0
1 m?n ) 代入上式得, 4 2 1 1 m?n m?n 1 (? ? m2 )(? ? n 2 ) ? ( ? m)( ? n) ? (mn ? ) 2 ? 0 4 4 2 2 4 1 3 1 故准线 x ? ? 与圆相离或相切, 又圆半径为 , 圆与准线相切时, 即 mn ? ? 4 2 4

准线 x ? ? 上离圆最远的点 M '(? ,

1 4

时, 点 M 到 y 轴的最短距离是 ? ? , 即点 M 横坐标的 点 M 的纵坐标

3 2

1 4

5 4

5 m2 ? n2 最小值为 4 2

m?n 1 m2 ? n2 mn 5 1 2 ?? m2 ? n2 ? 2mn ? ? ? ?? ? ?? 2 2 4 2 8 8 2
5 2 5 2 ) )或( ,? 4 2 4 2

所以点 M 的坐标为 ( ,

说明: 利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解, 并对题设 条件具有相当的迁移能力。 例题 3: 在半径为 R 的圆 O 中,AB ? 2R , 点 P 为 AB 上一动点, 过点 P 作 AB 的垂线交 AB 于点 Q ,求△ APQ 的面积最大值。 [分析:通过建立函数关系式,利用函数求最 值的方法解决问题] 解法一: 如图, 以圆心 O 为坐标原点, 过 O 平行于 AB 的 直线为 x 轴建立平面直角坐标系。 因为△ AOB 为等腰直角三角形,所以 A 坐标为 (? 设 P 点坐标 ( R cos? , R sin ? ) , ? ? (45 ,135 )
2 2 R, R) 2 2

?S ?

APQ

?

1 2 2 1 2 1 R cos ? ? R R sin ? ? R ? R 2 sin ? cos ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 R ? (cos ? ? sin ? ? ) ? ? R ? R 2 2 2 4 2 4 8
2 ? 0 ,即 ? ? 75 时 ? ?S 2
1 2 ? ? max ? 8 R

当 cos? ? sin ? ? 解法二:

APQ

如图,以 A 为坐标原点, AB 所在的直线为 x 轴建立 平面直角坐标系。 因为△ AOB 为等腰直角三角形,所以圆心 O 坐标为
( 2 2 R, ? R) , 2 2 2 2 2 2 R) ? ( y ? R) ? R 2 ,即 x2 ? y2 ? 2Rx ? 2Ry ? 0 2 2 1 2 ? xy ? ? ( x ? y)2 ? R( x ? y ) 2 2

圆方程为 ( x ?

?( x ? y)2 ? 2xy ? 2R( x ? y) ? 0

设 P 点坐标 ( x, y ) ,则点 P 的坐标满足上式,
?S
APQ

?

1 1 2 xy ? ? ( x ? y)2 ? R( x ? y ) 2 4 4

0 ? x ? y ? 2R

?当 x ? y ?

2 R 时, ? ?S 2

APQ

1 2 ? ? max ? 8 R

说明: 通过以上两种解法可见, 不同的坐标系的建立方法对解题模式的影 响是巨大的,虽然解法二也可用参数方程,但显然计算很复杂。并且以上 两种解法均混合运用了二次函数、参数方程、几何法等多种解题方法。所 以, 在解题时我们应综合分析题意, 就能选择出恰当的角度和方法来解决 问题。



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