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2015高中数学 1.3-1.4导数在应用方面的误区总结 新人教A版选修2-2



导数在函数应用方面的误区总结
ⅰ.将“稳定点”等同于“极值点” 定义 1: 可导函 数 f ( x) 的方程 f / ( x) ? 0 的根 x0 ( f / ( x0 ) ? 0) ,称为函数 f ( x) 的稳定 点. 定义 2:设函数 f ( x) 在区间 D 有定义,若 x0 ? D ,且存在 x0 的某邻域 U ( x0 ) ? D ,

?x ?U ( x0 ) ,有 f ( x) ? f ( x0 )( f ( x) ? f ( x0 )) ,则称 x0 是函数 f ( x) 的极大点(极小点),

f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极大值(极小值).极大点和极小点统称为极值点;极大值和极小值
统称为极值. 对于 “ f / ( x0 ) ? 0 ” 只是它为 “函数 f ( x) 的极值点” 的必要而不充分条件.即函数 f ( x) 的极值点必然在函数 f ( x) 的稳定点的集合之中,反之,不成立,即稳定点不一定是极值点. 例 1.函数 f ( x) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 1 的极值点是 ┈┈┈┈┈┈┈┈( )

A x ?1

Bx ? ?1

Cx ? ?1或1或0

Dx ? 0

错 解 : 导 函 数 f / ( x) ? 6x( x 2 ? 1) 2 , 令 f / ( x) ? 6 x( x 2 ? 1) 2 ? 0 , 解 得

x ? ?1, 和x ? 0 ,故答案应选 C.
剖析:这三点都是稳定点,那是不是极值点?存在极值点条件:导函数 f ( x) 在稳定点
/

x0 的两侧有不同的符号, x0 必是函数 f ( x) 的极值点.显然导函数 f / ( x) 在 x0 两侧有相同
的符号, x0 不是函数的极值点.
/ 2 2 / 正 解 : 由 f ( x) ? 6x( x ? 1) ( x ? 1) ? 0 知 , 当 x ? (??,?1) 时 , f ( x) ? 0 , 当

x ? (?1,0) 时 , f / ( x) ? 0 ;当 x ? (0,1) 时, f / ( x) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, f / ( x) ? 0 ,
故 f ( x) 在 (??,?1), (?1,0) 上是单调递增函数; f ( x) 在 (0,1), (1,??) 上是单调递减函数.因 此,只有 x ? 0 为极小值点,而 x ? ?1 和 x ? 1 不是极值点(实际上是函数 f ( x) 的拐点), 故应选 D. 例 2 为 .
1
3 2 2 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a ,当 x ? 1 时,有极值 10 ,那么 a ? b 的值

误解:导函数 f / ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b ,因为函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 10 ,可得

?3 ? 2a ? b ? 0 ?a ? ?3 ?a ? 4 ,解得 ? 或? ? 2 ?b ? 3 ?b ? ?11 ?1 ? a ? b ? a ? 10
因此 a ? b ? 0 或 a ? b ? ?7 . 剖析:上述解题忽略了一个细节,解题过程中只用到 f / (1) ? 0 ,和 f (1) ? 10 ,这能 说明它是极值点吗?当 a ? ?3 、 b ? 3 时, f / ( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) 2 ? 0, 函数

f ( x) 在 R 上是增函数,显 然 x ? 1 不是函数 f ( x) 的极值点;验证当 a ? 4 、 b ? ?11 时,
x ? 1 是函数的极值点.故 a ? b ? ?7 .
ⅱ.误把极值当最值 例 3 求函数 f ( x) ? 3x 3 ? 9x ? 5 在区间 [?2,2] 上的最值. 误解: 导函数 f / ( x) ? 9x 2 ? 9 ? 0 , 解得 x1 ? 1 , 或 x2 ? ?1 , 经验证 x1 ? 1 , 和 x2 ? ?1 都是函数 f ( x) 的极值点,即 f (1) ? ?1 为极大值, f (?1) ? ?7 为极小值,因此函数 f ( x) 的最大值为 ? 1 ,最小值为 ? 7 . 剖析:本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误.对 于上面所给出的定义可知, 极值是一个局部概念,是函数在某一点的小领域内的最值;而最值是整体概念,是在整个闭 区间上的最值.在一个区间上可能有很多极大值(极小值),而且某些极大值还可能小于某 些极小值,但只能有一个最大值(如果存在最大值)和一个最小值(如果存在最小值).因 此求函数闭区间 上的最值,需要将函数的一切极值与其端点值进行比较才能确定.本题两端 点值 f (?2) ? ?1, f (2) ? 11 ,所以函数的最大值为 11 ,最小值为 ? 1 . ⅲ.把极值点的取值范围扩大 例 4 函数 f ( x) ? ? x ? mx ? 1 在区间 [?2,1] 上的极大值就是最大值,则 m 的取值范
2

围.
/ / 误解 :导函数 f ( x) ? ?2 x ? m , 令 f ( x) ? ?2 x ? m ? 0 ,解得 x ?

m , 经验证 2

x?

m m ? 1 ,解得 ? 4 ? m ? 2 ,故 m 的取值范围 是函数 f ( x) 的极值点,所以 ? 2 ? 2 2

是 [?4,2] . 剖析:定义 2,即极值定义,不难发现极值点在区间 D 的内部(即不能是区间 D 的端
2

点), f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极值是与函数 f ( x ) 在 x0 的某个领域上的函数值 f ( x) 比较而 言.因此 x ?

m m ? 1 ,解得 ? 4 ? m ? 2 , 是函数 f ( x) 的极大值点,有题意得, ? 2 ? 2 2

故 m 的取值范围是 (?4,2) .

3



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