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河北省衡水中学2015届高三下学期三调考试数学(理)试题


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2014-2015 学年度下学期高三年级三调考试 数学试卷(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 6 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1、已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1}, B ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,则下列结论中正确的是( A. A ? B ? B 2、复数 B. A ? B ? A ) C. i D. ? i C. A ? B D. CR A ? B )

1 ? 2i 的共轭复数是( 2?i 3i 3i A. B. ? 5 5

3、某工厂生产 A, B, C 三种不同的型号的产品,产品数量之比依次为 k : 5 : 3 ,现用分层抽样的方法 抽出一个容量为 120 的样本, 已知 A 种型号产品共抽取了 24 件, 则 C 种型号产品抽取的件数为 ( ) A.24 B.30 C.36 D.40

4、如图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值的一个框图, 2 4 6 20


其中菱形判断框内应填入的条件是( A. i ? 8? C. i ? 10 ? B. i ? 9? D. i ? 11?

5、 将函数 f ? x ? ? 3 sin x ? cos x 的图象向左平移 m 个单位 (m ? 0) , 若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是( A. )

2? 3

B.

? 3

C.

? 8

D.

5? 6


6、已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a4 a6 ? 16 ,则 A.2 B.4 C.8

a10 ? a12 的值为( a6 ? a8

D.16

7、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行, 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( )

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A.48 种

B.72 种

C.78 种

D.84 种

8、已知点 Q 在椭圆 C :

??? ? 1 ???? ???? x2 y 2 ? ? 1 上,点 P 满足 OP ? (OF1 ? OQ ) (其中 O 为坐标原点, F1 为 2 16 10
) D.椭圆 )

椭圆 C 的左焦点),在点 P 的轨迹为( A.圆 B.抛物线

C.双曲线

9、已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 27 ?

3? 2

B. 18 ?

3? 2

C. 27 ? 3?

D. 18 ? 3?

10、三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC, AC ? BC, AC ? BC ? 1, PA ? 3 ,则该三棱锥外接球 的表面积为( A. 5? ) B. 2? C. 20? D. 4?

?3 x ? 4 y ? 10 ? 0 ? 2 2 11、已知不等式组 ? x ? 4 表示区域 D ,过区域 D 中任意一点 P 作圆 x ? y ? 1的两条 ?y ? 3 ?
切线且切点分别为 A, B ,当 ?PAB 最大时, cos ?PAB ? ( )

A.

3 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

12、若函数 y1 ? sin 2 x1 ? ( A. )

3 ( x1 ? ?0, ? ?) ,函数 y2 ? x2 ? 3 ,则 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 的最小值为 2

2? 12

B.

(? ? 18)2 72

C.

(? ? 18)2 12

D.

(? ? 3 3 ? 15) 2 72

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20,把答案填在答题卷的横线上。. 13、 已知函数 f ? x ? ? A cos ( wx ? ? ) ? 1( A ? 0, w ? 0, 0 ? ? ?
2

?
2

) 的最大值为 3, f ? x ? 的图象与 y

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轴的交点坐标为 (0, 2) ,其相邻两条对称轴间的距离为 2,则 f ?1? ? f ? 2? ? ?? f ? 2015? ? 14、设 ?An BnCn 的三边分别为 an , bn , cn , n ? 1, 2,3,? ,若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an?1 ? an ,

bn ?1 ?

an ? cn a ?b , cn ?1 ? n n ,则 ?An 的最大值是 2 2

15、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 C ,过双曲线中心的直线交双曲线于 A、B 两点, a 2 b2

记直线 AC、BC 的斜率分别为 k1 , k2 ,当

2 ? ln k1 ? ln k2 最小时,双曲线离心率为 k1k2
f ? x? 在 I 上也是增函数, x
m , ?? ) 上 2

16、若函数 f ? x ? 的定义域为 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F ? x ? ?
x

则称 y ? f ? x ? 是 I 上的 “完美函数” ,已知 g ? x ? ? e ? x ? ln x ?1 ,若函数 g ? x ? 是区间 [ 的“完美函数” ,则整数 m 的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 设函数 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) 。
n (1)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

(2)若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分) 为了影响学校“学科文化节”活动,数学组举办了一场数学知识竞赛,共分为甲乙两组,其中 甲组得满分的有 1 个女生和 3 个男生, 乙组得满分的有 2 个女生和 4 个男生, 现从得满分的学生中, 每组个任选 2 个学生,作为数学组的活动代言人。 (1)求选出的 4 个学生中恰有 1 个女生的概率; (2)设 X 的选出的 4 人学生中女生的人数,求 X 的分布列和数学期望。

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19、 (本小题满分 12 分) 如图,平面 PAC ? 平面 ABC , AC ? BC , ?PAC 为等边三角形, PE // BC ,过 BC 作平面交

AP, AE 分别于点 N , M 。
(1)求证: MN // PE ; (2)设

AN ? ? ,求 ? 的值,使得平面 ABC 与平面 MNC AP
?

所成的锐角的大小 45 。

20、 (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 E : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) , P 是圆 E 上任意一点,线段 PF 的垂直平 分线和半径 PE 相交于 Q。 (1)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (2)设直线 l 与(1)中轨迹 ? 相交于 A、B 两点,直线 OA, l ,OB 的斜率

A B 分别为 k1 , k , k2 (其中 k ? 0 ) , ?O

的面积为 S ,以 OA、OB 为直径的圆

的面积分别为 S1 , S2 ,若 k1 , k , k2 恰好构成等比数列,求

S1 ? S 2 的取值范围。 S

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 f ? x ? ? kx 对任意 x ? 0 成立,求实数 k 的取值范围;
2

(3)当 n ? m ? 1(m, n ? N ) 时,证明:

?

n

m m ? 。 m n n

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请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22、 (本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是圆 O 的割线,已知 AC=AB (1)求证:FG//AC; (2)若 CG=1,CD=4,求

DE 的值。 GF

23、 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立 平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 1 (t 为参数) ? y ? 4t ? 3

(1)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围。

24、 (本小题满分 10 分) (1)设函数 f ? x ? ? x ? 的最大值; (2)已知正数 x, y , z 满足 x ? y ? 3z ? 1 ,求

5 ? x ? a , x ? R ,若关于 x 的不等式 f ? x ? ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 2

3 2 1 ? ? 的最小值。 x y z

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