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山东省潍坊市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题



2015.6 山东省潍坊市高一下学期期末考试 数 学 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出四个选项中,只有一 个选项是符合要求的,请将正确涂写在答题卡上。 1. cos17 sin 43 ? sin 163 sin 47 ? (
? ? ? ?

) D.

?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

3 2

2.已知圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? my ? 0 上任意一点 M 关于直线 x ? y ? 0 的对称点 N 也再圆上,则 m 的值为( A.-1 B.1 C.-2 ) D.2 )

3.如图,执行程序框图后,输入的结果为( A.8 B.10 C.12 D.32

? 4.在 ?ABC 中, ?BAC ? 90 , D 是 BC 的中点, AB ? 4,AC ? 3. 则 AD · BC ? ( )

A. ?

7 2

B.

7 2

C.-7

D.7

5.下列函数中,周期为 ? , 且在 [ A. y ? sin( 2 x ?

?
2

)

? ? , ] 上单调递增的奇函数是( ) 4 2 ? ? ? B. y ? cos( 2 x ? ) C. y ? cos( 2 x ? ) D. y ? sin( x ? ) 2 2 2

6.如图,在一个不规则的多边形内随即撒入 200 粒芝麻(芝麻落到 任何位置可能性相等) ,恰有 40 粒落入率半径为 1 的圆内,则该多 边形的面积约为 A. 4? B. 5? C. 6? D. 7?

7.已知 ?ABC 中, AB ? AC ? I (

AB AB

?

AC AC

) ,则三角形的形状一定是(

)A.等腰三角

形 B.等边三角形

C 直角三角形 D.等腰直角三角形

8.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售

额进 行统计, 统计数据茎叶图表示 (如图所示) , 设甲乙两组数数据的平均数分别为 x甲, 中 x乙, 位数分别为 m甲, m已 ,则( A. x甲 ? x乙, m甲 ? m已 C. x甲 ? x乙, m甲 ? m已 ) B. x甲 ? x乙, m甲 ? m已 D. x甲 ? x乙, m甲 ? m已
?

9.已知 OA, OB 是两个单位向量,且 OA· OB ? 0 。若点 C 在 ?AOB 内,且 ?AOC ? 30 ,则

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则
A.

m ?( n
D.



1 3

B. 3

C.

3 3

3

10.从某高中随机选取 5 名高一男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 身高 y(kg) 160 63 165 66 170 70 175 72 180 74

根据上表可得回归直线方程 y ? 0.56x ? a 据此模型预报身高为 172cm 的高一男生的体重为 ( )A.70.09 B.70.12 C.70.55 D.71.05

?

?

11.若 a ? ( A. ?

?
2

, ? ) ,且 3 cos 2a ? sin(
B.

?
4

? a ) ,则 sin 2a 的值为
D.

17 18

17 18

C. ?

1 18

1 18

12.若函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x(ab ? 0) 的图像向左平移 数是奇函数,则直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率为( )

? 个单位后得到的图像队形的函 3

A.

3 3

B.

3

C. ? 3

D. ?

3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填写在试卷的横线上。 13.向量 a ? (2 x,1), b ? (4, x) 且 a 与 b 的夹角为 180 ,则实数 x 的值为
?



14 某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学,拟采用分层臭 氧的方法抽取一个容量为 120 的样本, 已知该学院的 A 专业有 380 名学生, B 专业有 420 名学

生,则在该学院的 C 专业抽取

名 学生。

15.直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相较于 A、B 两点,若 AB ? 2 3 则实数 k 的 值是 。

16. 若 AB ? ( x, y), x ? ?0,1,2? , y ? ?? 2,0,1?, a ? (1,?1) , 则 AB 与 a 的 夹 角 为 锐 角 的 概 率 是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 如图所示,在 Rt ?ABC ,已知 A(?2,0) ,直角顶点 B(0,?2 2 ) ,点 C 在 x 轴上 (1)求 Rt ?ABC 外接圆的方程 (2)求过点(-4,0)且与 Rt ?ABC 外接圆相切的直线的方程。

18.如图,在平面直角坐标系中,锐角 ?、? 的终边分别与单位圆交于 A、B 两点。 (1)如果 sin ? ? ,点 B 的横坐标为

3 5

5 ,求 cos(? ? ? ) 的值 13

(2)已知点 C(2 3,?2) ,函数 f (a) ? OA · OC ,若 f (a) ? 2 2 ,求 a 19.(本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 是同一平 面内的三个向量,其中 a ? (1,2) 。 (1)若 c ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标 (2)若 b ?

5 ,且 a ? 2b与2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? 。 2

20.(本小题满分 12 分)

已 知 函 数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? 3 cos(?x ? ? ) 的 部 分 图 像 如 图 所 示 , 其 中 ? ? 0 ,

? ? (?

? ?

· ) 。 2 2

(1)求 ? 与 ? 的值; (2)若 f ( ) ?

a 4

2 sin ? ? sin 2? 4 5 ,求 的值。 2 sin ? ? sin 2? 5

21.(本小题满分 12 分) 为了解某校高一学生学分认定考试数学成绩分布, 从该 校参加学分认定的学生数学成绩中城区一 个样本,并分成 5 组,绘成如图所示的频率分 布直 方图。若第一组至第五组数据的频率之比为 1:2:8:6:3,最后一组数据的频数为 6. (1)孤寂该校高一学生数学承载 125~140 分之间的概率,并求出样本容量; (2)从样本成绩在 65~95 分之间的学生中任选两人,求至少有一人成绩在 65~80 分之间的概 率。

22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? (2 sin( (1)求 f ( x) 的解析式

?
4

? x), cos 2 x), b ? (sin(

?
4

? x) ? 3 ), x ? R 。

(2)求 f ( x) 的周期和单调递增区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ?

?? ? ? 上有解,求实数 m 的取值范围。 , ?4 2? ?

高一数学试题答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (1 由题意可知点 C 在 x 轴的正半轴上,可设其坐标为 ( a,0) ) 又 AB ? BC, 则 k AB · k BC ? ?1, 即 解得 a ? 4 则所求圆的圆心为(1,0)半径为 3 故方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 (2)由题意知直线斜率一定存在,估设所求直线方程为 y ? k ( x ? 4) 即 kx ? y ? 4k ? 0 当圆与直线相切时有 d ? 解得 k ? ? CDBAC 13. ? BABDB AD 15. ?

2

14. 40

3 或0 4

16.

5 9

?2 2 2 2 · ? ?1 2 a

5k k 2 ?1

?3

3 4 3 3 ( x ? 4) 或 y ? ? ( x ? 4) 4 4

故所求直线方程为 y ?

即 3x ? 4 y ? 12 ? 0 或 3x ? 4 y ? 12 ? 0 18.(本小题满分 12 分) 解: (1)? a 是锐角, sin a ?

3 5

? cos ? 1 ? sin 2 a ?

4 5
5 13

根据三角函数的定义,得 cos ? ? 又? ? 是锐角

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

12 13 4 5 3 12 16 ? ? ? ? 5 11 5 13 65

? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

(2)由题意可知

??? ? ??? ? OA ? (cos? ,sin? ), OC ? (2 3, ?2) ,
??? ? ??? ? ? OA? OC ? 2 3 cos? ? 2sin ? = 4cos( a ? ) 6
又 f (a ) ? 4cos( a ?

?
6

) ? 2 2 ,即 cos(a ?

?
6

)?

2 2

?0 ? a ? ?

?
2

?
6

?a?

?
6

?

?a ? ?a ?

?
6

?

?

2? 3

?

4

12

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)设 C ? ( x, y)
2 2 由 c ? 2 5 得, x ? y ? 2 5 , 即 x 2 ? y 2 ? 20

? c // a, a ? (1,2),? 2 x ? y ? 0,? y ? 2 x
由?

y ? 2x ? x ? 2 ? x ? ?2 或? ?? 2 ? y ? 4 ? y ? ?4 ? x ? y ? 20 ?
2

? c ? (2,4)或c ? (?2,?4)
(2)? (a ? 2b) ? (2a ? b),? (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

? ?a ? 2b ? ? (2a ? b) ? 2a 2 ? 3a ? b ? 2b 2 ? 2 a ? 0 ……(※)
2

? a ? 5, b ? (

2

2

5 2 5 ) ? , 代入(※)中 2 4
5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

? a ? 5, b ?

5 a ?b ,? cos? ? ? 2 a?b

?

5 2

5 5? 2

? ?1

?? ? ?0, ? ??? ? ?

20.(本小题满分 12 分) (1)解: f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ? 由图可得

?
3

) 设 f ( x) 的最小正周期为 T

T ? ? ? ? ? ? ( ? ) ? ,所以 T ? x, ? ? 2 由 f (0) ? 2 ,得 sin(? ? ) ? 1 2 4 4 2 3

因为 ? ? ( ?

? ?

? ) ,所以 ? ? 6 2 2

?

(2)解: f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

a a 4 5 a 2 5 ) ? 2 cos 2 x 由 f ( ) ? 2 cos ? ,得 cos ? 2 4 2 5 2 5

所以 cos a ? 2 cos

2

a 3 2 sin a ? sin 2a 2 sin a(1 ? cos a) 1 ? cos a 1 ? 1 ? 所以 ? ? ? 2 5 2 sin a ? sin 2a 2 sin a(1 ? cos a) 1 ? cos a 4

21.(本小题满分 12 分) 解: (1)估计该校高一学生数学成绩在 125~140 分之间的概率 P 1为 又设样本容量为 m ,则

3 3 ? 1 ? 2 ? 6 ? 8 ? 3 20

6 3 ? ,解得: m ? 40 m 20 1 ? 40 ? 2 人,记为 x , y ; (2)样本中成绩在 65~80 分的学生有 20 1 ? 40 ? 4 人,记为 a, b, c, d , 成绩在 80~95 分的学生 20
从上述 6 人中任选 2 人的所有可能情形有:

?x, y?, ?x, a?, ?x, b?, ?x, c?, ?x, d?, ?y, a?, ?y, b?, ?y, c?, ?y, d? ?a, b?, ?a, c?, ?a, d ?, ?b, c?, ?b, d ?, ?c, d ?共 15 种至少有 1 人在 65~80 分质检的可能情形有 ?x, y?, ?x, a?, ?x, b?, ?x, c?, ?x, d?, ?y, a?, ?y, b?, ?y, c?, ?y, d?, 共 9 种
因此,所求的概率 P2 ?

9 3 ? 15 5

22.(本小题满分 14 分) 解(1) f ( x) ? (2 sin(

?
4

? x), cos 2 x) ? (sin(

?
4

? x) ? 3 ) ? 2 sin 2 (

?
4

? x) ? 3 cos 2 x
) ?1

? 1 ? cos(

?
2

? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
3

(2)周期 T ?

2? ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 解得 2 2 3 2 ? 5? k? ? ? x ? k? ? ,k ? Z 12 12

? 5? ? ? ? f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ? , k? ? (k ? Z ) 12 12 ? ? ?
(3)因为 x ? ?

? ?? 2? ? ?? ? ? ? ? ,所以 2 x ? ? ? , ? 3 ?6 3 ? ?4 2?

即 sin(2 x ?

?

? ?1 ? ) ? ? ,1? ,又因为 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 所以 f ( x) 的值域为 ?2,3? 3 3 ?2 ?

而 f ( x) ? m ? 2, 所以 m ? 2 ? ?2,3? ,即 m ? ?0,1?



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