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2015北京市高考数学理科试卷及答案解析(word版)



2015 年北京高考数学(理科)
本试卷共 5 页, 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共 40 分)
一、 选择题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.复

数 i ? 2 ? i ? ? A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i D. ?1? 2i ?x ? y ≤ 0 , ? 2.若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ≥ 0 , ? A.0 B.1 C. ?1? 2i

C.

3 2

D.2 3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 2? 0? A. ? ?2 , B. ? ?4 ,

C. ? ?4 ,? 4 ?

? 8? D. ? 0 ,
开始

x=1,y=1,k=0

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

k=k+1 否 k≥3 是 输出(x,y)

结束

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是

1

1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

A. 2 ? 5 B. 4 ? 5 6.设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3

C. 2 ? 2 5

D.5

B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

7.如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集是
y 2 C

A -1

O

B 2

x

A. ?x | ?1 ? x ≤ 0? C. ?x | ?1 ? x ≤1?

B. ?x | ?1 ≤ x ≤1? D. ?x | ?1 ? x ≤ 2?

8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速 度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

2

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 5 9.在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x 3 的系数为
2

. (用数字作答)

x . ? y 2 ? 1? a ? 0? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2 π? ? 11.在极坐标系中,点 ? 2 ? ? 到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 的距离为 . 3? ? sin 2 A 12.在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 . ? sin C 13.在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC .若 MN ? xAB ? y AC ,则 x ? ;y? .
10.已知双曲线

?

?

? 2x ? a ? x ? 1? ? 14.设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1. ① 若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为

; .

② 若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. (本小题 13 分) x x x 已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2 (Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

16. (本小题 13 分) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为甲, B 组选 出的人记为乙. (Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

4

17. (本小题 14 分) BC ? 4 , EF ∥ BC , 如图, 在四棱锥 A ? EFCB 中, 平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.
A

F

C

O E B

18. (本小题 13 分)

1? x . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
已知函数 f ? x ? ? ln
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? 3 ? x ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

5

19. (本小题 14 分) 2 x2 y 2 1? 和点 A? m , n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,点 P ? 0 , 2 a b 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ) 设 O 为原点, 点 B 与点 A 关于 x 轴对称, 直线 PB 交 x 轴于点 N . 问:y 轴上是否存在点 Q , 使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本小题 13 分)
?2an ,an ≤ 18 , …? . 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? N* , a1 ≤ 36 ,且 an ?1 ? ? ? n ? 1,2 , ?2an ? 36 ,an ? 18

记集合 M ? an | n ? N* . (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值.

?

?

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



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