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2018年选修4-5 同步检测:用数学归纳法证明不等式2


§ 4.2.2 用数学归纳法证明不等式 1、正数 a、b、c 成等差数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,试证明: an+cn>2bn. 2、正数 a、b、c 成等比数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,试证明: an+cn>2bn. 3、若 n 为大于 1 的自然数,求证: 1 1 ? ? n ?1 n ? 2 ? 1 13 ? . 2n 24 4、 (05 辽宁)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ( x ? ?1) , 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) , x?3 {bn } 满足 bn ?| an ? 3 |, Sn ? b1 ? b2 ? (Ⅰ)用数学归纳法证明 bn ? ( 3 ? 1) n 2n ?1 ; ? bn (n ? N * ) (Ⅱ)证明 S n ? 2 3 . . 3 [log2 n] 5、 (05 湖北) 已知不等式 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 [log 2 n], 其中 n 为大于 2 的整数, 表示不超过 log2 n 的最大整数. 设数列 {an } 的各项为正,且满足 a1 ? b(b ? 0), a n ? nan ?1 , n ? 2,3,4,? n ? an ?1 1 1 1 1 证明: an ? 2 ? b[log n] , n ? 3,4,5,? 2 2b 6、(09 广 东 )已知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2, ) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; 1/8 (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ? ? x2 n ?1 ? 1 ? xn ? 1 ? xn 2 sin xn yn . 2/8 参考答案 1、试证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列, 当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,均有:an+cn>2bn. 分析:该命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,考查的知识包括等差 数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法:本题 中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0 恒成立(a、b、c 为正数),从而 ak+1+ck+1>ak· c+ck· a. 2.证明:(1)设 a、b、c 为等比数列,a= b q ,c=bq >0 且 q≠1) bn n n n 1 ∴a +c = n +b q =b ( n +qn)>2bn q q n n an ? cn a?c n (2)设 a、b、c 为等差数列,则 2b=a+c 猜想 >( ) (n≥2 且 n∈N*) 2 2 下面用数学归纳法证明: ①当 n=2 时,由 2(a2+c2)>(a+c)2,∴ ak ? ck a?c k ?( ) , 2 2 a2 ? c2 a?c 2 ?( ) 2 2 ②设 n=k 时成立,即 a k ?1 ? c k ?1 1 k+1 k+1 k+1 k+1 1 1 ? (a +c +a +c ) > (ak+1+ck+1+ak· 则当 n=k+1 时, c+ck· a)= 4 4 2 4 (ak+ck)(a+c)>( a?c k a?c a ? c k+1 )· ( )=( ) 2 2 2 根据①、②可知不等式对 n>1,n∈N*都成立.

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