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天津市天津一中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 理



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天津一中 2011—2012 学年第一学期期中 高二数学试卷(理科)
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.如图是一个几何体的三视图,侧视图与正视图均为矩形,俯视图为 正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积为( ) A.6 C.24 D.3 32 2.已知正方体的外接球的体积

为 π ,则该正方体的表面积为( 3 B.12 3



4 3 16 64 A. B. C. D.32 3 3 3 3.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( ) A.至多只能有一个是直角三角形 B.至多只能有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 4.对于平面 ? 和直线 l , ? 内至少有一条直线与直线 l ( ) A.平行 B. 垂直 C.异面 D.相交 5.已知 m ,n 是两条不同直线, ?,?,? 是三个不同平面,正确命题的个数是( ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ②若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n ③若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ④若 m // ? , n // ? ,则 m // n ⑤若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图:正四面体 S-ABC 中,如果 E,F 分别是 SC,AB 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A. 90° B.45° C.60° D.30° 7.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. )



S E C F A B

A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 8.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形



9.已知平行六面体 OABC ? O1 A1B1C1 , OA ? a , OC ? c , OO1 ? b , D 是四边形 OABC 的中心,则( )

A. O1D ? ?a ? b ? c C. O1 D ?

1 1 a ?b ? c 2 2

1 1 a? c 2 2 1 1 D. O1 D ? a ? b ? c 2 2
B. O1 D ? ?b ?

10. 如图所示, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中, ∠A=90°, 且 BC1⊥AC, 过 C1 作 C1H⊥ 底面 ABC,垂足为 H,则点 H 在( ) A.直线 AB 上 B.直线 AC 上 C.直线 BC 上
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D.△ABC 内部 二、填空题(每题 4 分,共 24 分)

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11. Rt ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕 AC 边旋转一周所成的几何体的体积 为__________. 12.在△ABC 中,C=90°,AB=8,B=30°,PC⊥平面 ABC,PC=4,P′是 AB 边上动点,则 PP′的最小值为 . 13.如右图,E、F 分别为正方形 ABCD 的边 BC,CD 的中点,沿图中虚线将边长 为 2 的正方形折起来,围成一个三棱锥,则此三棱锥的体积是 . 14.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AA1 ? 1 ,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 . 15.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1-BD-A 的正切值等于 . 16.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都为 1, M 为 CC1 的中点,则点 B1 到截面 A1BM 的距 离为 . 三、解答题(共 4 题,46 分) 17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF//平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD
A D

F

B

E

C

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值.

19.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)证明平面 AMD ? 平面 CDE; (3)求二面角 A-CD-E 的余弦值.

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E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC . 20.如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ? 4 ,点 D1 C1
(1)证明: AC ? 平面 BED ; 1 (2)求二面角 A1 ? DE ? B 的余弦值大小. E D A B C A1 B1

参考答案: 一、选择题: 1.C 2. D 6.B 7. D 二、填空题: 11.

3.C 8.C

4.B 9.D

5.A 10.A

48 ? 5

12. 2 7 13.

1 3

14.

10 5

15. 2

16.

2 2

三、解答题: 17.证明:

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(1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,

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? EF PD, 又 P, D ? 面PCD, E ? 面PCD

? 直线 EF‖平面 PCD
(2)

AB=AD,?BAD=60 , F 是 AD 的中点,? BF ? AD,

又平面 PAD⊥平面 ABCD, 面PAD ? 面ABCD=AD, ? BF ? 面PAD, 所以,平面 BEF⊥平面 PAD。 18. (1)证明: 设 BC=1 P(0,0,2) B(2,0,0) D(0,2,0) C(2,1,0) M(1,

1 ,1) 2

PB ? (2, 0, ? 2)
3 DM ? (1, ? , 1) 2

? PB ? DM ? 0
∴PB⊥DM (2) CD ? (?2,1, 0)

AD ? (0, 2, 0)
1 AM ? (1, , 1) 2
设平面 ADMN 的法向量 n ? ( x, y, z)

? ?n ? AD ? 0 ? ?n ? AM ? 0 ?
取 z=-1

?y ? 0 ? ?? y x? ? z ?0 ? ? 2

?y ? 0 ?? ? x ? ?2

?n ? (1, 0, ?1)
设直线 CD 与平面 ADMN 成角为θ

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sin ? ?| cos ? n, CD ?| ? ?
19. (1)BC ? FE
//

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| ?2 | 5? 2 10 5

……………………1 分

∴BCEF 是□ ∴BF//CE ∴∠CED 或其补角为 BF 与 DE 所成角 取 AD 中点 P 连结 EP 和 CP ∵FE ? AP ∴FA ? EP 同理 AB ? PC 又 FA⊥平面 ABCD ∴EF⊥平面 ABCD ∴EP⊥PC、EP⊥AD 由 AB⊥AD PC⊥AD 设 FA=a,则 EP=PC=PD=a CD=DE=EC= 2 a
// // //

……………………2 分

∴△ECD 是正三角形 o ∴∠CED=60 o ∴BF 与 DE 成角 60 ……………………2 分 (2)∵DC=DE,M 为 EC 中点 ∴DM⊥EC 连结 MP,则 MP⊥CE 又 DM ? MP=M ∴DE⊥平面 ADM ……………………3 分 又 CE ? 平面 CDE ∴平面 AMD⊥平面 CDE ……………………1 分 (3)取 CD 中点 Q,连结 PQ 和 EQ ∵PC=DQ ∴PQ⊥CD,同理 EQ⊥CD ∴∠PQE 为二面角的平面角 ……………………2 分 在 Rt△EPQ 中, PQ ?

2 6 a, EQ ? a 2 2

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cos ?PQE ? PQ 3 ? EQ 3
3 3

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∴二面角 A-CD-E 的余弦值为

方法二: 以 A 为原点以 AB、AD、AF 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴 设 AB=1 A(0,0,0) B(1,0,0) C(1,1,0) D(0,2,0) E(0,1,1) F(0,0,1) M(

1 1 ,1, ) 2 2

(1) BF ? (?1, 0,1)

DE ? (0, ? 1, 1) 1 1 ? 2? 2 2 ? 异面直线BF , DE成角为60o cos ? BF , DE ?
(2) AM ? ( , 1, )

1 2

1 2

1 1 DM ? ( , ? 1, ) 2 2

AD ? (0, 2, 0)
CE ? (?1, 0,1)
可得 CE ? AM ? 0 ∴CE⊥AM,CE⊥AD

CE ? AD ? 0
又 AM ? AD=A

∴CE⊥平面 ADM,而 CE ? 平面CDE ,所以平面 AMD⊥平面 CDE (3)平面 CDE 的法向量 n ? ( x, y, z)

CD ? (?1, 1, 0) DE ? (0, ? 1, 1) ? ?n ? DE ? 0 ? ? ?n ? CE ? 0

CE ? ( ?1, 0, 1) ?y ? z ?? ?z ? x

?? y ? z ? 0 ?? ?? x ? z ? 0

取x ? 1, n ? (1, 1, 1)

AF ? (0, 0, 1)为平面ACD的另一个法向量

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所以 cos< n , AF >=

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3 n AF = | n | | AF | 3
3 3

因为二面角 A-CD-E 为锐角,所以其余弦值为

20. 以 D 为原点,分别以 DA、DC、DD 余弦值所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建系如图所示 D(0,0,0) A1(2,0,4) B(2,2,0) E(0,2,1) C(0,2,0)

A1C ? (?2, 2, ? 4) DB ? (2, 2, 0) DE ? (0, 2, 1)
(1)

AC 1 ? DB ? 0

AC 1 ? DE ? 0
∴A1C⊥DB A1C⊥DE 又 DB ? DE=D ∴A1C⊥平面 BDE (2)由(1)知 A1C 是平面 BDE 的一个法向量

A1C =(-2,2,-4)
设平面 A1DE 的一个法向量 n =(x,y,z)

DA1 ? (2, 0, 4) DE ? (0, 2, 1) ? ?n ? DA1 ? 0 ? ? ?n ? DE ? 0 ?2 x ? 4 z ? 0 ?? ?2 y ? z ? 0 ? x ? ?2 z ? ?? z y?? ? ? 2

取z ? ?2, n ? (4, 1, ? 2)

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cos ? n, A1C ??

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?8 ? z ? 8 z 14 ? ? 4 ? 4 ? 16 16 ? 1 ? 4 2 6 ? 21 42 二面角A1 ? DE ? B是锐二面角 14 42

? 二面角A1 ? DE ? B的余弦值为

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