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(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题十 计数原理课件 理



专题十 计数原理

2016考向导航 历届高考考什么? 1.分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 2.排列、组合问题 3.二项式定理 卷Ⅰ,T10 卷Ⅱ,T15 卷Ⅰ,T5 卷Ⅱ,T13 卷Ⅰ,T13 卷Ⅱ,T5 卷Ⅰ,T9 2015 三年真题统计 2014 2013

专题十 计数原理

2016会怎样考? (1)

计数原理的综合应用是考试的热点,多以小题出现 (2)二项展开式中通项公式是考试的重点,多以小题考查 (3)预测2016年会考计数原理

1.必记概念与定理 (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成, 则要用分类加法计数原理 将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成, 则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘. (2)二项式定理
n 0 1 n 1 2 n 2 2 r n r r ①定理:(a+b)n= C0 a b + C a b + C a b +?+ C b n n n na
- - -

0 n +?+ Cn a n b (r= 0,1,2,?, n).

②二项展开式的通项
n r r r Tr+ 1= Cr a b , r = 0 , 1 , 2 ,?, n ,其中 C n n叫做二项式系数.


2.活用公式与结论 (1)两个重要公式 ①排列数公式 Am n= n! = n(n- 1)(n-2)? (n- m+ 1)(n, m∈ N*, 且 ( n-m)!

m≤ n). ②组合数公式 Cm n= n! n( n- 1)( n-2)?( n-m+ 1) = m!( n-m)! m!

(n, m∈ N*,且 m≤ n).

(2)二项式系数的性质
n r r r 1 r ① Cr = C , C + C = C n n n n n+ 1.
- -

②二项式系数最值问题 n 当 n 为偶数时, 中间一项即第 + 1 项的二项式系数 C2 n 最大; 2 n+ 1 n+ 3 当 n 为奇数时,中间两项即第 , 项的二项式系数 2 2 C
n- 1 2 n

n, C

n+ 1 2

n 相等且最大.

③各二项式系数的和
1 2 k n n a. C0 + C + C +?+ C +?+ C = 2 ; n n n n n

1 0 2 2r 1 3 2r+ 1 b. C n+Cn+?+ Cn +?= Cn+ Cn+?+Cn +?= · 2n 2 = 2n 1.


3.辨明易错易混点 (1)求解排列与组合问题关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题,其依据主要是看元素的组成有没有顺序性,有顺 序性的是排列问题,无顺序性的是组合问题.
n r r (2)在二项式 (a+b)n 的展开式中,其通项 Tr+ 1= Cr a · b 是 n


指展开式的第 r+1 项,因此展开式中第 1, 2, 3,?, n 项
1 2 n 1 1 的二项式系数分别是 C0 , C , C ,?, C ,而不是 C n n n n n,


n C2 n,?, Cn.而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积.

考点一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( C )

A. 11 种 C. 21 种

B.20 种 D.12 种

[解析 ]

电路接通,则每一个并联电路中至少有一个开关闭

合,再利用乘法原理求解.两个开关并联的电路接通方式有 3 种,即每个开关单独接通共 2 种.两个开关都接通有一种, 所以共有 3 种,同理三个开关并联的电路接通方式有 7 种, 由乘法原理可知不同的闭合方式有 3× 7= 21(种 ).

[名师点评 ]

(1)解决计数问题的基本思想就是先对问题进行

分类,在每个类中再进行分步,根据乘法计数原理计算各个 类的数目,最后根据加法计数原理计算总的数目. (2)注意分类与分步的区别:分类加法计数原理是分类完成一 件事,并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情, 要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性;分步乘法计 数原理是分步完成一件事,并且只有各个步骤都完成才算完 成这件事情,要注意“步”与“步”之间的连续性.

已知 a, b 是异面直线, a 上有三个点 A1,A2, A3, b 上有两 个点 B1,B2.在这五个点中任取三个点构成一个三角形,则构 成的所有三角形的个数是( B ) A. 6 C. 12 B.9 D.15

解析:第一类 a 上取一个点,b 上取两个点的三角形个数有 3×1=3 个;第二类 a 上取两个点,b 上取一个点有 3×2=6 个,所以所有三角形的个数有 3+6=9(个).

1.如图,某教师要从 A 地至 B 地参加高 考教研活动: 路线Ⅰ: A 到 B 有三条路线; 路线Ⅱ: A 到 C 后再到 B,其中 A 到 C 有 1 条路线, C 到 B 有 2 条路线; 路线Ⅲ:从 A 到 D, D 到 C, C 到 B,其中 A 到 D, D 到 C, C 到 B 各有 2 条路线,则该教师的选择路线共有( C ) A. 10 C. 13 B. 11 D. 24

解析:按路线Ⅰ,共有 3 种选择;按路线Ⅱ,分 2 步可以到 达 B, 共有 1×2=2 种选择; 按线路Ⅲ, 分 3 步, 共有 2× 2× 2 = 8 种,故共有 3+2+8= 13 种选择.

2.满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+ b =0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( B ) A.14 C.12 B.13 D.10

解析:若 a= 0,则 b=-1,0,1, 2, 此时(a, b)的取值有 4 个; 若 a≠ 0,则方程 ax2+2x+ b= 0 有实根, 需 Δ= 4- 4ab≥ 0, ∴ ab≤1, 此时(a, b)的取值为(-1, 0), (-1,1), (- 1,- 1), (- 1, 2),(1, 1),(1, 0), (1,-1), (2,- 1),(2, 0),共 9 个. ∴ (a,b)的个数为 4+ 9= 13.

3.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名
45.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军 方法的种数为________ 4 5 不并列),获得冠军的可能性有________种. 解析:报名的方法种数为4×4×4×4×4=45(种).获得冠军 的可能情况有5×5×5×5=54(种).

考点二

排列组合问题

(经典考题 )将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安 排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 ( A ) A. 12 种 C. 9 种 B.10 种 D. 8 种

[解析 ]

利用分步乘法计数原理和组合数公式求解.

分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共 有 C1 2= 2(种 )选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C2 4= 6(种)选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6=12(种 ).

[名师点评 ]

(1)高考对排列组合知识点的考查一般涉及数

字、人或物的排列、组合,代表或样品的选取,集合的子集 个数等.具体类型有:某些元素不能排在或必须排在某些位 置问题,相邻问题,不相邻问题,几何组合或与数字有关的 组合问题,排列、组合混合问题等. (2)解题策略. 分步则乘分类加,欲邻需捆欲隔插, 有序则排无序组,正难则反排除它, 元素重复连乘法,特元特位你先拿, 平均分组阶乘除,多元少位我当家.

某研究性学习小组有正、副组长各 1 名,其余成员另有 4 人, 正、副组长各带 2 人,利用周末到邻近 A、 B 两个厂区调研 环保问题,则不同的人员分配方法有( A ) A. 12 种 C. 24 种 B.18 种 D. 36 种

2 C2 4C2 解析:将 4 个小组成员平均分成两组的方法有 2 ,正、副 A2

组长各带一组的方法有 A2 2,两组分别到 A、 B 两个厂区调研 方法有
2 C2 4 C2 2 2 A2种,所以不同的调研分配方法有 2 · A2 · A 2 2= A2

12(种 ),故选 A.

1.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端 不能排甲,则不同的排法共有( B ) A. 192 种 C. 240 种 B.216 种 D.288 种

解析: 第一类: 甲在最左端, 有 A5 5= 5× 4× 3× 2×1=120(种 ) 方法; 第二类:乙在最左端,有 4A4 4=4×4×3× 2× 1= 96(种 )方法. 所以共有 120+96=216(种)方法.

2.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医

生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(
A.60种 C.75种 B.70种 D.150种

) C

1 解析: 由题意知, 选 2 名男医生、 1 名女医生的方法有 C2 C 6 5=

75(种).

3. 在 8 张奖券中有一、 二、 三等奖各 1 张, 其余 5 张无奖. 将 这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有 60 ________种(用数字作答).

解析:把 8 张奖券分 4 组有两种分法,一种是分 (一等奖,无 奖 )、 (二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、 (无奖,无奖)四组, 分给 4 人有 A4 4种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个
2 2 奖, 另两组无奖, 共有 C2 种分法, 再分给 4 人有 C 3 3A4种分法, 2 2 所以不同获奖情况种数为 A4 + C 4 3A4= 24+36= 60.

考点三

二项式定理

(2015· 高考全国卷Ⅱ, 5 分 )(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 3 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=________ .

[解析 ] + a5x5.

法一:设 (a+ x)(1+x)4= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

令 x= 1,得(a+ 1)×24= a0+a1+ a2+ a3+a4+ a5.① 令 x=-1,得 0= a0-a1+ a2-a3+ a4- a5.② ①-②,得 16(a+ 1)= 2(a1+a3+ a5)=2×32, ∴ a=3.

1 2 2 3 3 4 4 法二: (a+ x)(1+ x)4=(a+ x)(C0 4+ C4x+ C4x + C4x + C4x ), 3 0 2 4 奇次幂的系数和为 (aC1 + a C ) + (C + C + C 4 4 4 4 4)=32,

即 8a= 24,∴a=3.

[名师点评 ] 正.

(1)区分“项的系数”与“二项式系数”.项的

系数与 a,b 有关,可正可负,二项式系数只与 n 有关,恒为 (2)切实理解“常数项”、 “有理项(字母指数为整数 )”、 “系 数最大的项”等概念. (3)求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明 是第几项. (4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为 0, ± 1.

(x-a)(x+1)4 展开式中偶次幂的系数之和不是负值,则 a 的 (-∞,1] 范围为_______________ .
4 1 3 2 2 3 4 解析:(x- a)(x+ 1)4=(x- a)(C0 4x + C4x + C4x + C4x+ C4), 2 4 1 3 偶次幂的系数和为-a(C0 4+ C4+ C4)+ C4+ C4≥ 0,

即 8a≤8, ∴ a≤ 1.

1.设 m 为正整数,(x+ y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 + a, (x+ y)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b, 则 m =( B ) A. 5 C. 7 B.6 D. 8

解析: (x+ y)2m 展开式中二项式系数的最大值为 Cm 2m,∴a= m+ 1 Cm . 同理, b = C 2m 2m+ 1.
m 1 ∵ 13a= 7b,∴ 13· Cm = 7· C 2m 2m+ 1.


( 2m)! ( 2m+1)! ∴ 13· = 7· . m! m! ( m+ 1)! m! ∴ m= 6.

2. (2015· 高考全国卷Ⅰ )(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数 为( C ) A. 10 C. 30
2 3 2 含 y2 的项为 T3= C2 5 (x + x ) · y . 4 1 5 其中(x2+x)3 中含 x5 的项为 C1 x · x = C 3 3x . 1 所以 x5y2 的系数为 C2 5C3= 30.故选 C.

B.20 D.60

解析:选 C.法一:(x2+x+ y)5= [(x2+ x)+ y]5,

法二: (x2+ x+ y)5 为 5 个 x2+x+ y 之积,其中有两个取 y, 两个取 x2,一个取 x 即可,
2 1 所以 x5y2 的系数为 C2 C 5 3C1= 30.故选 C.

1 3. (x+a) 的展开式中, x 的系数为 15, 则 a=________ . (用 2
10 7

数字填写答案)
10 r r 解析:设通项为 Tr+ 1= Cr x a, 10


令 10- r=7,∴ r= 3,
3 ∴ x7 的系数为 C3 a 10 =15,

1 1 ∴ a = ,∴ a= . 8 2
3



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