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(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题十 计数原理课件 理



专题十 计数原理

2016考向导航 历届高考考什么? 1.分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 2.排列、组合问题 3.二项式定理 卷Ⅰ,T10 卷Ⅱ,T15 卷Ⅰ,T5 卷Ⅱ,T13 卷Ⅰ,T13 卷Ⅱ,T5 卷Ⅰ,T9 2015 三年真题统计 2014 2013

专题十 计数原理

2016会怎样考? (1)计数原理的综合应用是考试的热点,多以小题出现 (2)二项展开式中通项公式是考试的重点,多以小题考查 (3)预测2016年会考计数原理

1.必记概念与定理 (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成, 则要用分类加法计数原理 将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成, 则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘. (2)二项式定理
n 0 1 n 1 2 n 2 2 r n r r ①定理:(a+b)n= C0 a b + C a b + C a b +?+ C b n n n na
- - -

0 n +?+ Cn a n b (r= 0,1,2,?, n).

②二项展开式的通项
n r r r Tr+ 1= Cr a b , r = 0 , 1 , 2 ,?, n ,其中 C n n叫做二项式系数.


2.活用公式与结论 (1)两个重要公式 ①排列数公式 Am n= n! = n(n- 1)(n-2)? (n- m+ 1)(n, m∈ N*, 且 ( n-m)!

m≤ n). ②组合数公式 Cm n= n! n( n- 1)( n-2)?( n-m+ 1) = m!( n-m)! m!

(n, m∈ N*,且 m≤ n).

(2)二项式系数的性质
n r r r 1 r ① Cr = C , C + C = C n n n n n+ 1.
- -

②二项式系数最值问题 n 当 n 为偶数时, 中间一项即第 + 1 项的二项式系数 C2 n 最大; 2 n+ 1 n+ 3 当 n 为奇数时,中间两项即第 , 项的二项式系数 2 2 C
n- 1 2 n

n, C

n+ 1 2

n 相等且最大.

③各二项式系数的和
1 2 k n n a. C0 + C + C +?+ C +?+ C = 2 ; n n n n n

1 0 2 2r 1 3 2r+ 1 b. C n+Cn+?+ Cn +?= Cn+ Cn+?+Cn +?= · 2n 2 = 2n 1.


3.辨明易错易混点 (1)求解排列与组合问题关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题,其依据主要是看元素的组成有没有顺序性,有顺 序性的是排列问题,无顺序性的是组合问题.
n r r (2)在二项式 (a+b)n 的展开式中,其通项 Tr+ 1= Cr a · b 是 n


指展开式的第 r+1 项,因此展开式中第 1, 2, 3,?, n 项
1 2 n 1 1 的二项式系数分别是 C0 , C , C ,?, C ,而不是 C n n n n n,


n C2 n,?, Cn.而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积.

考点一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( C )

A. 11 种 C. 21 种

B.20 种 D.12 种

[解析 ]

电路接通,则每一个并联电路中至少有一个开关闭

合,再利用乘法原理求解.两个开关并联的电路接通方式有 3 种,即每个开关单独接通共 2 种.两个开关都接通有一种, 所以共有 3 种,同理三个开关并联的电路接通方式有 7 种, 由乘法原理可知不同的闭合方式有 3× 7= 21(种 ).

[名师点评 ]

(1)解决计数问题的基本思想就是先对问题进行

分类,在每个类中再进行分步,根据乘法计数原理计算各个 类的数目,最后根据加法计数原理计算总的数目. (2)注意分类与分步的区别:分类加法计数原理是分类完成一 件事,并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情, 要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性;分步乘法计 数原理是分步完成一件事,并且只有各个步骤都完成才算完 成这件事情,要注意“步”与“步”之间的连续性.

已知 a, b 是异面直线, a 上有三个点 A1,A2, A3, b 上有两 个点 B1,B2.在这五个点中任取三个点构成一个三角形,则构 成的所有三角形的个数是( B ) A. 6 C. 12 B.9 D.15

解析:第一类 a 上取一个点,b 上取两个点的三角形个数有 3×1=3 个;第二类 a 上取两个点,b 上取一个点有 3×2=6 个,所以所有三角形的个数有 3+6=9(个).

1.如图,某教师要从 A 地至 B 地参加高 考教研活动: 路线Ⅰ: A 到 B 有三条路线; 路线Ⅱ: A 到 C 后再到 B,其中 A 到 C 有 1 条路线, C 到 B 有 2 条路线; 路线Ⅲ:从 A 到 D, D 到 C, C 到 B,其中 A 到 D, D 到 C, C 到 B 各有 2 条路线,则该教师的选择路线共有( C ) A. 10 C. 13 B. 11 D. 24

解析:按路线Ⅰ,共有 3 种选择;按路线Ⅱ,分 2 步可以到 达 B, 共有 1×2=2 种选择; 按线路Ⅲ, 分 3 步, 共有 2× 2× 2 = 8 种,故共有 3+2+8= 13 种选择.

2.满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+ b =0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( B ) A.14 C.12 B.13 D.10

解析:若 a= 0,则 b=-1,0,1, 2, 此时(a, b)的取值有 4 个; 若 a≠ 0,则方程 ax2+2x+ b= 0 有实根, 需 Δ= 4- 4ab≥ 0, ∴ ab≤1, 此时(a, b)的取值为(-1, 0), (-1,1), (- 1,- 1), (- 1, 2),(1, 1),(1, 0), (1,-1), (2,- 1),(2, 0),共 9 个. ∴ (a,b)的个数为 4+ 9= 13.

3.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名
45.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军 方法的种数为________ 4 5 不并列),获得冠军的可能性有________种. 解析:报名的方法种数为4×4×4×4×4=45(种).获得冠军 的可能情况有5×5×5×5=54(种).

考点二

排列组合问题

(经典考题 )将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安 排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 ( A ) A. 12 种 C. 9 种 B.10 种 D. 8 种

[解析 ]

利用分步乘法计数原理和组合数公式求解.

分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共 有 C1 2= 2(种 )选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C2 4= 6(种)选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6=12(种 ).

[名师点评 ]

(1)高考对排列组合知识点的考查一般涉及数

字、人或物的排列、组合,代表或样品的选取,集合的子集 个数等.具体类型有:某些元素不能排在或必须排在某些位 置问题,相邻问题,不相邻问题,几何组合或与数字有关的 组合问题,排列、组合混合问题等. (2)解题策略. 分步则乘分类加,欲邻需捆欲隔插, 有序则排无序组,正难则反排除它, 元素重复连乘法,特元特位你先拿, 平均分组阶乘除,多元少位我当家.

某研究性学习小组有正、副组长各 1 名,其余成员另有 4 人, 正、副组长各带 2 人,利用周末到邻近 A、 B 两个厂区调研 环保问题,则不同的人员分配方法有( A ) A. 12 种 C. 24 种 B.18 种 D. 36 种

2 C2 4C2 解析:将 4 个小组成员平均分成两组的方法有 2 ,正、副 A2

组长各带一组的方法有 A2 2,两组分别到 A、 B 两个厂区调研 方法有
2 C2 4 C2 2 2 A2种,所以不同的调研分配方法有 2 · A2 · A 2 2= A2

12(种 ),故选 A.

1.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端 不能排甲,则不同的排法共有( B ) A. 192 种 C. 240 种 B.216 种 D.288 种

解析: 第一类: 甲在最左端, 有 A5 5= 5× 4× 3× 2×1=120(种 ) 方法; 第二类:乙在最左端,有 4A4 4=4×4×3× 2× 1= 96(种 )方法. 所以共有 120+96=216(种)方法.

2.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医

生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(
A.60种 C.75种 B.70种 D.150种

) C

1 解析: 由题意知, 选 2 名男医生、 1 名女医生的方法有 C2 C 6 5=

75(种).

3. 在 8 张奖券中有一、 二、 三等奖各 1 张, 其余 5 张无奖. 将 这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有 60 ________种(用数字作答).

解析:把 8 张奖券分 4 组有两种分法,一种是分 (一等奖,无 奖 )、 (二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、 (无奖,无奖)四组, 分给 4 人有 A4 4种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个
2 2 奖, 另两组无奖, 共有 C2 种分法, 再分给 4 人有 C 3 3A4种分法, 2 2 所以不同获奖情况种数为 A4 + C 4 3A4= 24+36= 60.

考点三

二项式定理

(2015· 高考全国卷Ⅱ, 5 分 )(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 3 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=________ .

[解析 ] + a5x5.

法一:设 (a+ x)(1+x)4= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

令 x= 1,得(a+ 1)×24= a0+a1+ a2+ a3+a4+ a5.① 令 x=-1,得 0= a0-a1+ a2-a3+ a4- a5.② ①-②,得 16(a+ 1)= 2(a1+a3+ a5)=2×32, ∴ a=3.

1 2 2 3 3 4 4 法二: (a+ x)(1+ x)4=(a+ x)(C0 4+ C4x+ C4x + C4x + C4x ), 3 0 2 4 奇次幂的系数和为 (aC1 + a C ) + (C + C + C 4 4 4 4 4)=32,

即 8a= 24,∴a=3.

[名师点评 ] 正.

(1)区分“项的系数”与“二项式系数”.项的

系数与 a,b 有关,可正可负,二项式系数只与 n 有关,恒为 (2)切实理解“常数项”、 “有理项(字母指数为整数 )”、 “系 数最大的项”等概念. (3)求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明 是第几项. (4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为 0, ± 1.

(x-a)(x+1)4 展开式中偶次幂的系数之和不是负值,则 a 的 (-∞,1] 范围为_______________ .
4 1 3 2 2 3 4 解析:(x- a)(x+ 1)4=(x- a)(C0 4x + C4x + C4x + C4x+ C4), 2 4 1 3 偶次幂的系数和为-a(C0 4+ C4+ C4)+ C4+ C4≥ 0,

即 8a≤8, ∴ a≤ 1.

1.设 m 为正整数,(x+ y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 + a, (x+ y)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b, 则 m =( B ) A. 5 C. 7 B.6 D. 8

解析: (x+ y)2m 展开式中二项式系数的最大值为 Cm 2m,∴a= m+ 1 Cm . 同理, b = C 2m 2m+ 1.
m 1 ∵ 13a= 7b,∴ 13· Cm = 7· C 2m 2m+ 1.


( 2m)! ( 2m+1)! ∴ 13· = 7· . m! m! ( m+ 1)! m! ∴ m= 6.

2. (2015· 高考全国卷Ⅰ )(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数 为( C ) A. 10 C. 30
2 3 2 含 y2 的项为 T3= C2 5 (x + x ) · y . 4 1 5 其中(x2+x)3 中含 x5 的项为 C1 x · x = C 3 3x . 1 所以 x5y2 的系数为 C2 5C3= 30.故选 C.

B.20 D.60

解析:选 C.法一:(x2+x+ y)5= [(x2+ x)+ y]5,

法二: (x2+ x+ y)5 为 5 个 x2+x+ y 之积,其中有两个取 y, 两个取 x2,一个取 x 即可,
2 1 所以 x5y2 的系数为 C2 C 5 3C1= 30.故选 C.

1 3. (x+a) 的展开式中, x 的系数为 15, 则 a=________ . (用 2
10 7

数字填写答案)
10 r r 解析:设通项为 Tr+ 1= Cr x a, 10


令 10- r=7,∴ r= 3,
3 ∴ x7 的系数为 C3 a 10 =15,

1 1 ∴ a = ,∴ a= . 8 2
3



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